1、5.2 5.2 解一元一次方程解一元一次方程第五章第五章 一元一次方程一元一次方程知识点知识点解一元一次方程解一元一次方程合并同类项合并同类项知知1 1讲讲11.合并同类项：解方程时，将等号同侧的含有未知数的项合并同类项：解方程时，将等号同侧的含有未知数的项和和常数常数项分别合并成一项的过程，叫作合并同类项项分别合并成一项的过程，叫作合并同类项.2.用合并同类项解一元一次方程的步骤用合并同类项解一元一次方程的步骤 知知1 1讲讲特别特别提醒提醒解方程中的合并解方程中的合并同类项同类项和整式加减中的和整式加减中的合并合并同类项一同类项一样，都是样，都是系数系数的合并，目的是的合并，目的是运用合并
2、运用合并同类项，使方程同类项，使方程变变得得更简单，为利用等式更简单，为利用等式的性质的性质2 求出方程的求出方程的解创造解创造条件条件.知知1 1练练例 1解下列一元一次方程解下列一元一次方程：解题秘方：解题秘方：利用合并同类项的法则，在方程左右两利用合并同类项的法则，在方程左右两边边同时同时合并同类项，然后将未知数的系数化为合并同类项，然后将未知数的系数化为1.知知1 1练练合并同类项合并同类项系数化为系数化为1知知1 1练练(2)2x7x8x=15263.解：解：2 x7x8x=152 63，(278)x=48.x=48.x=48.合并同类项合并同类项系数化为系数化为1知知1 1练练1-
3、1.解下列方程：解下列方程：(1)4x3x=1；(2)x4x=61；解解：等号：等号左边合并同类项，得左边合并同类项，得x1.知知1 1练练知知2 2讲讲知识点知识点解一元一次方程解一元一次方程移项移项21.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项.移项移项要变号要变号.2.移项的依据：移项的依据是等式的性质移项的依据：移项的依据是等式的性质1，在方程的两，在方程的两边边加加(或减或减)同一个适当的整式，使含未知数的项集中在同一个适当的整式，使含未知数的项集中在方程方程的一边的一边，常数项集中在另一边，常数项集中在另一边.知知2 2讲讲3
4、.移项解一元一次方程的步骤移项解一元一次方程的步骤知知2 2讲讲特别提醒特别提醒移项与加法交换律移项与加法交换律的区别的区别：移项是在等式中，把移项是在等式中，把某些项某些项从等号的一边移到从等号的一边移到另一边另一边，移动的项要变号移动的项要变号；而；而加法交换律是交换加法交换律是交换加数加数的位置，只的位置，只改变改变排列的排列的顺序，不改变符号顺序，不改变符号.知知2 2练练解解方程：方程：解题秘方：解题秘方：利用利用移项解一元一次方程的步骤进行解移项解一元一次方程的步骤进行解答，答，注意注意移项要变号移项要变号.例 2知知2 2练练(1)83x=x6；移项移项合并同类项合并同类项知知2
5、 2练练移项移项合并同类项合并同类项知知2 2练练2-1.解下列方程：解下列方程：(1)2x3=x；(2)5x2=7x8；解解：移项：移项，得，得2xx3.合并同类项，得合并同类项，得x3.移项，得移项，得5x7x82.合并同类项，得合并同类项，得2x10.系数化为系数化为1，得，得x5.知知2 2练练(3)3x4=2x13x；知知2 2练练知知3 3讲讲知识点知识点解一元一次方程解一元一次方程去括号去括号31.解含有括号的一元一次方程时，先利用去括号法则去解含有括号的一元一次方程时，先利用去括号法则去括号括号,然然后利用移项、合并同类项、系数化为后利用移项、合并同类项、系数化为1 解方程解方
6、程.2.解方程中去括号的顺序：先去小括号，再去中括号，最后解方程中去括号的顺序：先去小括号，再去中括号，最后去去大括号大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号.3.解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤去括号去括号移项移项 合并同类项合并同类项系数系数化为化为1知知3 3讲讲特别解读特别解读1.去括号的目的是能去括号的目的是能利用移项利用移项解方程，其实解方程，其实质质是乘法是乘法分配律分配律.2.解解方程中的去括号法则与整式运算中的方程中的去括号法则与整式运算中的去去括号括号法则相同法则相同.括号前括号前是负因数时，要是负因数时
7、，要注意注意乘积乘积的符号的符号.知知3 3练练解方程：解方程：4x2(4x3)=23(x1).例 3解题秘方：解题秘方：按按“去括号去括号移项移项合并同类项合并同类项系数化为系数化为1”的的步步骤解方程骤解方程.知知3 3练练3-1.解方程：解方程：(x3)2(x1)92x解：去括号，得解：去括号，得x32x292x.移项，得移项，得x2x2x932.合并同类项，得合并同类项，得x4.知知4 4讲讲知识点知识点解一元一次方程解一元一次方程去分母去分母41.解解含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的最小公倍数最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫
8、作去分母，从而约去分母，这个过程叫作去分母.2.解一元一次方程的解一元一次方程的步骤步骤去分母去分母去括号去括号移项移项合并同类项合并同类项系数系数化为化为1 知知4 4讲讲特别解读特别解读1.去分母的依据是去分母的依据是等式的性质等式的性质2.2.去分母的目的是将去分母的目的是将分数分数系数化为整数系数系数化为整数系数.3.去分母时，去分母时，(1)不要漏乘不要漏乘不含分母的项；不含分母的项；(2)分子是多项式时分子是多项式时，要，要加括号加括号.知知4 4讲讲解题秘方：解题秘方：按按“去分母去分母去括号去括号移项移项合并同类合并同类项项系数系数化为化为1”的步骤解方程的步骤解方程.例 4知
9、知4 4练练知知4 4练练知知4 4练练解：解：去分母，得去分母，得x32x1.移项，得移项，得x2x13.合并同类项，得合并同类项，得x2.系数化为系数化为1，得，得x2.知知4 4练练解：解：去分母，得去分母，得5(x2)3(2x3)30.去括号，得去括号，得5x106x930.合并同类项，得合并同类项，得x30109.系数化为系数化为1，得，得x49.知知4 4练练解：解：去分母，得去分母，得122(2x1)3(1x)去括号，得去括号，得124x233x.移项，得移项，得4x3x3122.合并同类项，得合并同类项，得7x7.系数化为系数化为1，得，得x1.知知5 5讲讲知识点知识点解一元
10、一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤51.解一元一次方程的步骤：包括去分母、去括号、移项、解一元一次方程的步骤：包括去分母、去括号、移项、合并合并同类项同类项、系数化为、系数化为1 等等.通过这些步骤，可以使以通过这些步骤，可以使以x 为为未知数的未知数的一元一次方程逐步转化为一元一次方程逐步转化为x=m 的形式的形式.知知5 5讲讲2.解一元一次方程的具体方法、变形依据、注解一元一次方程的具体方法、变形依据、注意事项列表如下意事项列表如下变形名称变形名称具体方法具体方法变形依据变形依据注意事项注意事项去分母去分母在方程两边同在方程两边同乘各分母的最乘各分母的最小公倍数，当小公倍数，当分
11、母是小数时，分母是小数时，要利用分数的要利用分数的基本性质把小基本性质把小数化为整数数化为整数等式的性质等式的性质2(1)不要漏乘不要漏乘不含分母的不含分母的项；项；(2)若分若分子是一个多子是一个多项式，去分项式，去分母后要加上母后要加上括号括号知知5 5讲讲变形名称变形名称具体方法具体方法变形依据变形依据注意事项注意事项去括号去括号一般先去小括一般先去小括号，再去中括号，再去中括号，最后去大号，最后去大括号括号去括号法则去括号法则不要漏括不要漏括号里面的号里面的项，不要项，不要弄错符号弄错符号移项移项把含有未知数把含有未知数的项和常数项的项和常数项分别移至等号分别移至等号的两侧的两侧移项规
12、则移项规则(等式的性等式的性质质1)移项要变移项要变号，不移号，不移项不要变项不要变号号知知5 5讲讲变形名称变形名称具体方法具体方法变形依据变形依据注意事项注意事项合并同类项合并同类项把等号两边含有未知把等号两边含有未知数的项和常数项分别数的项和常数项分别合并，合并，将方程化为将方程化为ax=b(a 0)的形式的形式合并同类合并同类项法则项法则(1)系数相加；系数相加；(2)字母及指字母及指数不变数不变系数化为系数化为1等式的性等式的性质质2(1)除数不为除数不为0；(2)不要不要把分子分母把分子分母颠倒颠倒知知5 5讲讲特别解读特别解读1.去分母是为了简化运算去分母是为了简化运算，若，若不
13、使用，则合并不使用，则合并同类项同类项时需时需进行分数运算进行分数运算2.去括号时，一般按去括号时，一般按从小从小到大的顺序，但有时到大的顺序，但有时也可也可按从大按从大到小的顺序到小的顺序3.解一元一次方程的解一元一次方程的一般一般步骤不一定每步都步骤不一定每步都用到用到，也不一，也不一定按照定按照从上到下从上到下的顺序进行的顺序进行,要要根据根据方程的特点选取方程的特点选取适适当当的步骤进行求解的步骤进行求解知知5 5练练解解下列一元一次方程下列一元一次方程:例 5解题秘方：解题秘方：按照按照解一元一次方程的步骤解方程解一元一次方程的步骤解方程.知知5 5练练知知5 5练练知知5 5练练警
14、示误区：警示误区：分数的基本性质分数的基本性质与等式与等式的性质不同：的性质不同：分数的分数的基本性质是分基本性质是分数的数的分子分子与分母同时进行与分母同时进行乘除变化乘除变化，而等式的基本，而等式的基本性质性质是在等是在等式两边同时式两边同时进行进行加减乘除变化加减乘除变化.知知5 5练练去分母时，去分母时，分子分子是多项是多项式式要加括号要加括号知知5 5练练知知5 5练练知知5 5练练知知5 5练练知知6 6讲讲知识点知识点解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤61.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤用一元一次方程解决实际问题的一般步骤(1)审审:理解题意，理解题意，找出已
15、知量和未知量，找出已知量和未知量，明确各明确各数量数量之间之间的关系的关系.(2)设设:设未知数设未知数.若有单位要写上单位，且单位要若有单位要写上单位，且单位要写正确写正确，如速度等组合单位，不要与路程等单一单位相混淆如速度等组合单位，不要与路程等单一单位相混淆.知知6 6讲讲(3)找找:找出能反映全部题意的一个相等关系找出能反映全部题意的一个相等关系.(4)列列:根据相等关系列方程根据相等关系列方程.(5)解解:解方程，求出未知数的值解方程，求出未知数的值.(6)验验:检验所得结果的正确性及合理性检验所得结果的正确性及合理性.(7)答答:写出答语写出答语.既要检验是否既要检验是否为方程为方
16、程的解的解,又又要要检验是否检验是否符合实际意义符合实际意义知知6 6讲讲2.常见的两种基本相等关系常见的两种基本相等关系(1)总量与分量关系问题：总量总量与分量关系问题：总量=各分量的和；各分量的和；(2)余缺问题：表示同一个量的两个不同的式子相等余缺问题：表示同一个量的两个不同的式子相等.知知6 6讲讲特别解读特别解读用一元一次方程解决用一元一次方程解决实际实际问题时需要注意问题时需要注意以下几以下几点点:1.恰当地设未知数恰当地设未知数可以简化可以简化运算，且单位运算，且单位要统一要统一;2.题题中的相等关系中的相等关系不一定不一定只有一个，要根据只有一个，要根据具体具体情情况选择况选择
17、;3.求出方程的解后求出方程的解后要检验要检验.知知6 6练练例 6解题秘方：解题秘方：根据根据文字表达的数量关系列方程文字表达的数量关系列方程.解解：根据：根据题意，得题意，得3x2=2x1，解得，解得x=3.知知6 6练练2知知6 6练练“绿水青山就是金山银山绿水青山就是金山银山”科学研究表明：科学研究表明：树叶在树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物物，具有，具有滞尘、净化空气的作用已知一片银杏树叶滞尘、净化空气的作用已知一片银杏树叶一年的平均一年的平均滞尘滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的
18、的2 倍少倍少4 mg，两，两片国槐片国槐树叶与三片银杏树叶一年的树叶与三片银杏树叶一年的滞尘总量为滞尘总量为164 mg一片一片国槐国槐树叶和一片银杏树叶一树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为多少毫克？年的平均滞尘量分别为多少毫克？例 7知知6 6练练解题秘方：解题秘方：用用分量的和等于总量列出方程，解决问题分量的和等于总量列出方程，解决问题.解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x mg，则一片则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为银杏树叶一年的平均滞尘量为(2x4)mg.由题意得由题意得2x3(2x4)=164，解得解得x=22.此时，此时，2x4=40.
19、答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40 mg，一一片片国槐国槐树叶一年的平均滞尘量为树叶一年的平均滞尘量为22 mg知知6 6练练7-1.真实情境题真实情境题 体育体育赛事第赛事第19届亚运会于届亚运会于2023年年9月月23日至日至10月月8日在日在杭州举行中国运杭州举行中国运动员动员发扬顽强拼发扬顽强拼搏的搏的精神精神，在比赛场上屡创，在比赛场上屡创佳绩佳绩本次亚运会本次亚运会中中国队获得国队获得金、银、铜牌共金、银、铜牌共383枚枚，其中金牌比银牌，其中金牌比银牌的的2倍倍少少21 枚，铜牌比枚，铜牌比银牌少银牌少40 枚枚 问金、银、问金、银、铜牌铜牌
20、各是多少枚？各是多少枚？知知6 6练练解：设中国队获得解：设中国队获得x枚银牌枚银牌，则则获得获得(2x21)枚金牌，枚金牌，(x40)枚铜牌枚铜牌根据题意，得根据题意，得2x21xx40383，解得解得x111，此时，此时，2x21211121201，x401114071.答：中国队获得答：中国队获得201枚金牌，枚金牌，111枚银牌，枚银牌，71枚铜牌枚铜牌知知6 6练练例 8在国庆节来临之际，七年级在国庆节来临之际，七年级(1)班课外活动小组班课外活动小组计划做计划做一批中国结一批中国结.如果每人做如果每人做6 个，那么比计划多做个，那么比计划多做7 个；个；如果如果每人每人做做5 个，
21、那么比计划少做个，那么比计划少做13 个个.该小组计划该小组计划做多少个中国结？做多少个中国结？解题秘方：解题秘方：不管不管是余还是缺，总量不变是列方程的是余还是缺，总量不变是列方程的关键关键.知知6 6练练解：设该小组共有解：设该小组共有x 人人.根据题意，得根据题意，得6x7=5x13，解得解得x=20.所以所以6x7=113.答：该小组计划做答：该小组计划做113 个中国结个中国结.知知6 6练练8-1.新新考向考向 数学数学文化文化九章算术九章算术中有中有“盈盈不足不足”的问的问题，原文如下题，原文如下：“今有共买羊，人出五今有共买羊，人出五，不足，不足四十四十五；人出七，五；人出七，
22、不足不足三三.问人数、羊价各问人数、羊价各几何？几何？”题题意是：若干人意是：若干人共同共同出资买羊，每人出出资买羊，每人出5 钱钱，则，则差差45 钱，每人出钱，每人出7钱钱，则，则差差3 钱，求人数和羊钱，求人数和羊价各价各是是多少多少.请解答此题请解答此题.知知6 6练练解：设共有解：设共有x人出资买羊人出资买羊由题意得由题意得5x457x3，解得，解得x21.所以所以5x4552145150.答：共有答：共有21人，羊价为人，羊价为150钱钱知知6 6练练一个三角形的三边长之比为一个三角形的三边长之比为2 4 5，周长周长为为22 cm，求该三角形中最长边的长求该三角形中最长边的长.例
23、 9解题秘方：解题秘方：未知未知的量若以比例的形式出现，则解决的量若以比例的形式出现，则解决问题问题的关键的关键是求出单位量，通过设单位量表示总量是求出单位量，通过设单位量表示总量列方程列方程.知知6 6练练解：解：依题意，依题意，设该三角形的三边长分设该三角形的三边长分别为别为2x cm，4x cm，5x cm.根据题意，得根据题意，得2x4x5x=2 2，解得解得x=2.所以所以5x=1 0.答：该三角形中最长边的长是答：该三角形中最长边的长是10 cm.知知6 6练练知知6 6练练(1)这个信息小组有这个信息小组有多少多少名同学名同学？知知6 6练练(2)七年级共有多少七年级共有多少名同
24、学名同学？解：解：设七年级共有设七年级共有y名同学名同学根据题意，得根据题意，得50y243，解得，解得y1075.答：七年级共有答：七年级共有 1 075名同学名同学知知6 6练练例 10一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2 倍，倍，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，得到的数如果把个位上的数字与十位上的数字对调，得到的数比原数比原数小小36，求原来的两位数，求原来的两位数.解题秘方：解题秘方：用用各数位上的数字表示原数和新数，利用各数位上的数字表示原数和新数，利用两两个数个数之间的关系列方程之间的关系列方程.知知6 6练练解：设原来的两位数中
25、个位上的数字为解：设原来的两位数中个位上的数字为x，则十位上则十位上的数字的数字为为2x.根据题意，得根据题意，得1 02xx3 6=10 x2x，解得解得x=4.所以所以2x=8.答：原来的两位数是答：原来的两位数是8 4.知知6 6练练教你一招：巧设元解数字问题的方法教你一招：巧设元解数字问题的方法解决数字问题的关键在于如何巧妙地设出未知数，解决数字问题的关键在于如何巧妙地设出未知数，下面是下面是一些数字问题设未知数的常用方法：一些数字问题设未知数的常用方法：(1)连续数设中间连续数设中间；(2)多位自然数设一位；多位自然数设一位；(3)数字换位设部分数字换位设部分；(4)小数点移动直接设
26、；小数点移动直接设；(5)数字成比例设比值数字成比例设比值；(6)特殊关系特殊设特殊关系特殊设.知知6 6练练10-1.下表是某年下表是某年3月份月份的月历的月历:知知6 6练练(1)观察上面的月历观察上面的月历，横行，横行、竖列相邻的两、竖列相邻的两数之间数之间有什有什么关系么关系？解解：横行：横行相邻的两数相差相邻的两数相差1，竖列相邻的两数相差，竖列相邻的两数相差7.知知6 6练练(2)如果告诉你一竖如果告诉你一竖列相邻列相邻三个数的和为三个数的和为72，你，你能能知道这三天分知道这三天分别是别是几号吗几号吗？解：解：设一竖列相邻三个数中中间的一个数为设一竖列相邻三个数中中间的一个数为x
27、，则上，则上面的一个数为面的一个数为x7，下面的一个数为，下面的一个数为x7.根据题意，得根据题意，得(x7)x(x7)72.解这个方程，得解这个方程，得x24.所以所以x724717，x724731.答：这三天分别是答：这三天分别是17号、号、24号、号、31号号知知6 6练练(3)如果用一个框圈如果用一个框圈出的出的22个数的和为个数的和为56，你，你知道知道圈出的四天分圈出的四天分别是别是几号吗？几号吗？解：解：设圈出的四个数中，最小的数为设圈出的四个数中，最小的数为y，则另外三个数分别，则另外三个数分别为为y1，y7，y8.根据题意，得根据题意，得y(y1)(y7)(y8)56，解得，
28、解得y10.所以所以y110111，y710717，y810818.答：圈出的四天分别是答：圈出的四天分别是10号、号、11号、号、17号、号、18号号知知6 6练练期末期末杭州拱墅区杭州拱墅区 某校开展劳动教育，在植树节某校开展劳动教育，在植树节当天当天组织组织植树活动，该校七年级共有植树活动，该校七年级共有120 人参加活动，分人参加活动，分成树苗成树苗保障组保障组和种植组，种植组的人数是树苗保障组和种植组，种植组的人数是树苗保障组人数的人数的2 倍倍例 11解题秘方：解题秘方：直接直接设未知数，然后根据两个量之间的倍设未知数，然后根据两个量之间的倍分分关系关系表示出另一个量或直接列方程即
29、可表示出另一个量或直接列方程即可知知6 6练练(1)求树苗保障组的人数求树苗保障组的人数；解：解：设树苗保障组有设树苗保障组有x 人，则种植组有人，则种植组有2x 人，人，所以所以x2x 120，解得解得x40 答：树苗保障组的人数为答：树苗保障组的人数为4 0 知知6 6练练(2)已知种植点有甲、乙两处，种植组在甲处有已知种植点有甲、乙两处，种植组在甲处有a 人人用含用含a 的代数式表示种植组在乙处的人数的代数式表示种植组在乙处的人数.解：解：由由(1)知，种植组的人数是知，种植组的人数是240=80，所以种植组在乙处的人数为所以种植组在乙处的人数为80a知知6 6练练若若a46，树苗保障组
30、人员在运送完树苗后，树苗保障组人员在运送完树苗后全全部部去支援去支援种植种植组，使在甲处种植的人数是在乙处种植的组，使在甲处种植的人数是在乙处种植的人数的人数的2 倍，问应倍，问应调往调往甲、乙两处各多少人？甲、乙两处各多少人？解：解：当当a 46 时，种植组在乙处的人数为时，种植组在乙处的人数为8046=34.设应调往甲处设应调往甲处y 人，则应调往乙处人，则应调往乙处(40y)人人由题意得由题意得46y 2(3440 y)，解得，解得y=3 4，所以所以40y 6答答：应调往甲处：应调往甲处3 4 人，乙处人，乙处6 人人知知6 6练练知知6 6练练解：设天头长为解：设天头长为6x cm，
31、地头长为，地头长为4x cm，则则左、右边的宽均为左、右边的宽均为x cm.根据题意，得根据题意，得100(6x4x)4(27xx)，解得解得x4，则，则6x24.答：边的宽为答：边的宽为4 cm，天头长为，天头长为24 cm.知知6 6练练例 12甲站和乙站相距甲站和乙站相距1 500 km，一列慢车从甲站开出，一列慢车从甲站开出，速速度度为为60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为90 km/h.解题秘方：解题秘方：根据根据相遇和追及问题中路程之间的关系列相遇和追及问题中路程之间的关系列方程方程求解求解.知知6 6练练(1)若两车相向而行，慢车先开若两车相向而
32、行，慢车先开 30 min，快车开出，快车开出几小时几小时后后两车相遇两车相遇？知知6 6练练(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距相距1 800 km？解：解：设设y h 后两车相距后两车相距1800 km.由题意得由题意得6 0y9 0y1 5 0 0=1 800，解得，解得y=2.答：答：2 h 后两车相距后两车相距1800 km.知知6 6练练(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后快车追上慢车多少小时后快车追上慢车？解：解：设设m h 后快车追上慢车，后快车追上慢车，由题意得由
33、题意得9 0m6 0 m=1 500，解得，解得m=5 0.答：答：50 h 后快车追上慢车后快车追上慢车.知知6 6练练多少小时后，两车相距多少小时后，两车相距120 km？解：解：分两种情况：快车在慢车后面，且两车相距分两种情况：快车在慢车后面，且两车相距120 km和和快车在慢车前面，且两车相距快车在慢车前面，且两车相距120 km.设设n h 后快车在慢车后面，且两车相距后快车在慢车后面，且两车相距120 km.由题意得由题意得6 0n1500 9 0n=120，解得，解得n=46;设设z h 后快车在慢车前面，且两车相距后快车在慢车前面，且两车相距120km，由题意得由题意得90 z
34、(1500 60 z)=120，解得，解得z=5 4.答：答：46 h 或或54 h 后两车相距后两车相距120 km.知知6 6练练方法点拨：方法点拨：1.行程问题的基本关系式为：路程行程问题的基本关系式为：路程=速度速度 时间，时间，速度速度=路程路程 时间，时间时间，时间=路程路程 速度；速度；2.分析行程问题常用方法为：画线段图或列表格；分析行程问题常用方法为：画线段图或列表格；3.相遇问题的等量关系为：甲走的路程相遇问题的等量关系为：甲走的路程 乙走的路乙走的路程程=两者两者之间的距离；之间的距离；4.追及问题的等量关系为：快者走的路程追及问题的等量关系为：快者走的路程 慢者走慢者走
35、的的路程路程=两者之间的距离两者之间的距离.知知6 6练练12-1.期末期末张家口张家口宣化宣化区区在全民健身在全民健身运动项目运动项目中，骑行运中，骑行运动颇动颇受市民受市民青睐青睐.甲、乙两甲、乙两骑行骑行爱好者约定从爱好者约定从A地地沿相沿相同同路线骑行去距路线骑行去距A地地30 km 的的B 地地 已知已知甲骑甲骑行的速行的速度是乙的度是乙的1.2倍倍若乙先骑行若乙先骑行2 km，甲，甲才开始从才开始从A地出地出发发，则，则甲出发半小时恰好甲出发半小时恰好追上追上乙，求甲骑行的速度乙，求甲骑行的速度知知6 6练练解：设乙骑行的速度是解：设乙骑行的速度是x km/h，则则甲骑行的速度是甲
36、骑行的速度是1.2x km/h.根据题意，得根据题意，得0.51.2x0.5x2，解得解得x20，则，则1.2x24.答：甲骑行的速度是答：甲骑行的速度是24 km/h.知知6 6练练12-2.期末期末秦皇岛秦皇岛 A，B 两地相距两地相距18 km甲甲、乙、乙两人分两人分别从别从A，B两地出发两地出发，相向而行，在，相向而行，在途中途中的的C地相遇，地相遇，相遇相遇时甲时甲骑行的时间比乙骑骑行的时间比乙骑行时行时间的间的3倍还多倍还多4 min甲甲骑车的速度是骑车的速度是每分钟每分钟360 m，乙骑车的速度，乙骑车的速度是每分是每分钟钟300 m，求甲骑，求甲骑行的行的距离距离.知知6 6练
37、练解：设乙骑行时间为解：设乙骑行时间为x min，则则甲骑行时间为甲骑行时间为(3x4)min.根据题意，得根据题意，得360(3x4)300 x18 000，解得解得x12.故故360(3124)14 400(m)14.4(km)答：甲骑行的距离为答：甲骑行的距离为14.4 km.知知6 6练练小明和他的哥哥早晨起来沿长为小明和他的哥哥早晨起来沿长为400 m 的环形跑道跑的环形跑道跑步，小明跑步，小明跑2 圈用的时间和他的哥哥跑圈用的时间和他的哥哥跑3 圈用的时间圈用的时间相等，两相等，两人同时人同时同地同向出发，结果经过同地同向出发，结果经过2 min 40 s 他们第一次相遇，若他们第
38、一次相遇，若两人两人同时同地反向出发，则经过同时同地反向出发，则经过几秒他们第一次相遇？几秒他们第一次相遇？解题秘方：解题秘方：可可将环形中的相遇或追及问题转化为直线将环形中的相遇或追及问题转化为直线中的中的相遇或追及问题相遇或追及问题.例 13知知6 6练练本题在求小明及哥哥本题在求小明及哥哥的速的速度度时，也可设他们的时，也可设他们的速度速度分别为分别为2 x m/s,3 x m/s知知6 6练练方法点拨：环形运动问题中的相等关系方法点拨：环形运动问题中的相等关系(同时同地出同时同地出发发):(1)同向追及：快者跑的路程同向追及：快者跑的路程 慢者跑的路程慢者跑的路程=跑道一跑道一圈的长度
39、圈的长度；(2)反向相遇：快者跑的路程反向相遇：快者跑的路程 慢慢者跑的路程者跑的路程=跑道一跑道一圈的长度圈的长度.知知6 6练练13-1.如图，某校如图，某校校园校园内的跑道的周长内的跑道的周长为为400 m，E和和F分别分别是是直道直道AC和和BD的最的最中间位置中间位置小明和小英在如图所小明和小英在如图所示的示的跑道跑道上上练习练习跑步，跑步，已知已知小明、小英两小明、小英两人人分别从分别从点点E，F两处同时两处同时沿着箭头沿着箭头方向方向出发，小明出发，小明的速度的速度是是6 m/s，小英小英的的速度速度是是4 m/s知知6 6练练(1)多长时间后，两人多长时间后，两人首次首次相遇相
40、遇？知知6 6练练(2)在第二次相遇前，在第二次相遇前，经过经过多长时间两人在多长时间两人在跑道跑道上相距上相距100 m？知知6 6练练一艘轮船在两个码头间航行，顺流需航行一艘轮船在两个码头间航行，顺流需航行4 h，逆流逆流需需航行航行5 h，如果水流速度为，如果水流速度为3 km/h，求两个码头间，求两个码头间的距离的距离.例 14知知6 6练练知知6 6练练(方法二方法二)设轮船在静水中的速度为设轮船在静水中的速度为x km/h，则，则 v 顺顺=(x3)km/h，v 逆逆=(x3)km/h.由题意得由题意得4(x3)=5(x3)，解得，解得x=2 7.则则4(x3)=4(273)=12
41、0.答：两个码头间的距离为答：两个码头间的距离为120 km.知知6 6练练方法点拨：顺流方法点拨：顺流(风风)逆流逆流(风风)问题常见的等量关系：问题常见的等量关系：1.顺流顺流(风风)速度速度=静水静水(无风无风)速度速度 水水(风风)速；速；2.逆流逆流(风风)速度速度=静水静水(无风无风)速度速度 水水(风风)速；速；3.顺流顺流(风风)路程路程=逆流逆流(风风)路程路程.知知6 6练练14-1.一架飞机从一架飞机从A城市城市飞往飞往B城市顺风航行城市顺风航行，用，用了了2h50 min，从，从B城市城市返回返回A城市逆风城市逆风航行航行，用了，用了3h 已已知知风的风的速度是速度是2
42、4km/h，求，求飞机飞机在无风航行时的在无风航行时的平均平均速度速度知知6 6练练知知6 6练练一列火车匀速行驶经过一座桥，火车完全通过桥共一列火车匀速行驶经过一座桥，火车完全通过桥共用了用了50 s，整列火车在桥上的时间为，整列火车在桥上的时间为 30 s，已知桥，已知桥长长1 200 m，求，求火车火车的长度和速度的长度和速度.解题秘方：解题秘方：理解：理解“完全通过桥完全通过桥”和和“整列火车在桥整列火车在桥上上”时时火车的运动过程，根据火车行驶的速度不变列火车的运动过程，根据火车行驶的速度不变列方程方程.例 15知知6 6练练解：设火车的长度为解：设火车的长度为x m.根据题干信息列
43、表如下根据题干信息列表如下：路程路程/m速度速度/(m/s)时间时间/s完全通过桥完全通过桥1200 x50整列火车在桥上整列火车在桥上1200 x30知知6 6练练知知6 6练练方法点拨：方法点拨：1.对于过桥或隧道问题对于过桥或隧道问题.一般选取车头一般选取车头(尾尾)作为标准作为标准，分析分析行驶的路程行驶的路程.2.以图以图5.2 1 中线段图能更好的体现路程关系：中线段图能更好的体现路程关系：知知6 6练练15-1.一列匀速行驶一列匀速行驶的火车的火车，通过列车隧道，通过列车隧道.已知从已知从车头车头进入隧道进入隧道入口入口到车尾离开到车尾离开隧道出口隧道出口，通过，通过104 m长
44、的长的隧道隧道需要需要8 s，通过，通过300 m长长的隧道需要的隧道需要15 s(1)求这列火车的长度；求这列火车的长度；知知6 6练练(2)若相邻车道上若相邻车道上匀速相向匀速相向行驶一列长度行驶一列长度为为312 m 的高铁，的高铁，且且火车与火车与高铁从车头相遇高铁从车头相遇到车到车尾相离一共经历尾相离一共经历了了4s，则，则这列高铁的这列高铁的速度速度为多少？为多少？解：解：这列火车的速度为这列火车的速度为(104120)828(m/s)设这列高铁的速度为设这列高铁的速度为y m/s.依题意得依题意得2844y120312，解，解得得y80.答：这列高铁的速度为答：这列高铁的速度为8
45、0 m/s.解一元一次方程解一元一次方程解解一元一一元一次方程次方程实际应用实际应用去分母去分母去括号去括号移项移项合并同类项合并同类项系数化为系数化为1已知关于已知关于x 的方程的方程4x2a=3x1 和和x3a=6 有有相同相同的的解，求解，求a2na2n1(n 为正整数为正整数)的值的值.题型题型同解问题同解问题1例 16思路思路引导：引导：解：由方程解：由方程4x2a=3x1，得，得x=1 2a.由方程由方程x3a=6，得，得x=3a6.由题意得由题意得1 2a=3a6，解得，解得a=1.故故a2na2n1=(1)2n(1)2n1=1(1)=2.方法点拨方法点拨利用两个方程解的利用两个
46、方程解的关系求关系求待定字母值的方法待定字母值的方法：方法方法1：先解两个方程：先解两个方程，再，再根据解的关系建立根据解的关系建立新方程新方程；方法方法2：先解一个方程：先解一个方程，再，再根据解的关系表示根据解的关系表示另一另一个方程个方程的解，最后的解，最后代入代入另一个方程中建立另一个方程中建立新方程新方程.已知关于已知关于x 的方程的方程2ax(a1)x3，若方程无解，若方程无解，则，则整数整数a=_；若方程的解为正整数，则整数若方程的解为正整数，则整数a=_.题型题型特殊解问题特殊解问题2思路引导：思路引导：例 1712 或或4现有一些分别标有数的卡片，按如下规律现有一些分别标有数
47、的卡片，按如下规律7，14，21，28，35，排列，小明拿了相邻的三张卡片，他，排列，小明拿了相邻的三张卡片，他计计算算出这三张卡片上的数之和为出这三张卡片上的数之和为3 5 7.题型题型解的存在性问题解的存在性问题3解题秘方：解题秘方：这些这些卡片上的数的排列规律是：后一个数卡片上的数的排列规律是：后一个数比比前一前一个数大个数大7 或每个数是或每个数是7 的的n 倍倍(n 为正整数为正整数).例 18(1)小明所拿的三张卡片上的数分别是多少小明所拿的三张卡片上的数分别是多少？解解：设：设小明所拿的三张卡片的中间一张上的数为小明所拿的三张卡片的中间一张上的数为x，则另外两张上的数分别为则另外
48、两张上的数分别为(x7)和和(x7).根据题意，得根据题意，得(x7)x(x7)=3 5 7，解得解得x=119，所以，所以x7=112，x7=126.答：小明所拿的三张卡片上的数分别是答：小明所拿的三张卡片上的数分别是112，119，126.(2)小明能否拿到相邻的三张卡片，使得三张卡片小明能否拿到相邻的三张卡片，使得三张卡片上的上的数之数之和为和为8 5？若能拿到，请求出是哪三张；若不能，？若能拿到，请求出是哪三张；若不能，请说请说明明理由理由.解：解：不能不能.理由：由理由：由(1)知相邻的三张卡片上的数知相邻的三张卡片上的数之和之和为为(x7)x(x7)=3x，就是说这相邻的三张，就是
49、说这相邻的三张卡片上卡片上的的数之和能被数之和能被3 整除，而整除，而8 5 不能被不能被3 整除，所以小明整除，所以小明不能不能拿到相邻的三张卡片，使得三张卡片上的数之和为拿到相邻的三张卡片，使得三张卡片上的数之和为85.题型题型利用一元一次方程的解法解纠错问题利用一元一次方程的解法解纠错问题4思路引导思路引导:例 19解题通法解题通法纠错类题目纠错类题目实际是实际是考查解考查解一元一次方程时一元一次方程时的易错点，的易错点，错解错解虽然不是虽然不是原方程的解，原方程的解，但是是但是是变形错误方程的解变形错误方程的解.解解决决此类题目的关键此类题目的关键是是“将错就错将错就错”，按照，按照错
50、误错误变形判断出变形判断出变形后变形后的方程的方程，然后将错解代入，然后将错解代入，求得，求得字母的值后，再字母的值后，再正正确确求解原方程求解原方程.易错易错点点1 1对移项的理解有误而出错对移项的理解有误而出错下列选项中，移项正确的是下列选项中，移项正确的是()A.方程方程8x=6 变形为变形为x8=6B.方程方程5x=4x8 变形为变形为5x4x=8C.方程方程3x=2x5 变形为变形为3x2x=5D.方程方程32x=x7 变形为变形为x2x=73例20错解：错解：D正解：正解：A 项变形为项变形为x=86，C 项变形为项变形为3x2x=5，D 项变形项变形为为x2x=3 7.答案：答案
