1、第第4 4章章 菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射内容要点：内容要点：1.知识背景2.菲涅耳近似3.夫琅禾费近似4.夫琅禾费衍射图样的例子5.菲涅耳衍射的例子 1.知识背景 1.1.1.1.波场的强度波场的强度光探测器在光敏区域吸收一个光子，会在导带中产生一个电子，在价带中产生一个空穴。在内部场和外加场的作用下，空穴电子向相反方向运动，导致光电流。大多数情况下，光电流与入射功率成正比，光学中可直接测量的量是光功率，功率与复标量场u(p,t)和U(p)是有联系的。标量单色波在P点的强度：非理想窄带波强度：有些场合下瞬时强度：1.2 1.2 直角坐标系中的惠更斯直角坐标系中的惠更斯菲
2、涅耳原理菲涅耳原理假设衍射孔径处于平面内，在正Z方向被照明。我们要计算平行于平面且与其法向距离为Z的平面上的波场。Z轴在这两个平面的原点穿过。则惠更斯菲涅耳原理可以表述为：而 精确值为：，则：其中，距离 为：在上式的推导中用到了两个近似，一个是标量理论所固有的，另一个是从孔径到观察点的距离比波长大得多的假设，即 。01r 衍射的几何关系示意图：1.3.1.3.屏幕的振幅透射比屏幕的振幅透射比 一个屏幕的振幅透射比 定义为紧贴屏幕后的场的复振幅与入射到屏幕上的复振幅的比值。值的范围为01。2.2.菲涅耳近似菲涅耳近似考虑表示式 ，二项式可展开为：其中，为了得到给定精度所需的项数取决于b的大小。由
3、此将 变换为：由于弃去除Z以外各项所带来的误差一般很小，但是对于出现在指数中的 ，误差就比较大，基于这个原因，在指数中保留二项式展开的两项。于是 处的场的表示式变成：这是一个卷积，可表示为：（1 1）1+b21111.28bbb 01r01r(,)x y卷积的核为如果将因子 提到积分号外，可得到另外一种形式：（2）（2）式是除了一个相乘因子外，它是紧靠孔径右方的复场与一个二次相位因子的乘积的傅立叶变换。我们把结果形式（1）和（2）都叫做菲涅耳衍射积分，当这个近似成立时，我们就说处于菲涅耳衍射区，或等效地是在孔径的近场。菲涅耳衍射的作用相当于一个空不变线性系统，必具有传递函数：我们近似的要点：把
4、球面波的表示式换成二次相位指数函数。22(,)exp()2jkzjkh x yj zzeyx22exp()2jkzyx22(,)exp()2jkzjkh x yj zzeyx在频域中描述:（1）各个频率分量传递的振幅为1（2）表示各个分量到达平面都有相同的延迟（3）各频率分量不同，相位延迟不同，表示位相的色散（4）可看出菲衍可看作空间传播的一种特殊情况。2.1.2.1.正相位正相位oror负相位负相位相位符号不仅与二次相位指数函数有关，而且与考虑球面波的精确表示式及与光轴传播的角度有关。因此，如果穿过空间的运动方式是截击波的发射更晚的部分，那么相矢量将会在顺时针方向上有所进展，相位必定会变得更
5、负。相反，如果在空间运动是截击波的发射更早的部分，那么相矢量还没有时间在顺时针方向上转那么远，而相位必定变得更正。因此，远离远点时相位必须在正向增加，会聚球面波时且Z仍为正，则相位减少。2.2.2.2.菲涅耳近似的精度菲涅耳近似的精度菲涅耳近似的精度是由二项式弃去高于一次项的各项所引入误差决定的。保证精度的充分条件是，弃去高次项所引进的最大相位变化远小于1弧度。如果距离Z满足：因而这个要求的观察距离比较大。但是只要高次项不显著改变菲涅耳衍射积分之值就行了，考虑上面卷积形式（2）式，如果对积分的主要贡献来自 的那些点，那么展开式的高次项的具体值就不重要了，短得多的距离就可以得到很好的精度。xy和
6、 二次相位指数函数的积分如图：从图可以看出，随着X的增大，积分之值趋于其渐进值1，之后围绕1振荡，但是涨落越来越小，因此，对这个函数与另一光滑而且缓变的函数的卷积的主要贡献来自-2X那么（2）式中积分号下的二次相位因子在整个孔径上近似等于1，而观察的场就可以从孔径上的场分布本身的傅里叶变换直接求出，因此在夫琅禾费衍射区内，如前所述，在光学频段，夫琅禾费近似成立所要求的条件可以是相当苛刻的。例如，当波长为0.6(红光）、孔径宽度为2.5cm（一英寸）时，观察距离Z必须满足Z1600m。(,)U x y(,)U 22exp(/2)()j kzmax22()2k但是孔径用一个向观察者会聚的球面波照明
7、，或者将一个会聚透镜放在观察者和孔径之间的适当位置上，夫琅禾费衍射图样能够在比指定的距离更近的距离上观察到。最后，既然夫琅禾费衍射只是菲涅耳衍射的特殊情形，传递函数式（3）就应该对菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射二者都有效。这就是说，永远能以菲涅耳近似的全部精度计算夫琅禾费内的衍射场。4.4.夫琅禾费衍射图样的例子夫琅禾费衍射图样的例子计算夫琅禾费衍射图样的步骤：振幅透射比孔径上的场分布强度分布夫琅禾费衍射图样(,)At 单位振幅的单色平面波垂直入射照明(,)At 对场分布做傅立叶变换(,)F U 傅里叶逆变换(,)U x y(,)I x y2()()I PU P 4.1.4.1.矩形孔径矩形孔径其振
8、幅透射比为孔径产生的夫琅禾费衍射图样为：强度分布为：夫琅禾费图样沿X轴的截面和矩形孔径所产生的衍射图样的照片：4.2.4.2.圆形孔径圆形孔径振幅透射比为：夫琅禾费衍射图样的振幅分布为：强度分布为：爱丽图样的截面图和圆孔径产生的夫琅禾费衍射图样的照片：4.3.4.3.薄正弦振幅光栅薄正弦振幅光栅透射比函数：夫琅禾费衍射图样为：强度分布为：薄正弦振幅光栅的衍射图样为：由于一部分入射光被光栅吸收，此外，孔径上的透射比的正弦式变化将中央衍射图样中的一部分能量偏转到新加的两个边旁图样中去了。中央衍射图样称为夫琅禾费衍射图样的零级，而两个边旁图样称为一级。另一个在全息术和光学信息处理中有某些实用价值的量
9、是光栅的衍射效率。衍射效率的定义为入射的光功率中有多少份额出现在该光栅的某个单一的衍射级上。4.4.4.4.薄正弦相位光栅薄正弦相位光栅振幅透射比函数定义为：紧贴屏幕后的场分布为：假设在限界孔径内有光栅的许多个周期（）,那么各个衍射项之间的交叠可以忽略，相应的强度图样变为：因此，正弦相位光栅的引入把能量从零级衍射偏转到许多更高级的衍射上去。以下是相位延迟的峰峰值m为8弧度时强度图样的截面图。01fw根据系数大小的平方，可以求得薄正弦相位光栅的衍射效率。于是此光栅的q级衍射效率为：下图为不同q值下 的和 的关系曲线图：由图可知，其比薄正弦振幅光栅的效率高得多，这个光栅不吸收光功率，因此出现在各级
10、之上的功率之和为常数，不随m而变，并且等于入射功率。22qqmnJqn2m 4.4.菲涅耳衍射的例子菲涅耳衍射的例子本节主要讲述了两种计算菲涅耳衍射图样的方法，第一种为方孔径产生的菲涅耳衍射下，基于衍射计算的卷积表示的经典方法的应用；第二个介绍了塔尔伯特成像的情况，主要说明了频域方法的巨大优点。4.1.4.1.方孔径的菲涅耳衍射方孔径的菲涅耳衍射设一个宽度为2w的方孔径用单位振幅的单色平面波垂直照明。紧贴着孔径之后的场分布为：菲涅耳衍射方程的卷积形式可表示为：这个式子可以分离为两个一维积分的乘积，通过一系列的变量代换和数学变形，可用前面的菲涅耳积分表示出来，得到复场分布为：波场的强度为：对于固
11、定的 ，随着z的增大，菲涅耳数 减小，归一化把真正的物理距离放大得越来越大。下图是在离孔径各种不同的归一距离下沿x轴的归一强度分布：w和FN如右所示：注意：随着观察平面趋近孔径平面（变大）。菲涅耳核趋于一个 函数和因子 的乘积，衍射图样的形状趋于孔径自身的形状。事实上，这个过程就是对复场的几何光学预言。另外，随着距离z变大（减小），衍射图样变得比孔径宽得多，其结构也变得比较光滑，这个极限下的衍射图样趋近于早先讨论的夫琅禾费极限。FNjkzeFN 4.2.4.2.正弦振幅光栅产生的菲涅耳衍射正弦振幅光栅产生的菲涅耳衍射塔塔 尔伯特像尔伯特像 考虑正弦振幅光栅在菲涅耳衍射区内的衍射，忽略光栅的有限
12、大小，集中研究光栅投射的场的衍射效应及其在周期结构上的传播。我们限于与任何有界光栅相联系的菲涅耳衍射图样的中心区域，即位于衍射区域的两个过渡区之间。光栅振幅透射比为：假定光栅结构由一个垂直入射的单位振幅平面波照明，因此紧贴光栅之后的场等于上面写出的振幅透射比。计算光栅后面的场可从几种不同的途径着手，（1）菲涅耳衍射方程的卷积形式，（2）傅里叶变换形式，（3）传递函数方法。依据传递函数方法，由振幅投射比和传递函数，卷积之后进行傅里叶逆变换得到离光栅距离z处的场分布为：强度分布为：下面考虑这个结果的三个特殊形式：设光栅后的距离z满足 ，那么光栅后面这个距离上观察到的强度为：它可以解释为光栅的一个理
13、想的像。这就是说，它是紧贴光栅后面所观察到的强度的精确的复制品。没有透镜的帮助，就有大量的这种像出现在光栅后面。这种像叫做塔尔伯特像，或简单地叫做自成像。22znL或2.设观察距离满足：此时光强为：场分布也是光栅的一个像，但这时有一个的空间相位相移，或等价地反差反转，也叫做塔尔伯特像。3.最后，如果距离满足：这时强度分布为：这个像的频率是原来的光栅的频率的两倍，反差减小。这样的像叫做塔尔伯特子像，注意，如果 ,则周期结构的像在子像平面上实际上将消失。可以证明的是，任何周期结构都会出现塔尔伯特像现象。L（n+1）（n+1）或221()2(21 2nLznzL）或1m 光栅后面各种类型的像的位置的图形如下：
