1、学习目标学习目标27.2 27.2 相似三角形相似三角形第二十七章第二十七章 相似相似27.2.1 27.2.1 相似三角形的判定相似三角形的判定感悟新知感悟新知知识点知识点相似三角形相似三角形知知1 1讲讲11.相似三角形概念三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似图示既可以作为既可以作为相似三角形相似三角形的的判定，又可以作为判定，又可以作为相相似三角形似三角形的性质的性质感悟新知感悟新知知知1 1讲讲续表表示ABC与DFE相似可以表示为“ABCDFE”读法三角形ABC相似于三角形DFE相似比感悟新知感悟新知知知1 1讲讲2.相似三角形的对应性、顺序性、传递性内容示例图示对应性两个三角
2、形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上如:A B C ABC不能写成ABCBCA感悟新知感悟新知知知1 1讲讲续表内容示例图示顺序性相似比具有顺序性传递性相似三角形具有传递性如:ABCABC，A B C GHK，则ABC GHK感悟新知感悟新知知知1 1讲讲知识拓展知识拓展全等三角形全等三角形相似三角形相似三角形形状形状相同相同大小大小相等相等不一定相等不一定相等对应边对应边相等相等成比例成比例对应角对应角相等相等符号符号 相似比相似比1正实数正实数关系关系全等三角形一定是相似三角形，相似三角形不一定全等三角形一定是相似三角形，相似三角形不一定是全等三角形是全等三角形感悟新知感悟新
3、知知知1 1讲讲方法归纳方法归纳相似三角形中对应相似三角形中对应元素元素的寻找方法：的寻找方法：对应对应角的对边角的对边对应边的对应边的对角对角对应角的对应角的夹边夹边对应边的对应边的夹角夹角最长最长(短短)边边公共公共角角最大最大(小小)角角是是对应对应边边是对应角是对应角感悟新知感悟新知知知1 1练练例 1如图27.21，已知ABCADE，A70，B40，AB6，BC6，AD3.解题秘方：紧扣“相似三角形定义中对应角相等，对应边成比例”求解.感悟新知感悟新知知知1 1练练(1)求ABC与ADE的相似比；(2)求AED的度数和DE的长.感悟新知感悟新知知知1 1练练11.中考重庆如图，已知A
4、BCEDC，AC EC2 3，若AB的长度为6，则DE的长度为()A.4 B.9C.12 D.13.5B感悟新知感悟新知知知2 2讲讲平行线分线段成比例的基本事实及其推论知识点知识点平行线分线段成比例平行线分线段成比例2文字语言图示符号语言基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例感悟新知感悟新知知知2 2讲讲续表文字语言图示符号语言推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例感悟新知感悟新知知知2 2讲讲拓展延伸拓展延伸平行线分线段平行线分线段成比例成比例的基的基本事实的本事实的常见常见变形变形感悟新知感悟新知知知2 2练练例 2感悟新知感悟新知知
5、知2 2练练解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实找成比例的线段.答案：C感悟新知感悟新知知知2 2练练D感悟新知感悟新知知知2 2练练例 3感悟新知感悟新知知知2 2练练解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实的推论建立比例式是解题关键.答案：C感悟新知感悟新知知知2 2练练技巧点拨：利用平行线分线段成比例的基本事实或推论求线段长的方法：先确定图中的平行线，再根据平行线截得的线段间的比例关系，写出一个含有待求线段和已知线段的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段的长.感悟新知感悟新知知知2 2练练31.期末绍兴上虞区 为制作风筝，小明做了如图所示的风筝支架示意图，已知点B、点C分别在射
6、线AD与AE上，且BCDE，AB AD3 7，AE28 cm，则CE的长是()A.8.4 cmB.11.2 cmC.12 cmD.16 cmD感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点平行线截三角形相似的定理平行线截三角形相似的定理3内容类别“A 型”“X 型”平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似DEBC，且DE与AB，AC的延长线相交DEBC，且D E 与 A B，AC 相交DEBC，且DE与AB，AC的反向延长线相交感悟新知感悟新知知知3 3讲讲警示误区警示误区利用平行线判定利用平行线判定三角形三角形相似必须满足两相似必须满足两个条件个条件：
7、1.存在一条平行于存在一条平行于三角形三角形一边的直线一边的直线;2.平行线与三角形平行线与三角形其他其他两边或其两边或其延长线相交延长线相交.如图，即使如图，即使 AD/BC，也，也不能得到不能得到ABC与与DCA相似相似.感悟新知感悟新知知知3 3练练如图27.24，已知在ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.解题秘方：紧扣平行线截三角形相似的两种基本图形：“A 型”和“X 型”进行查找.例 4感悟新知感悟新知知知3 3练练求相似比求相似比不仅不仅要找要找准对应边准对应边，还，还需注需注意两个意两个三角形三角形的
8、先的先后顺序后顺序，若，若顺序颠顺序颠倒，则倒，则相似相似比成为比成为原来原来相似相似比的倒数比的倒数感悟新知感悟新知知知3 3练练41.如图，ABEFDC，ADBC，EF与AC交于点G，则图中的相似三角形共有()A.3 对 B.5 对C.6 对 D.8 对C感悟新知感悟新知知知3 3练练如图27.25，在ABCD中，AEEB，AF2，则FC_.例 54感悟新知感悟新知知知3 3练练解题秘方：涉及的线段在平行线上时，用平行线截三角形相似；涉及的线段都在截线上时，用平行线分线段成比例.感悟新知感悟新知知知3 3练练C感悟新知感悟新知知知4 4讲讲1.相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相
9、似.知识点知识点三边关系判定三角形相似定理三边关系判定三角形相似定理4特别提醒特别提醒由三边成比例由三边成比例判定两判定两三角形相似与由三角形相似与由三边三边对应相对应相等判定两等判定两三角形三角形全等的方法类似全等的方法类似，只需，只需把三边对应把三边对应相相等改为等改为三边成比例即可三边成比例即可.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲感悟新知感悟新知知知4 4讲讲3.利用三边判断两个三角形是否相似的步骤与方法步骤方法排序将三角形的三边按从小到大(或从大到小)的顺序排列计算 分别计算这两个三角形对应边的比值判断 根据比值是否相等判断两个三角形是否相似感悟新知感悟新知知知4 4练练图27.27、图2
10、7.28中小正方形的边长均为1，则图27.28中的哪一个三角形(阴影部分)与图27.27中的 ABC相似？例 6感悟新知感悟新知知知4 4练练解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”，用计算比较法判断.感悟新知感悟新知知知4 4练练感悟新知感悟新知知知4 4练练61.期末清远清城区如图，点A，B，C，D均在边长为1 的小正方形网格的格点上，连接AD，求证：ABD CBA.感悟新知感悟新知知知4 4练练感悟新知感悟新知知知5 5讲讲1.相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.知识点知识点边角关系判定三角形相似定理边角关系判定三角形
11、相似定理5特别提醒特别提醒运用该运用该定理证明两定理证明两三角形相似时，三角形相似时，一定一定要注意边要注意边角的关系角的关系，相等，相等的角一定是成的角一定是成比例比例的两组对应边的的两组对应边的夹夹角角.类似于判定类似于判定三角形全三角形全等的等的SAS 的方法的方法.感悟新知感悟新知知知5 5讲讲感悟新知感悟新知知知5 5练练如图27.210，在正方形ABCD中，P是BC上的一 点，且BP3PC，Q是CD的中点.求证：ADQ QCP.解题秘方：紧扣“边角关系判定三角形相似定理”证明即可.例 7感悟新知感悟新知知知5 5练练感悟新知感悟新知知知5 5练练技巧点拨:利用两边成比例且夹角相等证
12、两三角形相似的方法先找出两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后证明这两组对应边成比例.感悟新知感悟新知知知5 5练练71.期末泉州泉港区如图，线段AB 与CD相交于点P，AP5，CP3，BP10，DP6.求证：APC BPD.感悟新知感悟新知知知5 5练练感悟新知感悟新知知知6 6讲讲1.相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形 相似.知识点知识点角的关系判定三角形相似定理角的关系判定三角形相似定理6特别提醒特别提醒常见的相等的角：常见的相等的角：公共角；公共角；对顶角对顶角；两直线平行时；两直线平行时的同位角的同位角、内、内错角；
13、错角；同角同角(等角等角)的余角的余角(补角补角)；同弧所对的圆周角同弧所对的圆周角.感悟新知感悟新知知知6 6讲讲2.数学表达式如图27.211，在ABC和DEF中，A D，且BE，ABCDEF.感悟新知感悟新知知知6 6练练如图27.212，在ABC中，AD是BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F.求证：ABFCAF.例 8感悟新知感悟新知知知6 6练练解题秘方：紧扣“两组对应角相等的两个三角形相似”，由于BFA是公共角，因此只需利用图形的相关性质证明B4即可.感悟新知感悟新知知知6 6练练证明：EF 垂直平分AD，AFDF.FAD3.AD 是BAC的平分线，1
14、2.又B31，4FAD2，B4.又BFAAFC，ABFCAF.感悟新知感悟新知知知6 6练练81.中考 菏泽如图，在RtABC中，ABC90，E是边AC上一点，且BEBC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：ADEABC.感悟新知感悟新知知知6 6练练证明：BEBC，CCEB.CEBAED，CAED.ADBD，DABC90.ADEABC.感悟新知感悟新知知知6 6练练AD，BC，ABEDCE.感悟新知感悟新知知知7 7讲讲1.直角三角形相似的判定方法(1)一组锐角相等的两直角三角形相似；(2)两组直角边对应成比例的两直角三角形相似；(3)斜边与一组直角边对应成比例的两直角三角形相似
15、.知识点知识点直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定7感悟新知感悟新知知知7 7讲讲感悟新知感悟新知知知7 7讲讲深度理解深度理解1.判定一般三角形判定一般三角形相似的相似的方法同样方法同样适用于适用于判定两个判定两个直角三直角三角形角形相似相似.2.在在直角三角形中，直角三角形中，只要只要一组锐角相等，一组锐角相等，或有或有两边对应成两边对应成比例比例，即，即可判定这两个可判定这两个直角三角形直角三角形相似相似.3.直角三角形被直角三角形被斜边上斜边上的高分成的两的高分成的两个小个小直角三角形都直角三角形都与与原原直角三角形相似直角三角形相似.感悟新知感悟新知知知7 7练练在RtABC和R
16、tDEF中，CF90，下列条件中，不能判定这两个三角形相似的是()A.A55，D35B.AC9，BC12，DF6，EF8C.AC3，BC4，DF6，DE8D.AB10，AC8，DE15，EF9例 9 感悟新知感悟新知知知7 7练练思路引导：解：A.A55，B905535.D35，BD.又CF90，RtABC RtEDF.感悟新知感悟新知知知7 7练练感悟新知感悟新知知知7 7练练答案：C感悟新知感悟新知知知7 7练练91.如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，图中共有哪几对相似三角形？并选择其中一对进行 证明.感悟新知感悟新知知知7 7练练解：图中共有3对相似三角形，分别为ACDA
17、BC，CDBACB，ACDCBD.(选择不唯一)证明ACDABC如下：ACB90，CDAB于点D，ADC90ACB.又AA，ACDABC.感悟新知感悟新知知知7 7练练感悟新知感悟新知知知7 7练练课堂小结课堂小结相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角形的定义平行线的性质平行线截对应线段成比例平行线截三角形相似相似三角形的判定定理综合应用创新综合应用创新题型题型利用利用“三点定形法三点定形法”找相似三角形找相似三角形1已知：如图27.214，CD是RtABC斜边AB上的 高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F.求证：ACCFCBDF.例10综合应用创新综合应用创
18、新解题秘方：用“三点定形法”将比例式中的四条线段划归到两个相似三角形中进行证明.综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新技巧提醒：运用三点定形法时，要设法找出比例式或等积式中所含的几个字母，是否存在可由“三点”确定两个相似三角形，且式子中所有点要在这两个三角形中，“横看”与“竖看”是“三点定形法”找相似三角形的常用方法.综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新题型题型利用平行线构造相似三角形利用平行线构造相似三角形2如图27.215，在ABC中，点D是AB上的点，且AB3AD，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F.求证：BCCF.解题秘方：紧
19、扣“平行线或相似三角形”使线段成比例的特征作辅助线.例11综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新教你一招：作平行线构造成比例线段及相似三角形的思路作平行线构造成比例线段及相似三角形的实质是构造“A 型”或“X 型”图形，常用的添加辅助线的规律：(1)原图中的每条直线都可以看作平行线中的一条，针对每一条直线都可以过不在这条直线上的点作它的平行线.(2)过图中任一点都可作不经过这点的直线的平行线.综合应用创新综合应用创新另解另解本题还有其他本题还有其他多种多种解法，下面仅给解法，下面仅给出添加出添加辅助线的思辅助线的思路路，举例，举例如下：如下：1.如图如图27.
20、218，过，过点点B作作BGAC，交，交FD的的延长线延长线于点于点G.综合应用创新综合应用创新2.如图如图27.219，过，过点点B作作BGDF，交，交AC的的延长线延长线于点于点G.3.如图如图27.220，过，过点点C作作CGDE，交，交AB于于点点G.同理同理，还可过，还可过点点D，E，F作作平行线平行线.综合应用创新综合应用创新题型题型圆与相似三角形的综合圆与相似三角形的综合3中考滨州如图27.221，已知AC为 O的直径，直线PA 与 O相切于点A，直线PD经过 O上的点B且CBDCAB，连接OP交AB于点M.例12综合应用创新综合应用创新思路引导：综合应用创新综合应用创新证明：如
21、图27.221，连接OB.OBOC，OCBOBC.AC是 O的直径，CBA90.CABOCB90.CBDCAB，CBDOBC90，即OBD90.PD是 O的切线.求证：(1)PD是 O的切线；综合应用创新综合应用创新(2)AM2OMPM.综合应用创新综合应用创新知识储备知识储备证明两个证明两个三角形相似三角形相似，常用的判定，常用的判定方法方法是是“两角分别两角分别相等的相等的两个三角形相似两个三角形相似”，其次，其次是是“两边成两边成比例且比例且夹角相夹角相等的两个等的两个三角形三角形相似相似”，有时候也有时候也会用到会用到“三边三边成比例成比例的的两个两个三角形相似三角形相似”.综合应用创
22、新综合应用创新方法点拨方法点拨在圆中证明两在圆中证明两个三角形个三角形相似，一般相似，一般找两找两组角分别相等，组角分别相等，找角找角相等的方法有相等的方法有：1.利用切线的性质利用切线的性质;2.通过条件计算角的度数；通过条件计算角的度数；3.根据根据“同弧或同弧或等弧等弧所对的所对的圆周角相等圆周角相等”.综合应用创新综合应用创新题型题型函数与相似三角形的综合函数与相似三角形的综合4如图27.222，ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点(不是顶点)，BDE60.例13解题秘方：紧扣“相似三角形对应边成比例的性质”用方程思想求函数解析式.综合应用创新综合应用创新(1)求证：DE
23、CBDA；证明：BDE60，EDCADB120.ABC为等边三角形，C A60.DBA ADB120.EDC DBA.DECBDA.综合应用创新综合应用创新(2)若等边三角形的边长为4，并设DCx，BEy，试求y 关于x 的函数解析式.综合应用创新综合应用创新解题通法解题通法解决此类解决此类问题时问题时，一般要从已知，一般要从已知入手入手，找出三角形，找出三角形相相似的似的条件，证得条件，证得三角形相似三角形相似后得出与两个后得出与两个变量变量相关的线段相关的线段比例式比例式，再把，再把x，y代代到到比例式比例式中化简得到中化简得到函数解析函数解析式，同式，同时注意时注意x的的取值范围取值范围
24、.综合应用创新综合应用创新题型题型探究动态问题中的相似三角形探究动态问题中的相似三角形5如图27.223，ABBD，CDBD，AB6 cm，CD4 cm，BD14 cm，动点P从点B出发沿BD方向匀速向点D移动，当点P距离点B多远时APB与CPD 相似？例14综合应用创新综合应用创新思路引导：综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新解题通法解题通法在与在与相似三角形相似三角形相关的动点相关的动点题目中题目中，随动点位置的，随动点位置的不不同同，图形的形状，图形的形状发生变化发生变化，则，则相似三角形边相似三角形边的对应关系发的对应关系发生生变化变化，出现多种情况
25、，出现多种情况.所以所以在动点的题目中在动点的题目中，出现，出现“XXX 和和 XXX相似相似”这种描述时，这种描述时，点的点的对应关系不确定对应关系不确定，必须必须进行分类讨论进行分类讨论.综合应用创新综合应用创新易错点易错点 解题时考虑不全面，造成漏解解题时考虑不全面，造成漏解在ABC中，AB8，AC5，BC10，P为AB上一点，PA4，过点P的直线交AC边所在的直线于点 D，若PAD 与ABC相似，则PD的值为多少？例15综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新诊误区：诊误区：由于由于受到思维受到思维定式的定式的影响影响，往往只，往往只考虑到考虑到PD/B
26、C的的情况情况，而忽视而忽视PD与与BC不平行的情况不平行的情况，从而，从而造成漏造成漏解解.解解答此答此类问题类问题时，要时，要考虑所有考虑所有可能的可能的情况情况,避免因为避免因为考虑考虑不不全面而全面而导致漏导致漏解解.中考风向标中考风向标考法考法利用平行线分线段成比例求线段利用平行线分线段成比例求线段的比值的比值1例16中考风向标中考风向标试题评析：本题考查了根据平行线分线段成比例的基本事实求值，正确得出相应的比例式是解题的关键.中考风向标中考风向标在每个小正方形的边长为1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图27.226，已知RtABC是
27、66网格图形中的格点三角形，则该图中所有与RtABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是_.考法考法网格中的三角形相似网格中的三角形相似2例17中考风向标中考风向标试题评析：本题考查了相似三角形的判定，明确相似三角形的判定定理是解题的关键.中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标中考上海如图27.227，在梯形ABCD中，ADBC，点F，E分别在线段BC，AC上，且FAC ADE，ACAD.考法考法四边形中的三角形相似四边形中的三角形相似3例18中考风向标中考风向标试题评析：本题是相似三角形的判定与四边形的综合题，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.中考风向标中考风向
28、标(1)求证：DEAF；证明：AD BC，ACF DAC.FAC ADE，ACAD，ACF DAE(ASA).DEAF.中考风向标中考风向标(2)若ABCCDE，求证：AF2BFCE.中考风向标中考风向标 中考北京如图27.228，AB是 O的直径，点C，D在 O上，OD平分AOC.考法考法圆中的三角形相似圆中的三角形相似4例19中考风向标中考风向标试题评析：本题考查了圆的基本性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是学会添加常用的辅助线，灵活运用所学知识解决问题.中考风向标中考风向标(1)求证：ODBC；证明：如图27.229，连接AC.AB 是 O的直径，ACBC.OD平分
29、AOC，AODCOD.AD CD.OD AC.OD BC.中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标考法考法函数中的三角形相似函数中的三角形相似5例20中考风向标中考风向标试题评析：本题考查了反比例函数与一次函数的综合，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是对三角形的相似分类讨论.中考风向标中考风向标(1)求直线和双曲线的解析式.中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标(2)过点C作CDx轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P 为顶点的三角形与BCD相似，求点P的坐标.解：A(0，2)，B(1，0)，C(2，2)，CDx轴，点P在x 轴上，OA2，BD
30、1，CD2，CDB90AOP.当以O，A，P为顶点的三角形与BCD相似时，分两种情况进行讨论：中考风向标中考风向标综合素养训练综合素养训练D综合素养训练综合素养训练C综合素养训练综合素养训练C综合素养训练综合素养训练B综合素养训练综合素养训练5.中考 东营如图，ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，ADE60.若BD4DC，DE2.4，则AD 的长为()A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2C综合素养训练综合素养训练B综合素养训练综合素养训练7.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕
31、为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与NDM一定相似的三角形是_.MCB综合素养训练综合素养训练8.中考滨州如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC 上.添加一个条件使ADEACB，则这个条件可以是_(写出一种情况即可).ADEC(答案不唯一)综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练10.中考滨州如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B 均在格点上.(1)AB的长为_；综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练如图，矩形ABCD即为所求根据矩形的面积公式求得AD，BC的长，再利用相似三角形的性质找到点D和点C的位置综合素养训练综合素养训练11.中考广州
32、如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE3，EC6，CF2.求证：ABEECF.综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练12.中考 江西如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，ACDABE.综合素养训练综合素养训练(1)求证：ABCAEB；证明：四边形ABCD为菱形，ACDBCA.ACDABE，BCAABE.又BACEAB，ABCAEB.综合素养训练综合素养训练(2)当AB6，AC4 时，求AE 的长.综合素养训练综合素养训练13.中考盐城如图，点C在以AB为直径的 O上，过点C 作 O的切线l，过点A作ADl，垂足为D，连接AC，BC.综合素养训练综合素养训
33、练(1)求证：ABCACD；证明：如图，连接OC.AB为直径，ACB90.OCOA，OCACAB.l是O的切线，OCl.ADl，ADC90，OCAD.CADACOCAB.又ADCACB90，ABCACD.综合素养训练综合素养训练(2)若AC5，CD4，求 O的半径.综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练(2)已知ADAE1.如图，连接DE，如果ADE外接圆的圆心恰好落在B的平分线上，求ADE 的外接圆的半径长；综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练如图，如果点M在边BC上，连接EM，DM，EC，DM 与EC 交于N.如果DMCCEM，BC4，且CD2DMDN，求边DC的长.综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练
