1、 理科数学试卷 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 考试时间为 120 分钟，满分 150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1设 2 31 i 22 z ，其中i是虚数单位，则z （ ） A 1 2 B2 C1 D2 2已如集合 0Ax x，集合 2 ln2Bx yxx
2、 ，则AB （ ） A1, B2,1 C0,1 D2, 3已知向量, 1ax，2,4b ，若ab，cab ，则a在c上的投影为（ ） A1 B1 C 2 D 2 4方程 4422 4xyxy所表示曲线的大致形状为（ ） A B C D 5命题 :p “0,x ， 2 exx”的否定形式 p 为（ ） A0,x ， 2 exx B 0 ,0 x ， 0 2 0 exx C 0 0,x， 0 2 0 exx D 0 0,x， 0 2 0 exx 6已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是（ ） Acos siny x Bsin sinyx Ccos cosyx Dsin cosyx 7设函数 e
3、axf x 与 lng xbx的图象关于直线0 xy对称， 其中a，bR且0a则a，b满 足（ ） A2ab = B1ab C1ab D1 b a 8如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断正确的是（ ） A该弹簧振子的振幅为1cm B该弹簧振子的振动周期为1.6s C该弹簧振子在0.2s，和1.0s时的振动速度最大 D该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移不为零 9历史上第一个给出函数一般定义的是 19 世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet） ，当时数学家们处理的大 部分数学对象都没有完全的严格的定义， 数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象， 狄利克雷在 1829 年
4、给出了著名函数： 1, 0, e xQ f x xQ （其中Q为有理数集， 3 Q为无理数集） ，狄利克雷函数的出现表示 数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数 学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”一般地，广义的狄利克雷函数可定义为： , , e a xQ D x b xQ （其中a，bR且ab） ，以下对 D x说法错误的是（ ） A任意非零有理数均是 D x的周期，但任何无理数均不是 D x的周期 B当ab时， D x的值域为 , b a；当ab时， D x的值域为, a b C D x为偶函数 D D x在实数集的任何区间上
5、都不具有单调性 10设锐角三角形ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 2 2cb cb， 2a ， 则bc的取值范围为（ ） A2,2 2 B2,2 2 C 6,2 2 D6,2 2 11若函数 sin0 6 f xx 在0,上有且仅有 3 个零点和 2 个极小值点，则的取值范围 为（ ） A 17 10 , 63 B 10 23 , 36 C 17 10 , 63 D 10 23 , 36 12已知函数 f x的导函数为 fx ，任意xR均有 * efxfx，且 10f，若函数 g xf xt在1,x 上有两个零点，则实数t的取值范围是（ ） A1,0 B 2 1, e C1
6、,0 D 2 1, e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知复数 i 1 i i1 za 的虚部为零，i为虚数单位，则实数a_ 14已知 3 sincos 2 ，且 0,，则 cos 2 _ 15函数 ln2 2ln x f x x ，1,ex的最小值为_ 16设函数 2cos,6,6 3 12 , 66, x x f x x x ，若关于x的方程 2 10f xaf x ，aR有 且仅有 12 个不同的实根，则实数a的取值范围是_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答第 22、23
7、题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分 17 （12 分） 已知顶点在坐标原点，始边在x轴正半轴上的锐角的终边与单位圆交于点 13 , 22 A ，将角的终边绕 着原点O逆时针旋转 0 2 得到角的终边 （1）求 2 sin2 2cossin 的值； （2）求coscos的取值范围 18 （12 分） 已知函数 2 ln212f xaxax ，aR （1）若1x 是函数 f x的零点，求a的值； （2）讨论函数 f x的单调性 19 （12 分） 已知函数 2sin0, 2 f xx 的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点同的距离为 2 13 （1）求函数 f x的解析式： （2
8、）若将函数 f x图象上所有点的横坐标变为原来的 1 2 （纵坐标不变）得到函数 g x的图象，关于x的 不等式 2 1 2 2 g xtt在3,5x上有解，求实数t的取值范围 20 （12 分） 2020 年 5 月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力近日，多省市为流 动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济“，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台 公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济” 某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入 4,8x x万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件 40 元，在收到平台投入的x万元赞助费后， 商品的销售量将增
9、加到 20 10 2 y x 万件，0.6,1为气象相关系数，若该销售商出售y万件商 品还需成本费40530 xy万元 （1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p万元与平台投入的赞助费x万元的关系式； （注：总利润赞 助费出售商品利润） （2）若对任意4,8x万元，当满足什么条件时，该销售商才能不亏损？ 21 （12 分） 已知函数 1sin1cosf xaxxaxx ，0,x，aR （1）若函数 f x在 , 22 f 处的切线斜率为 1 2 ，求a的值； （2）若任意0,x， 0f x 恒成立，求a的取值范围 （二）选考题：10 分请考生在第 22、22 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔
10、在答题卡上将所选题目对应的 题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂，漏涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2cos 2sin x y （为参数） ，以原点O为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin2 2 4 （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）点P为曲线C上点，求点P到直线l距离的最小值 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 212f xxx （1）求不等式 2f xx的解集； （2）若 1 2 f xt 对一切实数x均成立
11、，求实数t的取值范围 理科数学参考答案及评分意见 1C 解： 2 3113 ii 2222 z ，所以 2 2 13 1 22 z ，故选 C 2A 解：集合 2 2021Bx xxx xx 或，所以1,AB ，故选 A 3 A 解 ： 因 为a b ， 所 以 , 12,4240a bxx ， 即2x，2, 1a ， 4,3cab ，所以a在c上的投影为 2 2 5 1 43 a c c ，故选 A 4A 解：令0 x，解得 2y ，令0y ，解得 2x，故排除 C、D 选项；易知该函数图象不是圆， 排除 B 选项，又因为0,0点满足条件，故选 A 5 D 解： 因为全称命 题的否定是特称命
12、题 所以命题 :p “0,x ， 2 exx”的否定形式 p 为： 0 0,x， 0 2 0 exx，故选 D 6D 解：由图象知，该函数为偶函数，排除 B 选项；当0 x时，0 1y，而cos sin0cos0 1， 排除 A 选项；令cos1,1tx ，所以cos cos0 x ，排除 C 选项，故选 D 7C 解：设,e ax A x是函数 eaxf x 图象上任意一点，则它关于直线0 xy对称的点 1 e , ax Ax在 函数 lng xbx的图象上，所以lneaxxbabx，即1ab ，故选 C 8B 解：由图象及简谐运动的有关知识知，设其振动周期为 T，则0.60.20.4 4
13、T ，解得1.6sT ， 振幅2cmA，当0.2st 或1.0s时，振动速度为零；该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零，故选 B 9 B 解： 设任意 1 TQ， 2c TQ， 则 1 , , c ax Q D x TD x bx Q ， 2 c , , b xQ D xTD x ab xQ 或 ， A 选项正确；易知 D x的值域为, a b，B 选项错误；若x Q ，则xQ ，所以fx f xa， 若 c xQ，则 c xQ ，所以 fxf xb，C 选项正确；由于实数的稠密性，任意两个有理数之间 都有无理数， 两个无理数之间也有有理数， 其函数值在a和b之间无间隙转换， 所以 D
14、x无单调性； 综上， 故选 B 10D 解：因为 2 2cb cb，即 222 abcbc，由余弦定理知 1 cos 2 A ，因为三角形ABC为 锐角三角形， 所以 3 A ， 结合正弦定理得 2 6 sinsin sin3 a bBB A ， 2 6 sinsin sin3 a cCC A ， 则 2 62 62 62 6 sinsinsinsin 3333 bcBCBAB 2 62 6 sin 33 B 31 cossin 22 BB ，化简得： 2 2 sin 6 bcB ；因为 2 0 32 B， 0 2 B，所以 2 363 B， 3 sin1 26 B ，即62 2bc，故选 D
15、 11B 解：如图作出简图，由题意知 45 ,x x，设函数 f x的最小正周期为T，因为 0 6 x ，则 400 77 210 443 xxTx ， 500 223 22 6 xxTx ，结合 45 ,x x有 10 3 且 23 6 ，解得 10 23 , 36 ，故选 B 12D 解：设函数 ex f x h x ，则 ex fxf x h x ，因为 exfxf x，则 1h x， 设 h xxC，则 1 110 e f hC ，所以1C ，即 1h xx， 1 e x f xx， exfxx ，则 f x在1,0单调递减，在0,单调递增， min 01f xf，要使函数 g xf
16、xt有两个零点，等价于曲线 yf x与y t 有两个交点，所以实数t的取值范围为 2 1, e ， 2 1 e f 故选 D 13 1 2 解： i11 1 ii i122 zaa ，因为其虚部为零，所以 1 0 2 a， 1 2 a 故答案 1 2 14 35 4 解： 因为 23 sincos12sincos 4 ， 所以 1 2sincos0 4 ， , 2 ， 则sin0，cos0，结合 22 sincos1解得 35 sin 4 ，所以 cossin 2 35 4 故答案为 35 4 15 5 2 解：令lnxt，因为 1,ex，所以0,1t， ln2214 2ln22 xt t x
17、tt ，令 g t 14 2 t t ，由对勾函数的性质易知， g t在0,1单调递减，即 min 5 1 2 g tg，所以函数 f x在 1,e上的最小值为 5 2 故答案为 5 2 16 5 , 2 2 解： 作出函数 f x的简图如图， 令 f x t， 要使关于x的方程 2 10f xaf x aR有且仅有 12 个不同的实根，则方程 2 10tat 有两个不同的实数根 1 t， 2 t，且由图知 1 t、 2 0,2t ，设 2 1g ttat， 则有 00 20 0 02 2 g g a ，解得 5 , 2 2 a ，故答案为 5 , 2 2 17解： （1）由题意得 3 sin
18、 2 ， 1 cos 2 ， 所以， 222 31 2 sin22sincos 22 2 3 2cossin2cossin 13 2 22 （2） 13 coscoscoscoscossincos 322 ， 化简得 coscos3sin 3 ， 因为 0 2 ，所以 633 ， 13 sin 232 ， 3 3 coscos, 22 18解： （1）要使1x 为函数 f x的零点，即有 1 ln 330fa，解得 4 3 a （2）令 2 21212g xaxaxaxx， 当0a时，函数 f x的定义域为, 2 ， ln2f xx ，因为 2g xx 在, 2 单 调递减，由复合两数的单调性
19、知， f x在, 2 上单调递减； 当0a时，由 0g x 解得 1 1 x a ， 2 2x ， （i） 当 1 0 2 a 时， 函数 f x的定义域为 1 , 2 a ， 因为 g x在 11 ,1 2aa 单调递增， 在 1 1, 2 2a 单调递减，由复合函数的单调性知， f x在 11 ,1 2aa 单调递增，在 1 1, 2 2a 单调递减； （ii）当 1 2 a 时，函数 f x的定义域为 1 2, a ，因为 g x在 1 2,1 2a 单调递增，在 11 1, 2aa 单调递减，由复合函数的单调性知， f x在 1 2,1 2a 单调递增，在 11 1, 2aa 单调递减
20、； （iii）当 1 2 a 时， 0g x ，不满足题意， f x无意义； （iv）当0a时，函数 f x的定义域为 1 , 2, a ，因为 g x在, 2 单调递减，在 1 , a 单调递增，由复合函数的单调性知， f x在, 2 单调递减，在 1 , a 单调递增 19解： （1）由题意得 f x的最大值为 2，最小值为2，设函数 f x的最小正周期为T，则 2 2 42 13 2 T ， 解得12T ，所以 2 6T ， 2sin 6 fxx ， 因为 f x的图象过点1,2， 所以 12sin2 6 f ， 即 2 62 kkZ， 因为 2 ， 所以 3 ， 2sin 63 f x
21、x （2）因为将函数 f x图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 （纵坐标不变）得到函数 g x的图象，所 以 2sin 33 g xx ， 当3,5x时， 4 ,2 333 x ，则 2sin2,0 33 x ， 因为不等式 2 1 2 2 g xtt在3,5x上有解，即有 2 1 20 2 tt， 解得4 1 0 ，所以实数t的取值范围为4 0 ， 20 解 ： （ 1 ） 由 题 意 得 2020 40104053010 22 pxx xx 200 100 2x 440 x，4,8x （2）要使对任意4,8x万元时，该销售商才能不亏损，即有0p ，变形得 102 25 xx x 在
22、4,8x上恒成立， 而 2 102122020 12 xxxx x xxx ，设 20 12f xx x ， 2 20 1fx x ，令 0fx 解 得2 5x ， 所 以 函 数 f x在4,2 5 单 调 递 减 ， 在2 5,8 单 调 递 增 ， max max4 ,8f xff，因为 421822.5ff，所以有2522.5，解得0.9， 即当满足0.9,1时，该销售商才能不亏损 21解： （1）因为 1sin1 cosf xaxxaxx ，所以 sincosfxxaxx， 因为函数 f x在 , 22 f 处的切线斜率为 1 2 ，所以 1 222 fa ，解得1a （2）由（1）
23、知， sincosfxxaxx ，0,x，令 0fx 解得 1 xa ， 2 4 x ， 当0a时，0 xa，在 0, 4 x 上，sincos0 xx，所以 0fx ， f x单调递减；在 , 4 x 上，sincos0 xx，所以 0fx ， f x单调递增；要使任意0,x， 0f x 恒成 立，即有 min 22 110 42424 f xfaa ，解得 4 a ，不满足； 当 0 4 a时，在0,xa上，0 xa，sincos0 xx，所以 0fx， f x单调递增； 在 , 4 xa 上，0 xa，sincos0 xx，所以 0fx ， f x单调递减；在 , 4 x 上， 0 xa
24、，sincos0 xx，所以 0fx ， f x单调递增；要使任意0,x， 0f x 恒成立， 即有 00 0 4 f f ，解得1a，不满足； 当 4 a 时， 结合易知， f x在 0, 4 单调递增； 在 , 4 a 单调递减； 在,a单调递增； 要使任意0,x， 0f x 恒成立，即有 00 0 f fa ，解得1a ，所以, 1a ，满足； 当a时， f x在 0, 4 单调递增；在 , 4 单调递减；要使任意， 0f x 0,x恒成立， 即有 0 00 f f ，解得 11a ，所以 1, a ，满足； 综上：a的取值范围为 1, 1 22解： （1）因为曲线C的参数方程为 2 2
25、cos 2sin x y ， ，所以 22 2 2 22 2cos2 2sinxy 22 8 sincos8，整理得 22 1 82 xy ； 因为直线l的极坐 标方程为 sin2 2 4 ，所以 22 sincos2 2 22 ，整 理得 sincos4 ，即40 xy （2）由（1）得直线l的直角坐标方程为 40 xy，则设点2 2cos , 2sinP，0,2， 则点P到直线40 xy的距离 2 2cos2sin410sin4 22 d ， 其中tan2 ， 当sin1时， min 104 2 25 2 d 23解： （1） 1 3, 2 1 31,2 2 3,2 xx f xxx xx ， 当 1 2 x 时，32xx ，解得 5 2 x ，所以 5 2 x ； 1 2 2 x时，312xx ，解得 3 2 x ，所以 3 2 2 x； 2x时，32xx ，解得xR，所以2x； 综上：不等式 2f xx的解集为 53 , 22 （2）由（1） ，知， min 15 22 f xf ， 因为 1 2 f xt 对一切实数x均成立，即有 51 22 t ，解得 3t 或2t ， 所以t的取值范围为, 23,
