1、青岛版九年级上册数学期中测试卷（1-3单元）一、单选题（每题3分，共30分）1如图，添加一个条件使与相似，则错误的是（）ABCD2在Rt中，则的正切值为（）ABCD3在中，若，则是（）A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D直角三角形4如图，四边形为的内接四边形，则的大小是（）ABCD5中，则的值（ ）ABCD6如图，四边形内接于，连接若，则的度数是（）ABCD7如图，是的直径，是的弦，垂足为E若，则的长为（）A6B16C8D128如图，的斜边与半圆的直径重合放置，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（）ABCD9如图：已知大矩形宽，小矩形宽，小矩形在平移过程中保持，则重叠部分的
2、四边形的面积是（）AB12C6D10如图，在矩形中，为对角线上一点，连接，过点作交延长线于，若，则的值为（）A2BCD二、填空题（每题3分，共30分）11已知：如图， ，若，那么 12如图，、相交于，且，若，则 13如图，在中，则的长是 14计算： 15如图，在三角形纸片中，点D是边上的中点，连接，把沿着翻折，得到，连接，若的面积为，则 16如图，在的内接四边形中，则的度数为 17如图，E是的外心，P，Q分别是，的中点，连接，交于F，D两点若，则的周长为 18如图，AB为半圆的直径，以半圆的一条弦非直径)为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若，且，则弦的长为 19九章算术中“今有勾八步，股有十五步
3、，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径是多少？”答：直径是 步20如图，是半径为的的两条弦，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为 三、解答题（共60分）21已知，点、分别在边、上，(1)求CD的长；(2)求证：22如图，点是线段上的一点，且(1)求证：(2)若，求的长23如图，交于点C，D，是半径，且于点F(1)求证：；(2)若，求的半径24如图， 内接于，D是的直径的延长线上一点， ，过圆心 O作的平行线交的延长线于点E(1)求证：是的切线；(2)若 ，求的长25如图1是超市的手推车，如图2
4、是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，测得支架，、所在直线与地面的夹角分别为、，(1)求扶手前端到地面的距离；(2)手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为，求坐板的宽度（本题答案均保留根号）26如图在四边形中，动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒(1)的长为_；(2)当时，求t的值；(3)试探究：t为何值时，为等腰三角形；(4)直接写出是锐角三角形时t持续的时长27已知：四点在上，延长交于点，且(1)若，求证：；当时，求的度数(2)若
5、的半径为4，求的最大值第 7 页 共 29 页参考答案：题号12345678910答案AADACBBBAC1A【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断解决问题的关键是掌握相似三角形的判定定理：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似【详解】解：由图得：，当或或或或或时，选项B、C、D正确；A选项中，的夹角与的夹角不一定相等，这两个三角形不一定相似故选：A2A【分析】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，根据勾股定理求出，根据正切的定义计算即可【详解】解：，故选：
6、A3D【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理等知识点，先由非负数的性质得出，根据三角函数求得，的度数，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值【详解】，是直角三角形，故选：D4A【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得，求出，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补【详解】解：四边形为的内接四边形，故选：5C【分析】本题主要考查三角形的内角和定理和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键根据，求出的值，即可求解【详解】解：如下
7、图：中，故选：C6B【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论等知识根据圆内接四边形的性质得到，则的度数是，根据得到的度数是，利用圆周角定理的推论即可得到的度数【详解】解：四边形内接于，的度数是，的度数是，故选：B7B【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题【详解】解：是的直径，且，在中，故选：B8B【分析】本题考查了圆周角的定理，掌握圆周角定理是解本题的关键根据，以点为圆心的半圆的直径和重合，可知点在以点为圆上，由，得，根据同弧所对的圆周角相等即可求解【详解】解：，以点为圆心的半圆的直径和重合，点在以点为圆心的圆上，故选：
8、B9A【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，解直角三角形，如图，过点作的垂线段，交于点，可得，再解直角三角形求得，即可求得平行四边形的面积，利用解直角三角形求得平行四边形的底边长是解题的关键【详解】解：如图，过点作的垂线段，交于点，小矩形宽，根据题意可得，四边形为平行四边形，平行四边形以为底，底边上的高为，故选：A10C【分析】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键过点E作于点N，延长交于M，证明四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，由得到，证明，则，得到，则，得到，勾股定理得到，即可得到答案【详解】解：过
9、点E作于点N，延长交于M，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，故选：C119【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据，得出，则，然后把代入，进行计算，即可作答【详解】解：，故答案为：912【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质定理由，得，即得，故【详解】解：，；故答案为：136【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理是解题的关键如图，作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，进而可求的长【详解】解：如图，作于，即，解得，由勾股定理得，故答案为：614/【分析】本题考
10、查的是特殊角的三角函数值的运算，把代入计算即可【详解】解：，故答案为：153【分析】本题考查直角三角形的边角关系、等腰三角形、折叠轴对称的性质等知识连接，过点作，垂足为，设，设，则，得出，根据等腰三角形的性质，利用三角形面积公式列出方程，进而得出答案【详解】解：连接，过点作，垂足为，设，点是边上的中点， ，由折叠得， ，即，在中，设，则，由勾股定理得，即，解得，即，解得（负值已舍），故答案为：316100【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等边对等角的知识，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键连接，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由等边对等角的性质以及三角形内角和的定理求出的度
11、数，由圆内接四边形的性质即可得出结论【详解】解：如图，连接，四边形是圆内接四边形，四边形是圆内接四边形，故答案为：1712【分析】本题考查三角形的外心，垂直平分线的性质，三线合一，先根据已知条件证明垂直平分，垂直平分，进而得出，等量代换即可求解【详解】解：如图，连接， E是的外心，P，Q分别是，的中点，垂直平分，垂直平分，的周长，故答案为：1218【分析】本题将翻折变换、相似三角形的性质与判定、勾股定理，作AB关于直线的对称线段，交半圆于，连接、，首先构造全等三角形，然后再利用勾股定理和相似三角形的性质解答【详解】解：如图， ，且，作AB关于直线的对称线段，交半圆于，连接、，则、三点共线，线段
12、与线段AB关于直线对称， ，四边形是圆内接四边形，又，又，即则，又，故答案为：19【分析】本题考查了内切圆和勾股定理，连接，设半径为步，由勾股定理得步，再由即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键【详解】解：如图，为内切圆，切点分别为，连接，设半径为步，步，步，由勾股定理得：（步）为内切圆，解得：，的直径是步，故答案为：20【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂径定理，勾股定理，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键由于A、B两点关于对称，因而，即当B、C、P在一条直线上时，的最小，即的值就是的最小值【详解】解：连接，作垂直于于H，是直径，四边形是矩形，在中根据勾股定理得到，即的最小
13、值为故答案为：21(1)；(2)见解析【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得结论；（1）先证明，进而可得，再利用相似三角形的对应边成比例计算即可；（2）根据线段长计算可得，进而可证明，由此可得，根据同位角相等两直线平行可得结论【详解】（1）解：，且，；（2）：，22(1)证明见解析(2)4【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质（1）根据垂直得到，利用同角的余角相等得到，即可证明；（2）根据相似三角形的性质得到，代入已知线段长度即可求出的长【详解】（1）证明：，；（2）解：，解得23(1)证明见解析(2)的半径是5【分析】本题考查垂径定
14、理、勾股定理等知识；（1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论；（2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可【详解】（1）证明：，为的弦，；（2）解：如图，连接，为的弦，设的半径是，解得，的半径是524(1)见解析(2)【分析】（1）由等角对等边得出，等量代换得，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论；（2）根据平行线分线段成比例定理得到，设设，则， ，在中，根据勾股定理求出，据此即可求解【详解】（1）证明，是的直径，即，是半径，是的切线；（2） ，设，则在 中， 即 解得 (不合题意，舍去)，【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，切线
15、的判定，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键25(1)(2)【分析】考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题（1）如图2，过作，垂足为，又过作，垂足为，过作，构造和中，通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度；（2）由平行线的性质知；根据题意得到，如图2，过作，垂足为，设，通过解和，根据等量关系列出方程，通过解方程求得答案【详解】（1）解：如图2，过作，垂足为，又过作，垂足为，过作，垂足为，则则四边形为矩形，、所在直线与地面的夹角分别为、，
16、则在中，在中，又，前后车轮半径均为，扶手前端到地面的距离为；（2）解：，椅子的支点到点的距离为，如图2，过作，垂足为，设，在中，在中，解得答：坐板的宽度为26(1)(2)(3)或或(4)秒【分析】（1）作，可推出四边形是矩形得分别在直角三角形求出即可求解；（2）作可得四边形是平行四边形，推出，；结合可得，推出，即可求解；（3）分类讨论时时，三种情况即可求解；（4）求出两种临界状态、下的的值即可求解；【详解】（1）解：作，如图所示：则，四边形是矩形，（2）解：作交于点G，如图所示：，四边形是平行四边形，解得：（3）解：时：即：，解得：；时：作，则，即：，解得：；时：作，则，即：；解得：；综上所述
17、：当或或时，为等腰三角形（4）解：由（1）可知：，当时，如图所示：，解得：；当时，如图所示：，解得：；点M从点B运动到图6中点M的位置的过程中；点M从图6中点M的位置运动到图7中点M的位置的过程中，是锐角三角形；点M从图7中点M的位置继续向点C运动时，是锐角三角形时t持续的时长为：秒【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义和性质等等，利用分类讨论的所学求解是解题的关键27(1)见解析；(2)【分析】（1）由等边对等角得出，由圆周角定理得出，从而得出，即可得证；由可得：，证明为等边三角形，得出，即可得解；（2）作于，则，由勾股定理表示出，根据已知数据得出，结合，得出当最大时，最大，即当过圆心为直径时最大，计算即可得解【详解】（1）证明：，四点在上，；由可得：，为等边三角形，；（2）解：如图：作于，则，当最大时，最大，即当过圆心为直径时最大，的半径为4，的最大值为【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键第 21 页 共 29 页
