1、2024成都中考数学二轮B26复习专题 图形变化类 （学生版）目标层级图一. 翻折例1.已知，在RtABC中，ACB90，BC4，点D是AC边上的一个动点，将ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在P处（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC求AC的长；试猜想四边形BCPD的形状，并加以证明；（3）如图2，若BDAD，过点P作PHBC交BC的延长线于点H，求CH的长例2.如图，已知一个三角形纸片ACB，其中ACB90，AC8，BC6，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF（1）如图1，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF4SEDF，求ED的长； （
2、2）如图2，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MFCA试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论； 求EF的长；（3）如图3，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN2，求值 例3如图，点，分别在矩形的边，上，连接，将沿直线翻折得到，（1）如图1，当时，的延长线交于点，求的长； （2）如图2，当的延长线经过点时，求的值； （3）如图3，连接，当点在线段上运动时，试探究四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形的面积的最小值；若不存在，请说明理由 例4.在矩形中，点为边上的动点与、不重合），将沿翻折，点的对应点在矩形外，交于，交于点（1）如图1，求证：；（
3、2）如图1，如果，求的长； （3）如图2，连接交于点，求 例5.如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，交边于点（1）求证：；（2）连接，求的大小； （3）作点关于直线的对称点，连接，猜想线段，之间的数量关系并加以证明 例6.如图，在矩形中，点在线段上运动，设，现将纸片折叠，使点与点重合，得折痕（点、为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原（1）当时，折痕的长为 ；当点与点重合时，折痕的长为 ；（2）请写出使四边形为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长； （3）令，当点在、点在上时，写出与的函数关系式当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由温馨提示：
4、用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！ 例7.将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，点在上，连接，且，如图1 （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，点在上，且不与、两点重合，连接并延长到点，使得，连接、，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，如图2当时，求的长例8.在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，当，且时，求的长；（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值例9.（1）模型探究：如图1，、分别为三边、上的点，且与相似吗？请说明理由；（2）模型应用：为等边三角形，其边长为8，为边上
5、一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且如图2，当点在线段上时，求的值；如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比二. 旋转例1.在矩形中，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作交于点（1）如图1，当时，请直接写出线段与之间满足的等量关系；（2）如图2，当时，连接，求证：； 若，当为直角三角形时，求的值 例2.（1）和是两个等腰直角三角形，如图1，其中，连结、，求证：（2）和是两个含的直角三角形，其中，从边与重合开始绕点逆时针旋转一定角度；如图2，与交于点，与交于点，连结，若四边形为平行四边形，求的值； 若，连结、，当以点、为顶点的三角形是直角三角形时，求的长 例3.如图，
6、已知为正方形的对角线，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，（1）求证：；（2）当线段与相交时，设交点为，求的值以及的度数；（3）若正方形的边长为3，当点，在同一直线上时，求线段的长例4.如图，在与中，射线与直线交于点（1）求证：； （2）若，求的值； *（3）若绕点逆时针旋转一周，直接写出线段的最大值与最小值 例5.如图1，已知点在正方形的对角线上，垂足为点，垂足为点（1）证明：四边形是正方形； （2）探究与证明：将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用：正方形绕点顺时针方向旋转角，如图3所示，
7、当，三点在一条直线上时，延长交于点，若，求的长 例6.在中，平分交边于点，分别过作交边于点，交边于点（1）如图1，试判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图2，若，点，分别在线段，上，且，连接交于点，连接交于点求的值； *将线段绕点顺时针旋转得到线段，求证：，三点在同一条直线上 例7.如图1，在矩形中，对角线，相交于点，点是线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接（1）求证：；（2）连接交于点，求的最大值；（3）如图2，点在射线上运动，连接，在点的运动过程中，若，求的长例8.在中，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到（点，的对应点分别为，射线，分别交直线于点，（1）如图1，当与重合时，
8、求的度数；（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长； （3）在旋转过程中，当点，分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由例9.如图，中，于点，点在上，且，连结（1）求证：；（2）将绕点旋转，得到（点，分别与点，对应），连接如图，当点落在上时，不与重合），若，求的长；如图，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的等量关系，并说明理由例10.如图1，已知是边长为8的等边三角形，连接，点为的中点，连接将绕点顺时针旋转（1）如图2，当点位于边上时，延长交于点求证：；若，求的长；（2）如图3，连
9、接，在旋转过程中试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由2024成都中考数学二轮B26复习专题 图形变化类 （学生版）目标层级图一. 翻折例1.已知，在RtABC中，ACB90，BC4，点D是AC边上的一个动点，将ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在P处（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC求AC的长；试猜想四边形BCPD的形状，并加以证明；（3）如图2，若BDAD，过点P作PHBC交BC的延长线于点H，求CH的长【分析】（1）根据勾股定理求出AC即可；想办法证明DPBC，DPBC即可；（2）如图2中，作DNAB于N，PEAC于E，延长BD交PA于M设BDADx，则CD8x，在RtBDC中
10、，可得x2（8x）2+42，推出x5，由ADNABC，可得，可得推出BNAN2，在RtBDN中，DN，由BDNBAM，可得，可得 ，推出AM4，推出AP2AM8，由ADMAPE，可得，可得，推出AE，推出PE，即可解决问题；【解答】解：（1）在RtABC中，BC4，AB4 AC8，如图1中，四边形BCPD是平行四边形理由：AC8，ADDC， DCAD4，BC4，BCCD4，BCD是等腰直角三角形，BDC45，ADBBDP135，PDC1354590，BCDPDC90，DPBC，PDADBC2，四边形BCPD是平行四边形（2）如图2中，作DNAB于N，PEAC于E，延长BD交PA于M设BDADx
11、，则CD8x，在RtBDC中，BD2CD2+BC2，x2（8x）2+42，x5，DBDA，DNAB，由ADNABC，可得，BNAN2，在RtBDN中，DN，由BDNBAM，可得，AM4，AP2AM8，由ADMAPE，可得，AE，PE 易证四边形PECH是矩形， CHPE【点评】本题考查四边形综合题、勾股定理相似三角形的判定和性质、翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题例2.如图，已知一个三角形纸片ACB，其中ACB90，AC8，BC6，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF（1）如图1，若将纸片ACB
12、的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF4SEDF，求ED的长； （2）如图2，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MFCA试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论； （条件类，先判断菱形，再利用性质进行列式）求EF的长；（3）如图3，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN2，求值 【分析】（1）先利用折叠的性质得到EFAB，AEFDEF，则SAEFSDEF，则易得SABC5SAEF，再证明RtAEFRtABC，然后根据相似三角形的性质得到两个三角形面积比和AB，AE的关系，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；（2）首先判
13、断四边形AEMF为菱形；再连结AM交EF于点O，设AEx，则EMx，CE8x，先证明CMECBA得到关于x的比例式，解出x后计算出CM的值，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；（3）作FHBC于H，先证明NCENFH，利用相似比得到，设FH4x，NH7x，则CH7x2，BH6（7x2）87x，再证明BFHBAC，利用相似比可计算出x的值，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，即可得出结论【解答】解：（1）ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，EFAB，AEFDEF，SAEFSDEF，S四边形ECBF4SEDF，SABC5SA
14、EF，在RtABC中，ACB90，AC8，BC6，AB10，EAFBAC，RtAEFRtABC，（）2，即（）2，AE2，由折叠知，DEAE2（2）连结AM交EF于点O，如图2，ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，AEEM，AFMF，AFEMFE，MFAC，AEFMFE，AEFAFE，AEAF，AEEMMFAF，四边形AEMF为菱形，设AEx，则EMx，CE8x，四边形AEMF为菱形，EMAB，CMECBA，即，解得x，CM，在RtACM中，AM，S菱形AEMFEFAMAECM，EF2；（3）如图，作FHBC于H，ECFH，NCENFH， 设FH4x，NH7x，则CH7x2
15、，BH6（7x2）87x，FHAC，BFHBAC，xFH4x，BH87x，在RtBFH中，BF4，AFABBF1046，【点评】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长解决此类题目时要各个击破本题有一定难度，证明三角形相似和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型例3如图，点，分别在矩形的边，上，连接，将沿直线翻折得到，（1）如图1，当时，的延长线交于点，求的长； （2）如图2，当的延长线经过点时，求的值； （3）如图3，连接，当点在线段上运动时，试探究四边形的面积是否存在最小值？若存
16、在，求出四边形的面积的最小值；若不存在，请说明理由 解答：例4.在矩形中，点为边上的动点与、不重合），将沿翻折，点的对应点在矩形外，交于，交于点（1）如图1，求证：；（2）如图1，如果，求的长； （3）如图2，连接交于点，求 解答：例5.如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，交边于点（1）求证：；（2）连接，求的大小； （3）作点关于直线的对称点，连接，猜想线段，之间的数量关系并加以证明 【分析】（2）连接，证明，根据相似三角形的性质得到，根据正方形的性质解答；（3）在线段上截取，使得，连接，证明，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，证明结论【解答】（1）证明：四边形是正方
17、形，；（2）解：如图1，连接，四边形是正方形，是对角线，；（3）解：，理由如下：如图2，在线段上截取，使得，连接，点关于直线的对称点，例6.如图，在矩形中，点在线段上运动，设，现将纸片折叠，使点与点重合，得折痕（点、为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原（1）当时，折痕的长为 ；当点与点重合时，折痕的长为 ；（2）请写出使四边形为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长； （3）令，当点在、点在上时，写出与的函数关系式当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！ 【解答】解：（1）当时，折痕，当点与点重合时，折痕（2） 当时，如
18、图，连接、为折痕，令为，则，在中， ，解得； 此时菱形边长为（3）如图2，过作；，；当与点重合时，如图3，连接；，；函数的值在轴的右侧随的增大而增大，当时，有最大值，此时，综上所述，当取最大值时，例7.将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，点在上，连接，且，如图1 （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，点在上，且不与、两点重合，连接并延长到点，使得，连接、，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，如图2当时，求的长【分析】（1）根据折叠的性质和平行线的性质得：，由等角对等边可得是等腰三角形；（2）如图1，过点作于，根据等腰直角三角形的性质得：，设，由勾股
19、定理得，设，根据三角函数定义可得，最后利用勾股定理列方程可得与的关系，从而得结论；（3）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，从而由等腰三角形三线合一的性质得，证明，列比例式可得结论【解答】解：（1）是等腰三角形，理由是：如图1，四边形是矩形，由折叠得：，是等腰三角形；（2）如图1，过点作于，四边形是矩形，设，设，即，解得：或（舍，；（3）如图2，过点作，由折叠得：，由（2）知：，则，【点评】此题属于四边形的综合题考查了矩形的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理、折叠的性质等知识，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键例8.在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处
20、（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，当，且时，求的长；（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值【分析】（1）由折叠的性质得出，根据直角三角形的性质得出，可求出答案；（2）证明，由相似三角形的性质得出，可求出，求出，由勾股定理求出，则可求出，即可求出的长；（3）过点作于点，证明，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案【解答】解：（1）四边形是矩形，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，四边形是矩形，；（2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，又矩形中，（3）过点作于点，设，平分，设，则，解得例9.（1）模型探究：如图1，、分别为三边、上的点，且与相似吗？请说明理由；（2）
21、模型应用：为等边三角形，其边长为8，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且如图2，当点在线段上时，求的值；如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比【分析】（1）利用等式的性质判断出，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出，得出比例式，再设出，进而表示出，代入比例式化简即可得出结论；同的方法即可得出结论【解答】解：（1），理由：，在中，；（2）设，是等边三角形，由折叠知，在中，；设，是等边三角形，由折叠知，在中，与的周长之比为二. 旋转例1.在矩形中，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作交于点（1）如图1，当时，请直接写出线段与之间满足的等量关系；（2）如图2，
22、当时，连接，求证：； 若，当为直角三角形时，求的值 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，得到答案；（2）作交于，交于，根据等腰三角形的性质得到，根据正切的定义计算即可；分、两种情况，根据（2）的结论计算【解答】解：（1），理由如下：，在中，；（2）作交于，交于，又，；如图2，当时，设，则，由（2）得，解得，（由（1）可知，此时，不合题意），；如图3，当时，、在同一条直线上，设，则，综上所述：的值为3或例2.（1）和是两个等腰直角三角形，如图1，其中，连结、，求证：（2）和是两个含的直角三角形，其中，从边与重合开始绕点逆时针旋转一定角度；如图2，与交于点，与交于点，连结，若四边形为平行四
23、边形，求的值； （图形变化：旋转类，定值类）若，连结、，当以点、为顶点的三角形是直角三角形时，求的长 （动点类：条件类）【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，证出，由得出即可；（2）连接，由平行四边形的性质得出，证出，、四点共圆，由圆周角定理得出，由直角三角形的性质得出，即可得出结果；分三种情况：当时，证明，得出，得出，证出、共线，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；当时，作于，由勾股定理得出，得出，即可得出的长；当时，作于，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可当时，如图6中，作于利用相似三角形的性质解决问题即可【解答】（1）证明：和是两个等腰直角三角形，在和中，；（2）解：连接
24、，如图2所示：四边形为平行四边形，、四点共圆，即，；分三种情况：当时，如图3所示：和是两个含的直角三角形，、共线，在中，由勾股定理得：，即，解得：（负值舍去），；当时，如图4所示：作于，则，；当时，如图5所示：作于，则，设，则，在中，由勾股定理得：，即，整理得：，此方程无解；当时，如图6中，作于易知：，由可得：，综上所述，当以点、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为或或例3.如图，已知为正方形的对角线，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，（1）求证：；（2）当线段与相交时，设交点为，求的值以及的度数；（3）若正方形的边长为3，当点，在同一直线上时，求线段
25、的长【解答】解：（1）是正方形的对角线，由旋转知，；（2）在中，由（1）知，；（3）如图，在中，点，在同一条线上，且，或，由（2）知，或；即：的长为或例4.如图，在与中，射线与直线交于点（1）求证：； （2）若，求的值； （条件性 四点共圆）*（3）若绕点逆时针旋转一周，直接写出线段的最大值与最小值 【解答】（1）证明：，（2）解：如图，设交于，在中，（3）由（2）可知当点与重合时，的值最大，最大值，如图，当在的下方且与相切时，的值最大，此时的值最小，四边形是矩形，的最小值为。例5.如图1，已知点在正方形的对角线上，垂足为点，垂足为点（1）证明：四边形是正方形； （2）探究与证明：将正方形绕点
26、顺时针方向旋转角，如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用：正方形绕点顺时针方向旋转角，如图3所示，当，三点在一条直线上时，延长交于点，若，求的长 【分析】（1）如图1中，在上取一点，使得，连接想办法证明，即可解决问题（2）如图2中，将绕点逆时针旋转得到，连接想办法证明，可得结论（3）如图3中，连接证明，推出，如图中，当时，的值最小，作于，于解直角三角形求出即可解决问题【解答】（1）证明：如图1中，在上取一点，使得，连接四边形是矩形，是等边三角形，（2）解：结论：理由：如图2中，将绕点逆时针旋转得到，连接，（3）解：如图3中，连接由翻折可知：，如图中，当时，的值最
27、小，作于，于在中，在中，则有，【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题例6.在中，平分交边于点，分别过作交边于点，交边于点（1）如图1，试判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图2，若，点，分别在线段，上，且，连接交于点，连接交于点求的值； *将线段绕点顺时针旋转得到线段，求证：，三点在同一条直线上 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出四边形是菱形；（2）连接交于点，证，得出，证，证明，得出，即可得出结论；连接，证，得出，由
28、知，得出，证出，即可得出结论【解答】（1）解：四边形的形状是菱形；理由如下：，四边形是平行四边形，平分，四边形是菱形；（2）解：连接交于点，如图2所示：，四边形是菱形，、相互垂直平分，是等边三角形，在中，即，在和中，；证明：如图3，连接，由（1）得：是等边三角形，由旋转的性质得：，在和中，由知，三点在同一条直线上【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形的性质、解直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键例
29、7.如图1，在矩形中，对角线，相交于点，点是线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接（1）求证：；（2）连接交于点，求的最大值；（3）如图2，点在射线上运动，连接，在点的运动过程中，若，求的长【分析】（1）证明，则可得出结论；（2）证明，可得出，设，则，则，得出，由二次函数的性质可得出答案；（3）如图1，过点作于点，证明是等边三角形，得出过点作于点，则，证明，得出【解答】（1）证明：由题意知，即，在矩形中，又，；（2）解：在中，是等边三角形，又，在中，是等边三角形，即，又，设，则，的最大值为（3）解：在矩形中，如图1，过点作于点，设，则，又，在中，（舍去），且，是等边三角形，如图2
30、，过点作于点，则，又，又，综合以上可得，或【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，注意方程思想和分类讨论思想的理解与运用例8.在中，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到（点，的对应点分别为，射线，分别交直线于点，（1）如图1，当与重合时，求的度数；（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长； （3）在旋转过程中，当点，分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由【分析】（1）由旋转可得：，进而得到，依据，可得，即可得
31、到，；（2）根据为的中点，即可得出，进而得到，依据，即可得到，进而得出；（3）依据，即可得到最小，即最小，而，利用几何法或代数法即可得到的最小值，【解答】解：（1）由旋转可得：，；（2）为的中点，由旋转可得，；（3），最小，即最小，法一：（几何法）取的中点，即，当最小时，最小，即与重合时，最小，的最小值，；法二（代数法）设，由射影定理得：，当最小时，最小， （均值不等式）当时，“”成立，的最小值，例9.如图，中，于点，点在上，且，连结（1）求证：；（2）将绕点旋转，得到（点，分别与点，对应），连接如图，当点落在上时，不与重合），若，求的长；如图，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连
32、接，试探究线段与之间满足的等量关系，并说明理由【分析】（1）先判断出，再判断出即可；（2）先根据，求出，然后根据，得到，最后用勾股定理即可；方法1、先判断出，得到，然后判断出，用相似比即可方法2、取的中点，连接，先证明，再证明是等边三角形即可【解答】解：（1）在中，在和中，（2）如图，在中，设，由旋转知，过点作，在中，；方法1、如图1，是由绕点逆时针旋转得到，由有，和都为等腰三角形，点，四点共圆，设与交于点，是由绕点逆时针旋转得到，由（1）知，即：方法2、如图，取的中点，连接，由旋转知，由旋转知，由旋转知，由（1）知，是等边三角形，即：例10.如图1，已知是边长为8的等边三角形，连接，点为的中点，连接将绕点顺时针旋转（1）如图2，当点位于边上时，延长交于点求证：；若，求的长；（2）如图3，连接，在旋转过程中试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由【分析】（1）想办法证明是等边三角形即可解决问题利用三角形的中位线定理求出，再求出即可解决问题（2）结论：，延长交的延长线于，延长到，使得，连接，在上截取，连接证明图中，红色三角形全等，推出是等边三角形即可解决问题【解答】（1）证明：如图2中，是等边三角形，是等边三角形，解：由可知，（2）结论：，理由：如图2中，延长交的延长线于，延长到，使得，连接，在上截取，连接，是等边三角形，四边形是平行四边形，是等边三角形，
