1、2024成都中考数学二轮微专题 利用隐形圆解决最值问题专项训练 模型一定点定长作圆模型分析如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆或圆弧的一部分推广：在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹模型应用1. 如图，已知ABC，将ABC绕点C顺时针旋转180得到ABC，请你在图中画出点B的运动轨迹第1题图2. 如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，点F是边AD上一动点，将AEF沿EF所在直线折叠得到AEF，请你在图中画出点A的运动轨迹(保留作图痕迹不写作法)第2题图模型二直角对直径模型分析(1)半圆(直径
2、)所对的圆周角是90.如图，在ABC中，C90，AB为O的直径；(2)90的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)如图，在ABC中，C90，C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的O(不包含A、B两点)模型应用3. 如图，已知线段AB.请在图中画出使APB90的所有点P.第3题图4. 如图，已知矩形ABCD，请在矩形ABCD的边上画出使BPC90的所有点P.第4题图模型三定弦对定角(非90)模型分析固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90)也叫定弦对定角，且这个角的顶点轨迹为圆上的一段弧(1)如图，在O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，
3、需要根据题目灵活运用)；(2)如图，若有一固定线段AB及线段AB所对的C大小固定，根据圆的知识可知，点C在O的上均可(至于是优弧还是劣弧取决于C的大小，小于90，则点C在优弧上运动；等于90，则点C在半圆上运动；大于90，则点C在劣弧上运动)模型应用5. 如图，已知线段AB.(1)请在图画出线段AB上方使APB60的所有点P；(2)请在图中画出线段AB上方使APB45的所有点P.第5题图6. 如图，已知四边形ABCD.(1)如图，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使APB30的所有点P；(2)如图，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使BPC60的所有点P；(3)如图，在正方
4、形ABCD中，请在正方形ABCD的边上画出使BPC45的所有点P；(4)如图，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使BPC45的所有点P.第6题图模型四四点共圆模型分析如图、，RtABC和RtABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得OCODOAOB，A、B、C、D四点共圆1共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；2四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等的重要途径之一模型应用7. 在ABC中，ACB90，分别过点B，C作BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME，则下
5、列结论错误的是()A. CD2ME B. MEABC. BDCD D. MEMD8. 如图，在ABC中，ACB90，AC4，BC3，PA，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，求CQ的最大值第8题图模型五点圆最值模型分析已知，在平面内一定点D和O上动点E的所有连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大(小)值，具体分以下三种情况讨论(设点O与点D之间的距离为d，O的半径为r)：位置关系点D在O内点D在O上点D在O外图示DE的最大值_此时点E的位置连接DO并延长交O于点EDE的最小值_此时点E的位置连接OD并延长交O于点E点E与点D重合连接OD交O于点E模型应用9.如图，在矩形ABCD中，A
6、B3，BC4，O的半径为1，若圆心O在矩形ABCD的边上运动，则点C到O上的点的距离的最大值为_第9题图10.如图，在墙角放置一个“T”型钢尺，已知钢尺的一边AB10，M是AB的中点，CM8，AB沿墙壁边向下滑动，在运动过程中，点C到点O的最大距离为_第10题图模型六线圆最值模型分析1如图，AB为O的一条定弦，点C为AB一侧弧上一动点(1)如图，点C在优弧上，当CHAB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时SABC最大；(2)如图，点C在劣弧上，当CHAB且圆心O在CH的延长线上时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时SABC最大2如图，O与直线l相离，点P是O上的一个
7、动点，设圆心O到直线l的距离为d，O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是dr(如图)，点P到直线l的最大距离是dr(如图)推广：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大(小)距离，从而利用面积公式求解模型应用11. 如图，AB是O的弦，C是优弧上一点，连接AC、BC，若O的半径为4，ACB60，求ABC面积的最大值第11题图12. 如图，在矩形ABCD中，AB10，AD12，M为AB的中点，E为BC上的动点，将MBE沿ME折叠，点B的对应点为F，求CDF面积的最小值 第12题图参考答案1. 解：如解图所示：第1题解图2. 解：如解图所示：第2题解图3. 解：如解
8、图，O即为所求P点的轨迹，不含A、B两点第3题解图4. 解：如解图，点P1、P2即为所求点第4题解图5. 解：(1)如解图，点P在所作圆弧上(A、B两点除外)；(2)如解图，点P在所作圆弧上(A、B两点除外)第5题解图6. 解：(1)如解图所示，点P1、P2即为所求；(2)如解图所示，点P1、P2、P3、P4即为所求；(3)如解图所示，点P1、P2即为所求；(4)如解图所示，点P1、P2即为所求图图图图第6题解图7. A【解析】如解图，延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，在ABC中，ACB90，分别过点B，C作BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，由此可得点A、C、D、B四点共圆，A
9、D平分CAB，CADBAD，DCBDBC，CDDB(选项C正确)，点M是BC的中点，DMBC，又ACB90，ACDN，点N是线段AB的中点，ANDN，DABADN，CEAD，BDAD，CEBD，ECMFBM，CEMBFM，点M是BC的中点，CMBM，CEMBFM(AAS)，EMFM，EMFMDM(选项D正确)，DEMMDEDAB，EMAB(选项B正确)假设CD2ME，CD2MD，在RtCDM中，DCM30，无法确定DCM的大小，故选项A错误第7题解图8. 解：如解图，PA，ACB90，A、P、B、C四点共圆，AB为O直径，圆心为AB的中点O，点P在O上运动，ACBPCQ90，ACPB，ABCP
10、QC，CQPC，要使得CQ最大，只需PC最大，当PC为O的直径时，PC取得最大值，AC4，BC3，AB5，PC的最大值为5，CQ的最大值为.第8题解图【模型分析】dr，2r，dr，rd，0，dr9. 6【解析】如解图，在O上任取一点E，连接OE、CE，则CECOOE，当C、O、E三点共线时，CE取得最大值，即要求CE的最大值，则求CO的最大值连接AC，COAC，当点O与点C重合时，CO取得最大值时在RtABC中，AB3，BC4，AC5，OC最大5，CE最大OC最大OE6.点C到O上的点的距离的最大值为6.第9题解图10. 13【解析】如解图，连接OC，OM，AOB90，AB10是定值，M是AB
11、的中点，A、O、B三点一直在以点M为圆心，AB长为直径的圆上，在OMC中，OMCMOC，当O、M、C三点共线时，即OC过圆心M时，OC的长度最大AB10，OMAB5，又CM8，当OCCMOM8513时，OC取得最大值，即点C到点O的最大距离为13.第10题解图11. 解：如解图，连接OA，过点O作ODAB，垂足为D，延长DO交O于点E，连接AE、BE，则AEBE，设点C到边AB的距离为h，则SABCABh，易得当C与E重合时，h取得最大值，即DE的长，此时ABC的面积也取得最大值，即ABE的面积AEBACB60，ABE为等边三角形EABAEB60.OAD30，ODOA2，AD2，AB2AD4，DEOEOD426.此时SABEABDE4612.第11题解图12. 解：由折叠的性质可知，MFBM，点M是AB的中点，AB10，BM5，点F在以点M为圆心，5为半径的上运动，如解图，过点F作FGCD于点G，过点M作MHCD于点H，则MHMFFG，当点M、F、G三点共线，即点G与点H重合时，FG取得最小值，最小值即为MHMF，四边形ABCD是矩形，MHAD12，FG最小MHMF7，SCDF最小CDFG最小10735.第12题解图
