1、2024河南中考数学二轮重难题型精讲练微专题 与线段有关的最值问题 类型一利用垂线段最短求最值一、一定一动(点到直线的所有线段中，垂线段最短)模型分析如图，点P在直线l外，过点P作直线l的垂线PH，则点P到直线l的最短距离为PH，即“垂线段最短”模型应用1. 如图，在RtABC中，C90，AD是BAC的平分线，点E是AB上任意一点若AD5，AC4，则DE的最小值为()第1题图A. 3 B. 4 C. 5 D. 62.如图，在RtAOB中，OB2，A30，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为_第2题图二、一定两动(利用垂线段最短
2、求两条线段和的最小值)模型分析问题：点P是AOB的内部或边上一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PNMN的值最小解决：模型应用3. 如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，AD是BAC的平分线若P、Q分别是AD、AC上的动点，则PCPQ的最小值是_第3题图三、两定一动(“胡不归”问题)模型分析问题：如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，要使kAPBP(0kn)(1)连接AC、BC.在ABC中，根据三边关系，有ABBCACABBC，即mnACmn；(2)当点A，B，C三点共线时，点C在线段AB上，AC有最小值为ABBC，即mn；点C在线段A
3、B的延长线上，AC有最大值为ABBC，即mn；点C在线段BA的延长线上，AC有最小值BCAB，即nm.模型应用15. 如图，矩形ABCD，AB1，BC2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为_第15题图参考答案1. A【解析】在RtACD 中，AD5，AC4，CD3，当DEAB时，DE的值最小，AD是BAC的平分线，C90，DE的最小值为3.2. 2【解析】如解图，连接OP、OQ，PQ是O的切线，OQPQ，PQ，OQ为O的半径，为定值，故当OP最小时，PQ可取得最小值，又OPAB时，OP取得最小值，此时O
4、PABOBAO，OB2，A30，AO6，AB4，OPAO3，PQ的最小值为2.第2题解图3. 【解析】如解图，过点C作CMAB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQAC于点Q，AD是BAC的平分线PQPM，此时PCPQ有最小值，即为CM，AC6，BC8，ACB90，AB10，SABCABCMACBC，CM.第3题解图4. 【解析】如解图，过点P作PQBC于点Q，过点M作MNBC于点N.四边形ABCD是菱形，ABBC.ABAC10，ABC是等边三角形，ABCACB60，OBC30，PQBP，MPBPMPPQ.由两点之间线段最短可知，当M、P、Q三点共线，即点Q与点N重合时，MPPQ取得最小值，
5、最小值为MN的长AM3，CMACAM7.MNCM，MPBP的最小值为.第4题解图5. A【解析】如解图，过点P作PJBC于点J，过点D作DHBC于点H.二次函数yx23xc的图象与y轴交于点B(0，4)，c4，二次函数的解析式为yx23x4，令y0，解得x1或x4，A(1，0)，C(4，0)，OBOC4，BOC90，OBCOCB45，D(0，1)，OD1，BD5，DHBC，DHB90，DHBDsin455，PJCB，PJC90，PJPC，PDPC(PDPC)(DPPJ)，DPPJDH，DPPJ，DPPJ的最小值为，PDPC的最小值为5.第5题解图6. 2【解析】如解图，连接CE交AD于点F，E
6、FCFEFCFCE，当点F与点F重合时，EFCF有最小值，且最小值为线段CE的长，AB4，AE2，由等边三角形性质可知CEAB，CE2.第6题解图7. 12【解析】如解图，连接AP，AH，MN是线段AB的垂直平分线，点B关于直线MN的对称点为点A，APBP，BPPHAPPHAH，AH的长为BPPH的最小值，ABAC13，ABC的周长为36，BC3621310，H是BC中点，BHBC5，ABC是等腰三角形，点H是BC中点，AHBC，AH12，BPPH的最小值为12.第7题解图8. 【解析】如解图，作点A关于y轴的对称点A，连接AB与y轴交于点P，则此时PAB的周长最小，根据题意，联立，解得或，点
7、A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(4，5)，AB3，点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(4，5)，设直线AB的解析式为ykxb，将点A、点B的坐标代入得，解得，直线AB的解析式为yx，当x0时，y，点P的坐标为(0，)，将x0代入直线yx1中，得y1，直线yx1与y轴的夹角是45，PAB的高为(1)sin45，SPAB3.第8题解图9. 2【解析】如解图，延长EF与BC交于点P，过点P作PMAD于点M，过点F作FGAD于点G，延长GF交BC于点H，PEPF的最大值即为EF的值四边形ABCD为正方形，ADBC，ABBCCDAD8，PFBEFD，点F是对角线BD上靠边点B的三等分点，DE2，B
8、P1，ADBC，PFHEFG，FG4，AMBP1，DE2，ME3，GE2，EF2.第9题解图10. 2【解析】如解图，作点N关于直线BD的对称点G，连接MG并延长交BD于点P，此时PMPN有最大值，最大值为线段GM的长，点N为OA的中点，点G为OC的中点，过点O作OHBC交BC于点H，由正方形的性质可知，OHHCBC4，BM6，CM2，点M为CH的中点，GM为COH的中位线，GMOH2.第10题解图11. (1，12)【解析】如解图，连接PA，则PAPB，当x0时，yx22x88，则C(0，8)，当y0时，x22x80，解得x12，x24，则A(2，0)，B(4，0)，抛物线的对称轴为直线x1
9、，|PBPC|PAPC|AC(当点A、C、P共线时取等号)，延长AC交直线x1于点P，设直线AC的解析式为ymxn，把A(2，0)，C(0，8)代入得，解得，直线AC的解析式为y4x8，当x1时，y4812，即P(1，12)，当|PBPC|达到最大值时，点P的坐标为(1，12)第11题解图12. 2【解析】如解图，连接BD，作点C分别关于AB、AD的对称点E、F，连接EM，FN，则CMEM，CNFN，CMMNCNEMMNFN，当点E，M，N，F在同一直线上时，EMMNFN的最小值等于线段EF的长，点B，D分别是CE，CF的中点，此时BD是CEF的中位线，EF2BD，又A60，ABAD，ABD是
10、等边三角形，BD，EF2，CMMNCN的最小值为2，CMN周长的最小值为2.第12题解图13. 【解析】如解图，作DMAC，使得DMEF1，连接BM交AC于点F，DMEF，DMEF，四边形DEFM是平行四边形，DEFM，DEBFFMFBBM，根据两点之间线段最短可知，此时DEFB最短，四边形ABCD是菱形，AB3，BAD60，ADAB，ABD是等边三角形，BDAB3，在RtBDM中，BM，DEBF的最小值为.第13题解图14. 142【解析】如解图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B，作点B关于AD的对称点B，连接CB，交AD于点F，在AD上截取EF2，连接BF，则BEBF，BFBF，此时四边形BEFC的周长为BEEFFCBCBFEFFCBCBCEFBC，当点C、F、B三点共线时，四边形BEFC的周长最小AB4，BB2，ABC60，BB经过点A.AB2.BB4.BC12，BC10.BC2.BCEFBC142.四边形BEFC周长的最小值为142.第14题解图15. 1【解析】如解图，作AD的中点P，连接OP，CP，AOD90，P是AD的中点，ADBC2，OP1，CDAB1，CP.在这个运动过程中，OP，CP的大小不变，OCCPOF1当C，P，O三点共线时，点C到原点O的距离最大，为CPOP1.第15题解图
