1、2024河南中考数学全国真题分类卷 第十三讲 三角形命题点1三角形及边角关系1. (2023永州)下列多边形具有稳定性的是()2. (2023邵阳)下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是()A. 1 cm，2 cm，3 cm B. 3 cm，4 cm，5 cmC. 4 cm，5 cm，10 cm D. 6 cm，9 cm，2 cm3. (2023河北)平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形(如图所示)，则d可能是()第3题图A. 1 B. 2 C. 7 D. 84. (2023德阳)八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是 5 km和 3
2、km.那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是()A. 1 km B. 2 km C. 3 km D. 8 km5. (2022盐城)将一副三角板按如图方式重叠，则1的度数为()第5题图A. 45 B. 60 C. 75 D. 1056. (2022陕西)如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若A35，B25，C50，则1的大小为()第6题图A. 60 B. 70 C. 75 D. 857. (2023湘潭)如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出，已知AOB120，CDB20，则AEF_第7题图8. (新趋势)注重学习过程 (2023北京)下面是证明
3、三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180.已知：如图，ABC.求证：ABC180.方法一证明：如图，过点A作DEBC.方法二证明：如图，过点C作CDAB. 源自人教八上P12例题命题点2三角形中的重要线段类型一与中点有关的问题9. (2023眉山)在ABC中，AB4，BC6，AC8，点 D，E，F分别为边 AB，BC，AC的中点，则DEF的周长为()A. 9 B. 12 C. 14 D. 1610. (2023南充)数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC，BC两边中点的距
4、离DE为10 m(如图)，则A，B两点的距离是_m.第10题图11. (2023常州)如图，在ABC中，E是中线AD的中点若AEC的面积是1，则ABD的面积是_第11题图类型二与角平分线有关的问题12. (新考法)结合折叠考查角平分线的概念 (2023河北)如图，将ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是ABC的()第12题图A. 中线 B. 中位线 C. 高线 D. 角平分线13. (2023北京)如图，在ABC中，AD平分BAC，DEAB.若AC2，DE1，则SACD_第13题图14. (2023温州)如图，BD是ABC的角平分线，DEBC，交AB于点E.(1)求证：EB
5、DEDB；(2)当ABAC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由第14题图类型三与高线有关的问题15. (2023杭州)如图，CDAB于点D，已知ABC是钝角，则()第15题图A. 线段CD是ABC的AC边上的高线B. 线段CD是ABC的AB边上的高线C. 线段AD是ABC的BC边上的高线D. 线段AD是ABC的AC边上的高线16. (2023玉林)请你量一量如图ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是()第16题图A. 0.5 cm B. 0.7 cm C. 1.5 cm D. 2 cm17. (2022聊城)如图，在ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点
6、O，连接BO并延长交AC于点F，若AB5，BC4，AC6，则CEADBF值为_第17题图命题点3等腰三角形18. (2023宿迁)若等腰三角形的两边长分别为3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是()A. 8 cm B. 13 cmC. 8 cm或13 cm D. 11 cm或13 cm19. (2023嘉兴)如图，在ABC中，ABAC8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EFAC，GFAB，则四边形AEFG的周长是()第19题图A. 32 B. 24 C. 16 D. 820. (2023天津)如图，OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且ABx轴，若AB6，OA
7、OB5，则点A的坐标是()第20题图A. (5，4) B. (3，4) C. (5，3) D. (4，3)21. (2023海南)如图，在ABC中，ABAC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若ADBD，则A的度数是()第21题图A. 36 B. 54 C. 72 D. 10822. (2023梧州)如图，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，过点D分别作DEAB，DFAC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是()第22题图A. ADC90 B. DEDF
8、C. ADBC D. BDCD23. (2023湖州)如图，已知在锐角ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC.若EBC45，BC6，则EBC的面积是()第23题图A. 12 B. 9 C. 6 D. 324. (2022宜宾)如图，在ABC中，点O是角平分线AD，BE的交点，若ABAC10，BC12，则tan OBD的值是()第24题图A. B. 2 C. D. 25. (2023云南)已知ABC是等腰三角形. 若A40，则ABC的顶角度数是_26. (2023苏州)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”若等腰ABC是“倍长
9、三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为_27. (2022南京)如图，在四边形ABCD中，ABBCBD.设ABC，则ADC_(用含的代数式表示).第27题图28. (2022长沙)如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，BDCD，延长BC至E，使得CECA，连接AE.(1)求证：BACB；(2)若AB5，AD4，求ABE的周长和面积第28题图29. (挑战题) (2020天水)性质探究如图，在等腰三角形ABC中，ACB120，则底边AB与腰AC的长度之比为_；理解运用(1)若顶角为120的等腰三角形的周长为42，则它的面积为_；(2)如图，在四边形EFGH中，EFEGEH.在边FG，GH上分
10、别取中点M，N，连接MN.若FGH120，EF20，求线段MN的长；类比拓展顶角为2的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为_(用含的式子表示).第29题图命题点4等边三角形30. (2020铜仁)已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为()A. 2 B. 3 C. 4 D. 431. (2020福建)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则DEF的面积是()A. 1 B. C. D. 第31题图32. (2023张家界)如图，点O是等边三角形 ABC内一点，OA2，OB1，OC，则AOB与 BOC的面积之和为()第32题图A. B. C. D. 33. (
11、2020台州)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的DEF的周长是_第33题图34. (挑战题) (2023朝阳)等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE，若CE2，则等边三角形ABC的边长为_35. (2023怀化)如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CNAM，连接MN交AC于点P，MHAC于点H.(1)求证：MPNP；(2)若ABa，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).第35题图命题点5直角三角形类型一勾股定理及其应用3
12、6. (2023遵义)如图是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形OABC.若ABBC1，AOB30，则点B到OC的距离为()A. B. C. 1 D. 2第36题图37. (2022成都)如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_第37题图38. (2023扬州)在ABC中，C90，a，b，c分别为A，B，C的对边，若b2ac，则sin A的值为_39. (新趋势)数学文化 (2022宿迁)九章算术中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意
13、是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C处(如图)，水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是_尺第39题图类型二直角三角形的性质及计算40. (2023沈阳)如图，在RtABC中，A30，点D，E分别是直角边AC，BC的中点，连接DE，则CED的度数是()第40题图A. 70 B. 60 C. 30 D. 2041. (2023宁波)如图，在RtABC中， D为斜边AC的中点， E为BD上一点，F为CE中点若AEAD，DF2，则BD的长为()第41题图A. 2 B.
14、 3 C. 2 D. 442. (2023南充)如图，在RtABC中，C90，BAC的平分线交BC于点D，DEAB，交AC于点E，DFAB于点F，DE5，DF3，则下列结论错误的是()第42题图A. BF1 B. DC3 C. AE5 D. AC943. (2023梧州)如图，在ABC中，ACB90，点D，E分别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE.如果AB5 m，BC3 m那么CDDE的长是_m.第43题图44. (2022海南)如图， ABC的顶点B，C的坐标分别是(1, 0)、(0，)，且ABC90，A30，则顶点A的坐标是_第44题图45. (2022苏州)如图，在RtABC中，C9
15、0，AFEF，若CFE72，则B_.第45题图46. (2023德阳)如图，直角三角形ABC纸片中，ACB90，点D是AB边上的中点，连接CD，将ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CEAB. 若CB1，那么CE_第46题图47. (2023杭州)如图，在RtACB中，ACB90，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EFAC于点F，连接CM，CE.已知A50，ACE30.(1)求证：CECM；(2)若AB4，求线段FC的长第47题图命题点6等腰直角三角形48. (2022宁波)如图，在ABC中，B45， C60，ADBC于点D, BD.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为()
16、A. B. C. 1 D. 第48题图49. (2023桂林)如图，在ABC中，B22.5，C45，若 AC2，则 ABC的面积是()第49题图A. B. 1 C. 2 D. 250. (2022枣庄)如图，三角形纸片ABC，ABAC，BAC90，点E为AB中点沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F.已知EF，则BC的长是()第50题图A. B. 3 C. 3 D. 351. (2022扬州)如图，在44的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是()第51题图A. 2 B. 3 C. 4 D. 5参
17、考答案与解析1. D【解析】三角形具有稳定性2. B【解析】A.123，这三条线段不能构成三角形；B.345，435，这三条线段能构成三角形；C.4510，这三条线段不能构成三角形；D.629，这三条线段不能构成三角形3. C【解析】如解图，连接EB，BD，在AEB中，51a51，即4a6，在CDB中，11b11，即0b2，在DEB中，abdab，2d8，d可能是7.第3题解图4. A【解析】设杨冲家为点A，李锐家为点B，学校为点C，则ACBCABACBC，AC5 km，BC3 km，53AB53，即2AB8，所以杨冲、李锐两家的直线距离不可能是1 km.故选A.5. C【解析】1304575
18、.6. B【解析】B25，C50，AEB75，A35，1180AAEB70.7. 40【解析】根据反射角等于入射角得ODECDB20，AEFOED，又AOB120，根据三角形内角和定理得OED40，AEFOED40.8. 方法一：证明：DEBC，BDAB，CEAC.DABBACEAC180，BBACC180.方法二：证明：ABDC，AACD，BBCD180，又BCDACDBCA，ABBCA180.(选择一种即可)9. A【解析】根据题意，线段DE，EF，DF是ABC的三条中位线，根据中位线的性质，得DEF的周长为9.10. 20【解析】D，E两点分别是AC与BC的中点，DE是ABC的中位线，D
19、EAB10，AB20 m.11. 2【解析】E是AD的中点，SACD2SACE2，AD是ABC的中线，D是BC的中点，SABDSADC2.12. D【解析】角是轴对称图形，角的对称轴是角平分线所在直线13. 1【解析】AD平分BAC，点D到AB所在直线和AC所在直线的距离相等，DEAB，DE1，DE为点D到AB所在直线的距离，点D到AC所在直线的距离hDE1，SACDACh211.14. (1)证明：BD是ABC的角平分线，CBDEBD.DEBC，CBDEDB，EBDEDB；(2)解：CDED.理由如下：ABAC，CABC.DEBC，ADEC，AEDABC，ADEAED，ADAE，ACADAB
20、AE，即CDBE.由(1)得EBDEDB，BEED，CDED.15. B16. D17. 121510【解析】ADBC，CEAB，AD与CE交于点O，点O为ABC的垂心，BF过点O，BFAC，SABCABCEBCADACBF，5CE4AD6BF，即CEADBF121510.18. D【解析】当等腰三角形的腰为3 cm，底为5 cm时，3，3，5能够组成三角形，此时周长为33511 cm；当等腰三角形的腰为5 cm，底为3 cm时，3，5，5能够组成三角形，此时周长为55313 cm.则这个等腰三角形的周长是11 cm或13 cm.19. C【解析】EFAC，GFAB，四边形AEFG是平行四边形
21、，AEFG，AGEF，ACAB8，BC，ABFG，BGFC，GFCC，FGGC，ACAGGCAGFG四边形AEFG的周长，四边形AEFG的周长16.20. D【解析】如解图，设AB交x轴于点C，由题意知OCAB.OAOB，ACBCAB3.由勾股定理，得OC4，点A的坐标为(4，3).第20题解图21. A【解析】由作图可知，BD为ABC的平分线，ABDCBD，ADBD，AABDCBD，ABAC，ABCC，设Ax，则ABCC2x，x2x2x180，x36，即A36.22. C【解析】ABAC，AD是ABC的角平分线，BDCD，ADBC，ADC90，故选项A，D正确；AD是ABC的角平分线，DEA
22、B，DFAC，DEDF，故选项B正确；在ABC中，AD不一定等于BC，故选项C错误23. B【解析】ABAC，AD是ABC的角平分线，ADBC，BDDC，AD所在直线为ABC的对称轴，EBC45，ECD45，BEC是等腰直角三角形，BC6，BECE3，SEBCBECE9.24. A【解析】如解图，过点O作OFAB于点F，点O为角平分线AD，BE的交点，ABAC.ODBD，OFOD.在ABC中，ABAC10，BC12，BDBFCDBC6，在ABD中，AD8，设ODx，则OFx，AO8x，AF4，在RtAFO中，AF2OF2OA2，即42x2(8x)2，解得x3，tan OBD.第24题解图25.
23、 40或100【解析】当A为顶角时，ABC的顶角为40；当A为底角时，ABC的顶角为180240100.26. 6【解析】等腰ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，ABAC2BC6.27. 180【解析】在ABD中，ABBD，AADB(180ABD)90ABD，在BCD中，BCBD，CCDB(180CBD)90CBD，ABCABDCBD，ADCADBCDB90ABD90CBD180(ABDCBD)180ABC180.28. (1)证明：ADBC，ADBADC90，在ABD和ACD中，ABDACD(SAS)，BACB；(2)解：ABDACD，AB5，ACAB5，CECA，CE5，AB5，AD
24、4，ADBC，BD3，BDCD，CD3，BEBDCDCE33511，DECDCE358，AE4，则ABE的周长为ABBEAE5114164，SABEBEAD11422.29. 解：性质探究：1；【解法提示】如解图，过点C作CDAB于点D.CACB，ACB120，CDAB，AB30，ADBD，AB2AD2ACcos 30AC，ABAC1.第29题解图理解运用：(1)；【解法提示】设CACBm，则ABm，由题意得2mm42，m2，ACCB2，AB2，ADDB，CDACsin 301，SABCABCD21.(2)如解图，连接FH.第29题解图FGH120，EFEGEH，EFGEGF，EHGEGH，E
25、FGEHGEGFEGHFGH120，FEHEFGEHGFGH360，FEH360120120120，EFEH，EFH是顶角为120的等腰三角形，EFH30，FH2EFcos 3020，点M，N分别为FG，GH的中点，MNFH10；类比拓展：2sin 1.【解法提示】如解图，CACB，ACB2，CDAB，AB，ADBD，ACDBCD，AB2AD2ACsin ，ABAC2sin 1.30. C【解析】根据等边三角形三线合一的性质，设它的边长为x，可得x2()2(2)2，解得x14，x24(舍去).31. D【解析】在等边ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，DEF为等边三角形，DFBC
26、且DFBC，ADFABC，SADFSABC，SADF.同理可得SBDESCEF，SDEFSABCSADFSBDESCEF.第31题解图32. C【解析】如解图，将BOC绕点B逆时针旋转，使得线段BC与BA重合，点O的对应点为点O，连接OO，ABC为等边三角形，ABC60，由旋转的性质得，OBO60，OBOB1，AOCO，OBO为等边三角形，OOOB1，过点O作ODOB于点D，ODOBsin 60，在AOO中，AO2OO2()2124，AO2224，AO2OO2AO2，AOO为直角三角形，SAOBSBOCSAOBSABOSAOOSBOO11.第32题解图33. 6【解析】等边三角形纸片ABC的边
27、长为6，E，F是边BC上的三等分点，EF2，BC60.DEAB，DFAC，DEFB60，DFEC60，DEF是等边三角形，剪下的DEF的周长是3EF326.34. 3或【解析】如解图，ABC和ADE都是等边三角形，ADAE，ABAC，DAEBAC60，CAEBAD，ACEABD，BDCE2，BD2CD，CD1，BCBDCD3，即等边ABC的边长为3；如解图，连接BE，过点E作EFBC，交CB的延长线于F，ABC和ADE都是等边三角形，ADAE，ABAC，DAEBAC60，BAECAD，ABEACD，BECD，ABEACD60，EBF60，设CDx，则BEx，BD2x，BFx，EFx，CFx，在
28、RtCEF中，EF2CF2CE2，(x)2(x)222，解得x，BC3x，即等边ABC的边长为.第34题解图35. (1)证明：如解图，过点M作MQBC交AC于点Q，第35题解图AMQB，AQMACB，PMQN，ABC为等边三角形，ABACB60，AAMQAQM60，AMQ为等边三角形，AMMQ，AMCN，MQCN，在PQM和PCN中，PQMPCN(AAS)，MPNP；(2)解：AMQ为等边三角形，MHAQ，AHQHAQ，PQMPCN，PQPCCQ，PHQHPQAQCQ(AQCQ)AC，ABC为等边三角形，ABa，ACABa，PHa.36. B【解析】在RtABO，RtBOC中，AOB30，A
29、BBC1，OB2，OC，设点B到OC的距离为h，OChBCBO，h.37. 10038. 【解析】在ABC中，C90，a2b2c2，b2ac，a2acc2，()21，令x，则x2x1，解得x1，x2(舍去)，sin A，sin A.39. 12【解析】依题意画出图形如解图，设芦苇长ACACx尺，则水深AB(x1)尺，CE10尺，CB5尺，在RtACB中，52(x1)2x2，解得x13，即芦苇长13尺，水深为12尺第39题解图40. B41. D【解析】D是AC的中点，F是CE的中点，DF是ACE的中位线，AE2DF4，ADAE4.在RtABC中，D是斜边AC的中点，BDAD4.42. A【解析
30、】在RtABC中，C90，AD平分BAC，CADBAD，又DEAB，EDABAD，CADEDA，DE5，AEDE5，C选项正确；CDFA90，由角平分线的性质可得DCDF3，B选项正确；在RtDCE中，由勾股定理得CE4，ACAECE549.D选项正确；CDFB90，DEAB，CDEB，CDEFBD，即，解得FB，A选项错误43. 444. (4，)【解析】点B，C的坐标分别是(1，0)、(0，)，OC，OB1，BC2，ABC90，A30，AC2BC4.OB1，BC2，OBC60，OBCACB.ACx轴，顶点A的坐标是(4，).45. 54【解析】AFEF，AAEF，AAEFCFE72，A36
31、，C90，B90A54.46. 【解析】由折叠的性质可得ACCE，ACDECD，ACB90，AB90，CEAB，BCEB90，BCEA，点D是AB边上的中点，ADCD，ACDA，ACDECDBCE，又ACB90，BCE30，B60，tan B，BC1，ACBCtan 601，即CEAC.47. (1)证明：ACB90，点M为AB的中点，MAMC，MCAA50，CMA180AMCA80，CEMAACE503080，CMECEM，CECM；(2)解：由题意，得CECMAB2，EFAC，ACE30，FCCEcos 30.48. C【解析】ADBC，ADBADC90.B45，BD，ADBD.C60，D
32、C1，AC2DC2.E，F分别为AB，BC的中点，EFAC1.49. D【解析】如解图，过点A分别作ADAC交BC于点D，作AEBC于点E，C45，ADC45，ADAC2，CD2，B22.5，BADADCB22.5，BBAD，BDAD2，BCBDCD22，AEBC，AEAC，SABCBCAE(22)2.第49题解图50. C【解析】ABAC，BAC90，B45，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，BEAF45，AFB180BEAF90.点E为AB的中点，EFAB，EF，ABAC3，BAC90，BC3.51. B【解析】如解图，分两种情况讨论：AB为等腰RtABC的底边时，符合条件的C点有0个；AB为等腰RtABC其中的一条腰时，符合条件的C点有C1，C2，C3，共3个故满足条件的格点C的个数是3.第51题解图
