2025年高考数学一轮复习-第七章-第八节 利用空间向量研究角度问题-课时作业【含解析】.docx

1、2025年高考数学一轮复习-第七章-第八节 利用空间向量研究角度问题-课时作业（原卷版）A组基础保分练1.如图，已知在多面体ABC􀆼A1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.请用空间向量的方法解答下列问题：求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.2.（2020全国卷）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD.ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO66DO.（1）证明：PA平面PBC；（2）求二面角BPCE的余弦值.3.（2023新高考卷）如图，在三棱锥ABCD中，DAD

2、BDC，BDCD，ADBADC60，E为BC的中点.（1）证明：BCDA；（2）点F满足EFDA，求二面角DABF的正弦值.4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AC1，CC13，ABC30，D为AB的中点.（1）证明：AC1平面B1CD；（2）求直线DC1与平面B1CD所成角的正弦值.B组能力提升练5.（2024北京）如图，在四棱锥P􀆼ABCD中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，BAD60，PBPD.E是棱PA的中点，连接OE，OP.（1）求证：OE平面PCD；（2）若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为155，再从条件，条件这两个条件中选择一个作为已

3、知，求线段OP的长.条件：平面PBD平面ABCD；条件：PBAC.6.（2023全国乙卷）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，AB2，BC22，PBPC6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD5DO，点F在AC上，BFAO.（1）证明：EF平面ADO；（2）证明：平面ADO平面BEF；（3）求二面角DAOC的正弦值.2025年高考数学一轮复习-第七章-第八节 利用空间向量研究角度问题-课时作业（解析版）A组基础保分练1.如图，已知在多面体ABC􀆼A1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.请用空间向量的

4、方法解答下列问题：求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.解：如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，以过点O平行于CC1的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A0,3，0，B1，0，0，A10,3，4，B11，0，2，C10，3，1.设直线AC1与平面ABB1所成的角为，可知AC10，23，1，AB1，3，0，BB10，0，2，设平面ABB1的法向量nx，y，z，则nAB=0，nBB1=0，即x3y=0，2z=0，令y1，则x3，z0，可得平面ABB1的一个法向量n3，1，0，sin cosAC1，nAC1nAC1n3913，直线AC1与平面ABB

5、1所成的角的正弦值是3913.2.（2020全国卷）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD.ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO66DO.（1）证明：PA平面PBC；（2）求二面角BPCE的余弦值.（1）证明：设DOa，由题设可得PO66a，AO33a，ABACBCa，PAPBPC22a.因此PA2PB2AB2，从而PAPB.又PA2PC2AC2，故PAPC，所以PA平面PBC.（2）解：以O为坐标原点，OE的方向为y轴正方向，OE为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设可得E（0，1，0），A（0，1，0），C32，12，0，P0，0，

6、22，所以EC32,12，0，EP0,1，22.设m（x，y，z）是平面PCE的法向量，则mEP=0，mEC=0，即y22z=0，32x12y=0.可取m33，1，2.由（1）知AP0，1，22是平面PCB的一个法向量.记nAP，则cosn，mnmnm255，所以二面角BPCE的余弦值为255.3.（2023新高考卷）如图，在三棱锥ABCD中，DADBDC，BDCD，ADBADC60，E为BC的中点.（1）证明：BCDA；（2）点F满足EFDA，求二面角DABF的正弦值.（1）证明：连接AE，DE，DBDC，E为BC的中点，DEBC.又DADBDC，ADBADC60，ACD与ABD均为等边三角

7、形，ACAB，AEBC.又AEDEE，AE平面ADE，DE平面ADE，BC平面ADE，又DA平面ADE，BCDA.（2）解：设DADBDC2，则BC22，DEAE2，AE2DE24DA2，AEDE.又AEBC，DEBCE，DE平面BCD，BC平面BCD，AE平面BCD.以E为原点，ED，EB，EA的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（2，0，0），A（0，0，2），B（0，2，0），E（0，0，0），DA（2，0，2），AB（0，2，2）.EFDA，F（2，0，2），AF（2，0，0）.设平面DAB的法向量为n1（x1，y1，z1），则DAn1=0，ABn1

8、=0，即2x12z1=0，2y12z1=0，令z11，则n1（1，1，1）.设平面ABF的法向量为n2（x2，y2，z2），则ABn2=0，AFn2=0，即2y22z2=0，2x2=0，令z21，则n2（0，1，1）.设二面角DABF的平面角为，则cos n1n2n1n223263.又0，sin 1cos2 163233，二面角DABF的正弦值为33.4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AC1，CC13，ABC30，D为AB的中点.（1）证明：AC1平面B1CD；（2）求直线DC1与平面B1CD所成角的正弦值.（1）证明：连接BC1交B1C于点E，连接DE，因为四边形BB1C1C

9、是矩形，所以点E是BC1的中点.又D为AB的中点，所以DE是ABC1的中位线，所以DEAC1.因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1平面B1CD.（2）解：由AB2，AC1，ABC30，可得ACBC，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则C（0，0，0），B1（0，3，3），D12，32，0，C1（0，0，3），所以DC112,32，3，CB1（0，3，3），CD12，32，0.设直线DC1与平面B1CD所成角为，平面B1CD的法向量为m（x，y，z），则mCB1=0，mCD=0，即3y3z=0，12x32y=0，令z1，得m（

10、3，1，1），所以sin cosm，DC1323231434+33+1+13251510.所以DC1与平面B1CD所成角的正弦值为1510.B组能力提升练5.（2024北京）如图，在四棱锥P􀆼ABCD中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，BAD60，PBPD.E是棱PA的中点，连接OE，OP.（1）求证：OE平面PCD；（2）若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为155，再从条件，条件这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长.条件：平面PBD平面ABCD；条件：PBAC.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.（1）证明：因为底面ABCD是菱形，所以O是

11、AC的中点.因为E是棱PA的中点，所以OEPC.又因为PC平面PCD， OE平面PCD，所以OE平面PCD.（2）解：选择条件：因为PBPD，O是BD的中点，所以POBD.因为平面PBD平面ABCD，平面PBD平面ABCDBD，PO平面PBD， 所以PO平面ABCD.因为AC平面ABCD，所以POAC.又ACBD，所以OB，OC，OP两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.因为菱形的边长为2，BAD60，所以BD2，AC23，所以C（0，3，0），D（1，0，0），设P（0，0，t）（t0），所以DC（1，3，0），DP（1，0，t），设n（x，y，z）为平面PCD的一个法向量，由nD

12、C，nDP，得nDC=0，nDP=0，所以x3y=0，xtz=0，取x3t，yt，z3，所以n（3t，t，3）.因为BO平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为n1（1，0，0），平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为155，所以cosn，n1155，所以13t（3t）2(t）2(3）21155，所以5t24t23，所以t23.因为t0，所以t3.所以线段OP的长为3.选择条件：因为PBAC，在菱形ABCD中，BDAC，BD平面PBD，PB平面PBD，PBBDB，所以AC平面PBD.因为PO平面PBD，所以ACPO.因为POBD，ACBD，所以OB，OC，OP两两垂直，以O为原点建立空间直角坐

13、标系Oxyz.因为菱形的边长为2，BAD60，所以BD2，AC23，所以C（0，3，0），D（1，0，0），设P（0，0，t）（t0），所以DC（1，3，0），DP（1，0，t），设n（x，y，z）为平面PCD的一个法向量，由nDC，nDP，得nDC=0，nDP=0，所以x3y=0，xtz=0，取x3t，yt，z3，所以n（3t，t，3）.因为BO平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为n1（1，0，0），平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为155，所以cosn，n1155，所以13t（3t）2(t）2(3）21155，所以5t24t23，所以t23，因为t0，所以t3.所以线段OP的长为3

14、.6.（2023全国乙卷）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，AB2，BC22，PBPC6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD5DO，点F在AC上，BFAO.（1）证明：EF平面ADO；（2）证明：平面ADO平面BEF；（3）求二面角DAOC的正弦值.法一：（1）证明：如图，连接OF，设AFtAC（0t1），则BFBAAFBAtACBAt（BCBA）（1t）BAtBC.易知AOBA12BC.BFAO，BFAO（1t）BAtBCBA12BC（t1）BA212tBC24（t1）4t0，解得t12，故F为AC的中点.D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点，DEAB，且DE12AB

15、，OFAB，且OF12AB，DE􀱀OF，四边形DEFO是平行四边形，EFDO.又EF平面ADO，DO平面ADO，EF平面ADO.（2）证明：D，O分别是PB，BC的中点，且PC6，DO12PC62.又AD5DO，AD302.在RtABO中，AB2，BO2，AO6.在ADO中，OD2AO2AD2，ODAO，由（1）知EFOD，则EFAO.又AOBF，BFEFF，BF平面BEF，EF平面BEF，AO平面BEF.又AO平面ADO，平面ADO平面BEF.（3）解：如图，过点O作OHBF交AC于点H，由AOBF，知HOAO.又由（2）知ODAO，故DOH为二面角DAOC的平面角，设AD

16、BEG.D，E分别为PB，PA的中点，G为PAB的重心，DG13AD，GE13BE.O为BC的中点，OHBF，H为FC的中点.由（1）知F为AC的中点，FH13AH，连接DH，GF，DH32GF，由cosABD4+3215222624+6PA2226，得PA14.同理可得BE62，BE2EF23BF2，故BEEF，则GF21362262253，GF153，故DH32153152.在DOH中，OH12BF32，OD62，DH152，cosDOH64341542623222，sin DOH22，二面角DAOC的正弦值为22.法二（空间向量法）：以BA，BC所在直线分别为x，y轴，过点B且垂直于平面

17、ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（2，0，0），O（0，2，0），C（0，22，0）.（1）证明：设AFAC，01.AC（2，22，0），F（22，22，0），BF（22，22，0）.BFAO，AO（2，2，0），BFAO0，即2（22）40，解得12，故F为AC的中点.连接OF，D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点，DEAB，且DE12AB，OFAB，且OF12AB，DE􀱀OF，故四边形ODEF为平行四边形，EFDO.又EF平面ADO，DO平面ADO，EF平面ADO.（2）证明：易得AD302，由cosABD4+32152

18、22624+6PA2226，得PA14.设P（x，y，z），z0，则由PBPC6，PA14可得x2y2z2=6，x2（y22）2z2=6，（x2）2y2z2=14，解得x1，y2，z3，故P（1，2，3）.又E是PA的中点，E12，22，32，BE12，22，32.又AO（2，2，0），AOBE2122220320，AOBE，即AOBE.又AOBF，BEBFB，AO平面BEF.又AO平面ADO，平面ADO平面BEF.（3）解：易知平面AOC的一个法向量为m1（0，0，1），D为PB的中点，D12，22，32，OD12,22，32.设平面AOD的法向量为m2（x1，y1，z1），则m2AO=0，m2OD=0，即2x12y1=0，12x122y132z1=0，取x11，则y12，z13，则m2（1，2，3）.设二面角DAOC的大小为，则cos cosm1，m2m1m2m1|m2311+2+322.由题图可知，二面角DAOC的平面角为钝角，cos 22，sin 22，即二面角DAOC的正弦值为22.