1、2024中考数学复习 重难题型分类练 题型二 多解题 类型一代数类问题1. (2023呼和浩特)在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为(1，1)和(4，1)，抛物线ymx22mx2(m0)与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是_2. (2023赤峰)如图，抛物线yx26x5交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D(m，m1)是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为_第2题图3. 如图，反比例函数y(x0)的图象与直线yx相交于点A，与直线ykx(k0)相交于点B，若OAB的面积为18，则k的值为_.第3题图类型二点位置不确定类问题4. (2020襄阳)在O中，若弦BC垂直平分半
2、径OA，则弦BC所对的圆周角等于_.5. (2023哈尔滨)在ABC中，AD为边BC上的高，ABC30，CAD20，则BAC是_度6. (2023河南)如图，在RtABC中，ACB90，ACBC2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ.当ADQ90时，AQ的长为_第6题图7. (2022绥化)在边长为4的正方形ABCD中，连接对角线AC，BD，点P是正方形边上或对角线上的一点，若PB3PC，则PC_.8. (2022河南)小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在RtABC中，ACB90，B30，AC1，第一步，在AB边上找一
3、点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A处，如图；第二步，将纸片沿CA折叠，点D落在D处，如图.当点D恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段AD的长为_第8题图9. (2023沈阳)如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC于点G，EF交边BC于点H.EN2，AB4，当点H为GN三等分点时，MD的长为_第9题图10. (2023泰州)如图，ABC中，C90，AC8，BC6，O为内心，过点O的直线分别与AC，AB边相交于点D，E.若DECDBE，则线段CD的长为_第10题图11. (2023绍兴)如图，AB10
4、，点C是射线BQ上的动点，连接AC，作CDAC，CDAC，动点E在AB延长线上，tan QBE3，连接CE，DE，当CEDE，CEDE时，BE的长是_第11题图类型三图形形状不确定类问题 12. (2023百色)活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等如已知ABC中，A30，AC3，A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的ABC是一个直角三角形)，则满足已知条件的三角形的第三边长为()A. 2 B. 23C. 2或 D. 2或23第12题图13. (2023宁波)如图，在ABC中，AC2，BC4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点
5、A.D是BC边上的动点，当ACD为直角三角形时，AD的长为_第13题图14. 在RtABC中，C90，AC6，BC8，P，Q分别为边BC，AB上的两个动点，若要使APQ是等腰三角形且BPQ是直角三角形，则AQ的长为_15. (2023绥化)在长为2，宽为x(1x2)的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形(第一次操作)；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形(第二次操作)；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为_16. (2023通辽)在RtABC中，C90，有一个锐角为60，AB6.若点P在直线AB上(不与点A，B重合)，且PCB30，则A
6、P的长为_17. 在矩形ABCD中，AB5，BC8，若P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为M，连接AM，DM，当AMD是等腰三角形，且MAMD时，AP的长为_18. (2022云南)已知ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，ABC的平分线与线段AC交于点D.若ABC的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为_(结果要化简，不能含三角函数)19. (2022江西)如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为_第19题图类型四图形变换方式不确定类问题20. 如图
7、，在边长为2的菱形ABCD中，B60，AC为对角线，AEBC，将线段AE绕点A旋转60得到AE，连接CE，则CE_第20题图21. 如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，翻折A，使点A落在线段BC上的点D处，折痕为EF.若DFB与ACB相似，则线段CD的长为_第21题图参考答案与解析1. m3或1m【解析】ymx22mx2m(x1)22m，抛物线过点(0，2)，对称轴为直线x1，顶点坐标为(1，2m)，当m0，且抛物线过点C(1，1)时，m2m21，解得m1(不合题意，舍去)，当抛物线过点D(4，1)时，16m8m21，解得m(不合题意，舍去)，当m0且抛物线的顶点在线段CD上时，2m
8、1，解得m3；当m0且抛物线过点(1，1)时，m1，此时抛物线与线段CD有两个交点，不合题意，当m0且抛物线过点D(4，1)时，m，此时抛物线与线段CD有1个交点，符合题意，当1m时，抛物线与线段CD只有一个公共点综上可知m的取值范围是m3或1m.2. (5，4)或(0，1)【解析】yx26x5(x1)(x5)，A(5，0)，B(1，0)，C(0，5)，直线AC的解析式为yx5.D(m，m1)在抛物线上，m1(m1)(m5)，解得m11，m26，D1(1，0)或D2(6，5)，当D1(1，0)时，如解图，作点D1关于直线AC的对称点D1，交AC于点H，连接D1D1，AD1.D1AHD1AH45
9、，AD1AD14.D1AD190，D1(5，4)；当D2(6，5)时，如解图，作点D2关于直线AC的对称点D2，交AC于点Q，连接D2D2.D2QD2Q，AQD2D2.设直线D2D2的解析式为yxb，将D2(6，5)代入得56b，解得b1，直线D2D2的解析式为yx1.联立，解得，Q(3，2)，3，2，即3，2，xD20，yD21，D2(0，1).综上所述，点D关于直线AC的对称点为(5，4)或(0，1).第2题解图3. 或6【解析】联立，解得，(舍去)，点A(4，6)，如解图，当ykx与反比例函数的交点B在点A的下方时，过点A，B分别作AMx轴，BNx轴，垂足分别为点M，N，设点B坐标为(b
10、，)，则ONb，BN，点A(4，6)，OM4，AM6，SAOBSAOMS梯形AMNBSBONS梯形AMNB，18(6)(b4)，解得b18，b22(舍去)，点B(8，3)，代入ykx得，k；如解图，当ykx与反比例函数的交点B在点A的上方时，过点A，B分别作AMy轴，BNy轴，垂足分别为点M，N，设点B坐标为(b，)，则ON，BNb，点A(4，6)，OM6，AM4，SAOBSAOMS梯形AMNBSBONS梯形AMNB，18(b4)(6)，解得，b12，b28(舍去)，点B(2，12)，代入ykx得，k6，综上所述k的值为6或.第3题解图4. 60或120【解析】如解图，E是圆周上一点，弦BC垂
11、直平分半径OA，ODOB12，BOD60，BOC120，BEC60，BAC120，弦BC所对的圆周角等于60或120.第4题解图5. 80或40【解析】如解图，当点D在线段BC上时，ADB90，B30，BAD60.C1AD20，BAC1602080；当点D在线段BC延长线上时，ADB90，B30，BAD60.C2AD20，BAC2602040，综上所述，BAC的度数为80或40.第5题解图6. 或【解析】如解图，点Q在以点C为圆心，CP的长为半径的C上运动，且当点C，Q，D在一条直线上时，ADQ90，当点Q在线段CD上时，如解图，ACBC，点D是AB的中点，CDAB，ADQ90，CDADABA
12、C2，由旋转可得CQCP1，DQ1，在RtADQ中，由勾股定理得AQ；当点Q在DC的延长线上时，如解图，则ADQ90，DQ3，在RtADQ中，由勾股定理得AQ，综上所述，AQ的长为或.第6题解图7. 1或或【解析】如解图，设AC，BD交于点O，四边形ABCD是正方形，AB4，ACBD，ACBD，OBOD，ABBCADCD4，ABCBCD90，在RtABC中，由勾股定理得AC4，OBOC2，PB3PC，设PCx，则PB3x.有三种情况：点P在BC上时，如解图，BC4，PB3PC，PC1；点P在AC上时，如解图，在RtBPO中，由勾股定理得BP2BO2OP2，即(3x)2(2)2(2x)2，解得x
13、(负值已舍去)，即PC；点P在CD上时，如解图，在RtBPC中，由勾股定理得BC2PC2BP2，即42x2(3x)2，解得x(负值已舍去)，即PC；结合正方形的性质，当点P在边AD、AB及对角线BD上时，均不满足BP3PC.综上所述，PC的长是1或或.第7题解图8. 或2【解析】如解图，当点D落在BC边上时，则ACDACDACDACB30.B30，AC1，A60，ACA60，AAC是等边三角形，AAAC1，ADADADAA；如解图，当点D落在AB边上时，此时ACAB，AC交AB于点E，设AEx.CADA60，ADE30，ADADAD2AE2x，DEDEAEx.在RtACE中，AEACcos 6
14、0，2xx，解得x，AD2x2.第8题解图【一题多解】如解图，当点D落在BC边上时，则ACDACDACDACB30.B30，AC1，A60，ACA60，AAC是等边三角形，AAAC1，ADADADAA；如解图，当点D落在AB边上时，此时ACAB，设AC交AB于点E，则ACDECD，SCEDECCDsin ECD，SCADACCDsin ACD，.SCEDECDE，SCADECAD，sin 60.AEACcos 60，设EDx，则AD2x，EDADAE，即x2x，解得x，ADAD2x2.9. 4或24【解析】由题意得，点H为GN的三等分点，则分为两种情况，当GHHN12时，如解图，由翻折性质得，
15、12，MDFM，GFHE90，FHGEHN，GFHNEH，即，解得FG1，FH，在RtFGH中由勾股定理得GH，GN3GH35，ADBC，23，13，则GMGN5，FMGMGF514，MD4；当GHHN21时，如解图，由翻折性质得12，MDFM.GFHE90，FHGEHN，GFHNEH，2，即2，解得FG4，FH，在RtGFH中，由勾股定理得GH，GNGH2，又123，GMGN2，FMGMGF24，MD24.综上所述，MD的长为4或24.图图第9题解图10. 或2【解析】如解图，过点O作MNAC，交AC于点M，交AB于点N，过点O作OFBC于点F，过点E作EGAC于点G，作EHBC于点H，在R
16、tABC中，AC8，BC6，ACB90，由勾股定理得AB10，点O是ABC的内心，OF2.易得四边形CMOF是正方形，OMCMOF2，设BH3x，CDy，当y2时，在RtBEH中，易得EH4x，BE5x，DECDBEy5x，DMCMCD2y，DGCGCD4xy，EGCHBCBH63x，在RtEDG中，由勾股定理得DG2EG2DE2，即(4xy)2(63x)2(y5x)2，整理得xy22x，易得DOMDEG，即，整理得3xy14x4y12，联立两个方程，并整理得10x2y9，代入到方程xy22x得2y25y20，解得y1，y22.当y2时，同理可得y(舍去)或y2(舍去).综上可知，满足题意的C
17、D的长为或2.第10题解图11. 5或【解析】如解图，过点C作CTAE于点T，过点D作DJCT交CT的延长线于点J，连接EJ.tan CBT3，设BTk，CT3k，CATACT90，ACTJCD90，CATJCD，在ATC和CJD中，ATCCJD(AAS)，DJCT3k，ATCJ10k，TJ102k，CJDCED90，C，E，D，J四点共圆，ECDE，CJEDJE45，ETTJ102k，CE2CT2ET2(CD)2CD2，(3k)2(102k)2(3k)2(10k)22，整理得4k225k250，(k5)(4k5)0，k5或k，BEBTETk102k10k5或.(当BE5时，如解图)第11题解
18、图12. C【解析】如解图，以点C为圆心，CB为半径作弧，交AB于点D，连接CD，当A的对边为BC时，ACB90，A30，AB2BC，BC，AB2；当A的对边为CD时，CDBC，ACB90，A30，B60，BCD是等边三角形，BDCD，ADABBD2.满足条件的三角形的第三边长为2或.第12题解图13. 或【解析】如解图，分两种情况，当点D与点O重合时，连接OA，AC是O的切线，ADAC，ACD是直角三角形，设ADx，则BOx，CO4x，在RtACD中，由勾股定理得x222(4x)2，解得x，即AD；过点A作ADBC于点D，则ACD是直角三角形，由三角形面积公式可得OAACOCAD，2(4)A
19、D，AD，综上所述，当ACD是直角三角形时，AD的长为或.第13题解图14. 或【解析】在ABC中，C90，AB10，如解图，当AQPQ，QPB90时，设AQPQx，PQAC，BPQBCA，x，AQ；如解图，当AQPQ，PQB90时，设AQPQy，BQPBCA，y.综上所述，满足条件的AQ的值为或.第14题解图15. 或【解析】如解图，由题意得AB2，BCx，DE2x.又AGGFFDDE，3(2x)x，x；如解图，由题意得AB2，BCx，DEDF2x，AFx(2x)2x2，2x2，x.综上所述，x的值为或.第15题解图16. 或9或3【解析】如解图，当ABC60时，则BCAB3，当点P在线段A
20、B上时，PCB30，CPAB，则PBBCsin 303，APABBP；当点P(P)在AB的延长线上时，PCB30，ABC60，P30，PBBC3，APABPB9；如解图，当ABC30时，PCB30，ACB90，ACP60，BAC60，PAC为等边三角形PCACAP，ACB90，ABC30，ACAB3.AP3.综上所述，AP的长为或9或3.第16题解图17. 或10【解析】当点P在线段AD上时，如解图，连接BM，过点M作MHAD于点H，延长HM交BC于点F.MAMD，MHAD，AHHDAD4，四边形ABCD是矩形，BAHABFAHF90，四边形ABFH是矩形，BFAH4，FHAB5，BFM90，
21、点A关于BP的对称点为M，BMBA5，FM3，HMHFFM532，ABPAPB90，MAHAPB90，ABPMAH，BAPAHM90，ABPHAM，AP；当点P在线段AD的延长线上时，如解图，连接BM，过点M作MHAD于点H，交BC于点F.同理可得BM5，BF4，FM3，MH358，ABPHAM，AP10，综上所述，AP的长为或10.第17题解图18. 66或63或3或【解析】分两种情况：情况(1)：如解图，ABC的三个顶点是正方形ABEC的顶点，BD平分ABC交AC于点D，则AD的长为点D到直线AB的距离，过点D作DGBC于点G.四边形ABEC为正方形，A90，ABAC，ABCACB45，B
22、D平分ABC，A90，DGBC，ADDG，sin ACBsin 45，.当ABAC6时，DC6AD，解得AD66；当BC6时，则ABACBCsin ACB6sin 453，DC3AD，解得AD63；情况(2)：如解图，ABC的三个顶点是正方形ABCE的顶点，BE平分ABC交AC于点D，过点D作DFAB于点F，则DF的长是点D到直线AB的距离，根据题意可知，DF是ABC的中位线，DFBC.当ABBC6时，则DFBC63；当AC6时，则ABBCACsin ACB6sin 453，DFBC3.综上所述，点D到直线AB的距离为66或63或3或.第18题解图19. 18或9或10【解析】如解图，连接DF
23、，BF，BD，DF，BD分别交BE，CF于点P，Q，设BE，CF交于点O，六边形ABCDEF是正六边形，CF，BE所在直线分别是该正六边形的对称轴，BCCDDE6，BCDCDEDEF120，CFBD，BEFD，DPFPDF，BQDQBD，BCFFCDDEBFEBBCD60，BQCDQCDPEFPE90，在RtBCQ中，sin BCQ，BQBCsin BCQ6sin 609，DQBQ9，BD2BQ18，同理可求PDPF9.如解图，当点M与点B重合、点N与点F重合时，MDBD18，易证MCDDENNAM，MDDNNM，MND是等边三角形，且此时边长为18；如解图，当点M与点P重合、点N与点Q重合时
24、，DNDQ9，MDDP9，DNMD，结合结论可知BDF60，即NDM60，MND是等边三角形，且此时边长为9；如解图，当点M运动到OE段、点N运动到CO段且满足DNMD时，连接OD，则ODECDE60，易证DEMDON，EDMODN，NDMODE60，MND是等边三角形，DPMDDE，即9MD6，满足此条件下的MD的整数值可以是10.综上所述，所求该等边三角形的边长为18或9或10.第19题解图20. 或1【解析】四边形ABCD为菱形，AB2，AEBC，B60，ACAB2，AE，BE1，由旋转的性质可知AEAE，EAE60，AEE为等边三角形如解图，当AE绕点A顺时针旋转60时，EACEAEEAC90，在RtEAC中，CE；如解图，当AE绕点A逆时针旋转60时，此时E为CD的中点，CECD1.综上所述，CE的长为或1.第20题解图21. 3或【解析】在RtABC中，根据勾股定理得AB10，根据翻折的性质可得DFAF，设DFAFx，则BF10x，如解图，当DFBCAB时，即，解得x，BD5，CDBCBD853；如解图，当FDBCAB时，即，解得x，BD，CDBCBD8.综上所述，线段CD的长为3或.第21题解图
