1、2024中考数学模型复习专题 与圆有关的最值(含隐圆)问题 强化训练类型一点圆最值1. 如图，M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是M上的任意一点，PAPB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最小值为()A. 3 B. 4 C. 6 D. 8第1题图2. 如图，在RtABC中，C90，AC6，BC2，半径为1的O在RtABC内平移(O可以与该三角形的边相切)，则点A到O上的点的距离的最大值为_第2题图类型二线圆最值3.如图，平面直角坐标系中，P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是P上的一动点当点D到弦OB的距离最大时，tan
2、BOD的值是()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5第3题图4. 如图，AB是O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC，BC，若O的半径为4，ACB60，则ABC面积的最大值为()第4题图A. 6 B. 12 C. 18 D. 205. 如图，等边三角形ABC的边长为4，C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为_第5题图类型三定点定长作圆6. 如图，在矩形ABCD中，已知AB3，BC4，点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为()A. 2 B. C. 3 D. 第6题图7.在每个小正方形的边长
3、为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点如图，在66的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM4，BN2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足MPN45的PMN中，边PM的长的最大值是()第7题图A. 4 B. 6 C. 2 D. 38. 如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将ABE沿BE翻折得到FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是_第8题图9. 如图，在ABC中，BAC30，ACB45，AB2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动连接CP，点A关于直线CP的对称点为A，连接AC，
4、AP.在运动过程中，点A到直线AB距离的最大值是_；点P到达点B时，线段AP扫过的面积为_第9题图类型四定弦定角(含直角对直径)10. 如图，在RtABC中，ACB90，AC2，BC3.点P为ABC内一动点，且满足PA2PC2AC2.当PB的长度最小时，ACP的面积是()第10题图A. 3 B. 3 C. D. 11. (2022泰安)如图，四边形ABCD为矩形，AB3，BC4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，ADMBAP，则BM的最小值为()A. B. C. D. 2第11题图12. 如图，在边长为6的等边ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AECF，连接BE，AF
5、交于点P，连接CP，则CP的最小值为_第12题图13.如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且ADFDCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EBEF长度的最小值为_第13题图类型五阿氏圆14. 如图，在RtABC中， ABAC4, 点E，F分别是AB, AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP, CP，则BPCP的最小值是_第14题图15. 如图，已知正方形ABCD的边长为9，B的半径为6，点P是B上的一个动点，那么PDPC的最小值为_第15题图16. 如图，正方形ABCD的边长为4，内切圆记为O，P为O上一动点，则PAPB的最小值为_第16
6、题图参考答案与解析1. C【解析】如解图，连接PO，PAPB，APB90，AOBO，AB2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交M于点P，当点P位于P位置时，OP取得最小值，过点M作MQx轴于点Q，则OQ3，MQ4，OM5，又MP2，OP3，AB2OP6.第1题解图2. 21【解析】如解图，当O与AB，BC边相切时OA最大设O与AB边的切点为M，连接OM，OA，OB，在RtABC中，C90，AC6，BC2，AB4，BAC30，ABC60，OBAABC30，在RtOBM中，OM1，BM，AMABBM3，在RtAOM中，AO2，此时点A到O上的点的最大距离为21.第2题解图3
7、. B【解析】如解图，连接AB，过点P作PEBO，并延长EP交P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，A(8，0)，B(0，6)，AO8，BO6，BOA90，AB10，则P的半径为5，PEBO，BEEO3，PE4，ED9，tan BOD3.第3题解图4. B【解析】如解图，连接OA，过点O作ODAB，垂足为点D，延长DO交O于点E，连接AE，BE，则AEBE，设点C到边AB的距离为h，则SABCABh，易得当点C与点E重合时，h取得最大值，即DE的长，此时ABC的面积也取得最大值，即ABE的面积AEBACB60，ABE为等边三角形，EABAEB60，OAD30，ODOA2，AD2，AB2AD4，
8、DEOEOD426.此时SABEABDE4612.第4题解图5. 3【解析】如解图，连接QC和PC，过点C作CHAB于点H.PQ和C相切，CQPQ，即CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，当CP最小时，PQ最小ABC是等边三角形，当CPAB时，CP最小，此时点P与点H重合，ABBCAC4，AHBH2，CH2，CP的最小值为2，C的半径CQ，PQ3.第5题解图6. A【解析】如解图，连接AM，AC，点B和点M关于AP对称，ABAM3，点M在以点A为圆心，3为半径的圆弧上，AC5，AMAB3，CMACAM532，即MC的最小值为2.第6题解图7. C【解析】如解图，取格点O，连接OM，ON，易得OM
9、ON.又MN2，OM2ON2MN2，即OMN为等腰直角三角形以O为圆心，OM长为半径作圆MPN45，点P在优弧上延长MO交O于点P，连接PN，易知P为格点，则此时PM取最大值，PM最大2.第7题解图8. 55【解析】如解图，BABFBC，点F在以点B为圆心，BA长为半径的圆上，当G，F，B三点共线时，GF最小设AEx，则EFx，DE10x，BG5，GF510，连接EG，则(10x)252x2(510)2，解得x55，AE的长为55.第8题解图9. ；(1)1【解析】由题意得点A的运动轨迹是以点C为圆心，CA长为半径的圆上，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，ACB45，点A关于直
10、线CP的对称点为A，ACA最大为90.当CAAB时，点A到直线AB的距离最大，如解图，过点B作BEAC于点E，AC交AB的延长线于点F，BAC30，ACB45，AB2，在RtABE中，BE1，AE.在RtBCE中，BECE1，CACA1.又CAAB，在RtACF中，CFAC，AFCACF，即点A到直线AB距离的最大值是；如解图，当点P到达点B时，线段AP扫过的面积为S扇形ACA2SABC2(1)1(1)1.第9题解图10. D 【解析】PA2PC2AC2，APC90，如解图，取AC的中点O，并以O为圆心，AC长为半径画圆，连接PO，由题意知，当B，P，O三点共线时，BP最短，AOPOCO，AC
11、2，BC3，COAC，BO2，BPBOPO，点P是BO的中点，在RtBCO中，CPBOPO，OPOC，PCO是等边三角形，ACP60，在RtAPC中，APCPtan 603，SAPCAPCP.第10题解图11. D【解析】如解图，取AD的中点为O，以AD为直径作O，连接OB，OM，四边形ABCD为矩形，BAD90，ADBC4，BAPDAM90，ADMBAP，ADMDAM90，AMD90，AOOD2，OMAD2，点M的运动轨迹在以O为圆心，2为半径的圆弧上，OB，BMOBOM2，BM的最小值为2.第11题解图12. 2【解析】ABC是等边三角形，ABACBC，CABACB60，在ABE和CAF中
12、，ABECAF(SAS)，ABECAF，BPFPABABEPABCAF60，APB120，如解图，过点A，P，B作O，连接CO，PO，AO，BO，OC交于点P，点P在劣弧上运动，AOOPOB，OAPOPA，OPBOBP，OABOBA，AOB360OAPOPAOPBOBP120，OAB30，CAO90.ACBC，OAOB，CO垂直平分AB，ACO30，cos ACO，CO2AO，AC6，CO4，AO2，在CPO中，CPCOOP，当点P与点P重合，即C，P，O三点共线时，CP有最小值，CP的最小值为COOPCOAO422.第12题解图13. 33【解析】四边形ABCD是正方形，ADC90，ADFF
13、DC90，ADFFCD，FDCFCD90，DFC90，点F在以DC为直径的半圆上运动，如解图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形ABCD，则点B的对应点是B，连接BO交AD于点E，交半圆O于点F，BEEFBEEFBF，则线段BF的长即为BEEF长度的最小值，OF3，C90，BCCDCD6，OC9，BO3，BF33，EBEF长度的最小值为33.第13题解图14. 【解析】如解图，在AB上取一点T，使得AT1，连接PT，PA，CT.PA2，AT1，AB4，PA2ATAB，PATPAB，PATBAP，PTPB，PBCPPTCPTC，在RtACT中，CAT90，AT1，AC4，
14、CT，PBPC，PBPC的最小值为.第14题解图15. 【解析】如解图，连接BP，在BC上取一点G，使得BG4，连接PG，DG，PBGCBP，PBGCBP，PGPC，PDPCPDPG，PDPGDG，当D，G，P三点共线时，PDPC的值最小，最小值为DG.第15题解图16. 2【解析】如解图，连接OP，OB，设O的半径为r，则OPrBC2，OBr2，取OB的中点I，连接PI，OIIB，O是公共角，BOPPOI，PIPB，APPBAPPI，当A，P，I在一条直线上时，APPB最小，最小值为AI的长，过点I作IEAB于点E，ABO45，IEBEBI1，AEABBE3，AI，APPB最小值为，PAPB(PAPB)，PAPB的最小值是AI2.第16题解图
