1、正弦定理、余弦定理的应用举例一、单项选择题1如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为()A502 mB503 mC252 m D2522 m2如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度大约为(21.4，31.7)()A7 350 m B2 650 mC3 650 m D4 650 m3火箭造桥技术是我国首创在陡峭山区建桥的一种方法由两枚火箭牵引两条
2、足够长的绳索精准的射入对岸的指定位置，是建造高空悬索桥的关键位于湖北省的四渡河大桥就是首次用这种技术建造的悬索桥工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度(引导索比较重，过长会影响火箭发射)，如图，已知工程师们在建桥处C看对岸目标点D的正下方地面上一高为h的标志物AB的高为h，从点C处看点A和点B的俯角分别为，.则一枚火箭应至少携带引导索CD的长度为()Asincossin BcoscossinCcoscossin Dcossincos4古代数学家刘徽编撰的重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础现根据刘徽的重差测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点
3、(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60和20，且BC100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 100.985)()A49.25 m B50.76 mC56.74 m D58.60 m二、多项选择题5如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的点C与点D(点B，C，D不在同一直线上)，测得CDs.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有ACB，ACD，BCD，ADB，ADC，BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是()As，ACB，BCD，BDCBs，ACB，
4、BCD，ACDCs，ACB，ACD，ADCDs，ACB，BCD，ADC6如图，甲船从A1出发以25 n mile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75方向的B1处，此时两船相距52 n mile.当甲船航行12 min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2处，此时两船相距5 n mile，下面说法正确的是()A乙船的行驶速度与甲船相同B乙船的行驶速度是152 n mile/hC甲、乙两船相遇时，甲行驶了1+23 hD甲、乙两船不可能相遇三、填空题7某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得PAC15，沿土坡向
5、坡顶前进25 m后到达D处，测得PDC45.已知旗杆CP10 m，PBAB，土坡对于地平面的坡度为，则cos _8山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75，30，随后无人机沿水平方向飞行600 m到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45和60(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为_ m.9中国古代数学名著海岛算经记录了一个计算山高的问题(如图1)：
6、今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何？假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH_步(古制单位：180丈300步)10如图，某湖有一半径为1 km的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正
7、东方向相距2 km的点A处安装一套监测设备为了使监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且BAC90，ABAC.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设AOB，则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为_km2.四、解答题11如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北45的方向上，仰角为30，行驶4 km后到达B处，测得此山顶在西偏北60的方向上(1)求此山的高度；(2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为，求tan .12如图，五边形ABCDE是规划修建的公路自行车比赛赛道平面示意图，运动员在公路自行
8、车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行，还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度)，ED，DC，CB，BA，AE为赛道，BCDBAE23，CBD4，CD26 km，DE8 km.(1)从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；CDE712；cos DBE35.(2)在(1)条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BAAE最大)，最长为多少？参考答案1A由正弦定理得ABsinACBACsinB，B30，ABAC
9、sinACBsinB502212502(m)2B如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CDAB于点D，则BAC15，CBD45，所以ACB30，在ABC中，AB5042021 000，由正弦定理得ABsinACBBCsinBAC，则BC21 00012sin 1510 50062，因为CDAB，所以CDBC sin 4510 500(62)2210 500317 350，所以山顶的海拔高度大约为10 0007 350 2 650(m )故选B.3C在RtBCD中，BCCDcosBCDCDcos，在ABC中，可知ABh，ACB，A2，由正弦定理可得：ABsin
10、ACBBCsinA，即sinCDcossin2CDcoscos，所以CDcoscossin.故选C.4B如图，设球的半径为R，则AB3R，ACRtan10.BCRtan103R100，R1001tan103100sin10cos103sin10100sin102sin301050sin10sin2050sin102sin10cos1025cos10250.985，2R500.98550.76，故选B.5ACD解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 对于A, 在CBD中，已知s，BCD，BDC，可以解这个三角形得到BC，再利用ACB，BC解RtABC得到AB的值；对于B，在CBD中，
11、已知s，BCD，无法解出此三角形，在CAD中，已知s，ACD，无法解出此三角形，也无法通过其他三角形求出它的其他几何元素，所以它不能计算出塔AB的高度；对于C，在ACD中，已知s，ACD，ADC，可以解ACD得到AC，再利用ACB，AC解RtABC得到AB的值；对于D，如图，过点B作BECD，连接AE.由于cos ACBCBAC，cosBCDCEBC，cos ACECEAC，所以cos ACEcosACBcosBCD，所以可以求出ACD的大小，在ACD中，已知ACD，ADC，s可以求出AC，再利用ACB，AC解RtABC得到AB的值故选ACD.6AD如图，连接A1B2，依题意，A1A22512
12、605(n mile)，而B2A25 n mile，A1A2B260，则A1A2B2是正三角形，A2A1B260，A1B25 n mile，在A1B1B2中，B1A1B245，A1B152 n mile，由余弦定理得：B1B2A1B12+A1B222A1B1A1B2cos45522+522525225(n mile)，且有A1B1B245，所以乙船的行驶速度是5126025(n mile/h)，A正确，B不正确；延长B1B2与A1A2延长线交于O，显然有A1B2B190，即A1B2OB1，OA110(n mile)，OB253(n mile)，OB15(31)(n mile)，所以甲船从出发到
13、点O用时t1102525(h)，乙船从出发到点O用时t253+1253+15(h)，t1t2，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确故选AD.75354在PAD中，APD451530，由正弦定理得PDADsinAPDsin 15252cos15506+2，在PDC中，PC10，故sin PCDsin45PCPD5354，因为cos sin PCD，所以cos 5354.810015由题意，DCB30，CDB60，所以CBD90，所以在RtCBD中，BD12CD300，BC32CD3003，又DCA75，CDA45，所以CAD60，在ACD中，由正弦定理得，ACsin45C
14、Dsin60，所以AC60032222006，在ABC中，ACBACDBCD753045，由余弦定理得，AB2AC2BC22ACBCcos ACB(2006)2(3003)222006300322150 000，所以AB10015.93 280由题可知BCDE4830018080步，BF100步，DG120步，BD800步在RtAHF中，AHHFBCBF45，在RtAHG中，AHHGDEDG23.所以HF54AH，HG32AH，则HGHF80010012082014AH.所以AH3 280步105+52在OAB中，AOB，OB1，OA2，AB2OB2OA22OBOAcos ，AB54cos，S
15、四边形OACBSOABSABC12OAOBsin 12AB2，S四边形OACBsin 2cos 52，则S四边形OACB5sin ()52(其中tan 2)，当sin ()1时，S四边形OACB取最大值5+52，所以“直接监测覆盖区域”面积的最大值为5+52 km211解：(1)设此山高h km，则ACtan30，在ABC中，ABC120，BCA604515，AB4.根据正弦定理得ACsinABCABsinBCA，即sin120tan304sin15，解得h2(6+2) km.(2)由题意可知，当点C到公路的距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，所以过C作CEAB，垂足为E，连接DE.则DEC
16、，CEACsin 45，DCACtan 30，所以tan DCCE63.12解：(1)在BCD中，由正弦定理知BDsinBCDCDsinCBD，BDsin2326sin4，解得BD6.选：BCD23，CBD4，BDC(BCDCBD)23+412，BDECDEBDC712122，在RtBDE中，BEBD2+DE262+8210.选：在BDE中，由余弦定理的推论知cos DBEBD2+BE2DE22BDBE，3562+BE28226BE，化简得5BE236BE1400，解得BE10或145(舍去)，故服务通道BE的长度为10 km.(2)在ABE中，由余弦定理知，BE2BA2AE22BAAEcos BAE，100BA2AE2BAAE，(BAAE)2BAAE100，即(BAAE)2100BAAEBA+AE24，当且仅当BAAE时，等号成立，此时34(BAAE)2100，BAAE的最大值为2033
