1、第六节向量法求空间角与距离1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.目 录CONTENTS123知识 体系构建课时 跟踪检测考点 分类突破目录目录PART1知识 体系构建必备知识 系统梳理 基础重落实课前自修目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）1.已知直线 l 1的方向向量 s 1（1，0，1），直线 l 2的方向向量 s 2（1，2，2），则
2、 l 1和 l 2夹角的余弦值为（）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）2.在空间直角坐标系中，已知 A（1，1，0），B（4，3，0），C（5，4，1），则 A 到 BC 的距离为（）A.3目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）最小角定理如图，若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为 OA 在平面内的射影，OC 为平面内的一条直线，其中为 OA 与 OC 所成的角，1为 OA 与 OB 所成的角，即线面角，2为 OB 与 OC 所成的角
3、，那么 cos cos 1 cos 2.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）已知 AO 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为 OA 在平面内的射影，直线 OC 在平面内，且 AOB BOC 45，则 AOC 的大小为 .60目录目录PART2考点 分类突破精选考点 典例研析 技法重悟通课堂演练目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）直线与平面所成的角【例1】（2024全国甲卷18题）如图，在三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1中，A 1 C 平面 ABC，ACB 90，AA 12，A 1到平面 BCC 1 B 1的距离为1.目录目录高中总高中总复习复习数
4、学（提升版）数学（提升版）（1）证明：A 1 C AC；解：证明：如图，过 A 1作 A 1 D CC 1，垂足为 D，A 1 C 平面 ABC，BC 平面 ABC，A 1 C BC，又 ACB 90，AC BC，A 1 C，AC 平面 ACC 1 A 1，且 A 1 C AC C，BC 平面 ACC 1 A 1，A 1 D 平面 ACC 1 A 1，BC A 1 D，又 CC 1，BC 平面 BCC 1 B 1，且 CC 1 BC C，A 1 D 平面 BCC 1 B 1，A 1 D 1.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）由已知条件易证 CA 1 C 1是直角三角形，又
5、 CC 1 AA 12，A 1 D 1，D 为 CC 1的中点，又 A 1 D CC 1，A 1 C A 1 C 1，又在三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1中，AC A 1 C1，A 1 C AC.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（2）已知 AA 1与 BB 1的距离为2，求 AB 1与平面 BCC 1 B 1所成角的正弦值.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）解题技法向量法求直线与平面所成角的2种方法（1）分别求出斜线和它在平面内的射
6、影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（或钝角的补角），取其余角就是斜线和平面所成的角.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（1）证明：BD PA；解：证明：如图所示，取 AB 中点为 O，连接 DO，CO，则 OB DC 1.又 DC OB，所以四边形 DCBO 为平行四边形.又 BC OB 1，所以四边形 DCBO 为菱形，所以 BD CO.同理可得，四边形 DCOA 为菱形，所以 AD CO，目录目录高中总高中总复习
7、复习数学（提升版）数学（提升版）所以 BD AD.因为 PD 底面 ABCD，BD 底面 ABCD，所以 PD BD，又 AD PD D，AD，PD 平面 ADP，所以 BD 平面 ADP.因为 PA 平面 ADP，所以 BD PA.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（2）求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）平面与平面的夹角（二面角）【例2】（2024新高考卷20题）如图，三棱锥 A-BCD 中，DA DB DC，BD CD，ADB ADC 60，E 为
8、 BC 的中点.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（1）证明：BC DA；解：证明：如图，连接 DE，AE.因为 DC DB，E 为 BC 的中点，所以 BC DE.因为 ADB ADC 60，DA DC DB，所以 ABD ACD，所以 AB AC.又 E 为 BC 的中点，所以 BC AE.又 AE 平面 ADE，DE 平面 ADE，AE DE E，所以 BC 平面 ADE.又 DA 平面 ADE，所以 BC DA.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）
9、数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）解题技法向量法求平面与平面夹角（二面角）的方法（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（2024新高考卷18题）如图，在正四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1中，AB
10、 2，AA 14.点 A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱 AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 21，BB 2 DD 22，CC 23.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（1）证明：B 2 C 2 A 2 D 2；目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（2）点 P 在棱 BB 1上，当二面角 P-A 2 C 2-D 2为150时，求 B 2 P.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数
11、学（提升版）数学（提升版）距离问题【例3】如图，正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1中，各棱长均为4，N 是 CC 1的中点.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（1）求点 N 到直线 AB 的距离；目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（2）求点 C 1到平面 ABN 的距离.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）解题技法利用向量法求点到平面的距离的步骤目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）1.四面体 OABC 满足 AOB BOC COA 90，OA 1，O
12、B 2，OC 3，点 D 在棱 OC 上，且 OC 3 OD，点 G 为 ABC 的重心，则点 G 到直线 AD 的距离为（）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）2.（2024黄冈模拟）已知正方形 ABCD 的边长为4，CG 平面 ABCD，CG 2，E 是 AB 的中点，F 是 AD 上靠近 A 的四等分点，则点 B 到平面 GEF 的距离为 .目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录PART3课时 跟踪检测关键能力 分层施练 素养重提升
13、课后练习目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010111112121313141415151616171718181919202021212222232324242525262627272828目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）2.已知三棱锥 S-ABC 中，底面 ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面 ABC，SA 3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为（）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目
14、录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）3.正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为2，E，F，G 分别是 CC 1，D 1 A 1，AB 的中点，则点 A 到平面 EGF 的距离为 .目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）4.如图，四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1的所有棱长都相等，AC BD O，A 1 C 1 B 1 D 1 O 1，四边形 ACC 1 A 1和四边形 BDD 1 B 1均为矩形.（1）证明：O 1 O 底面 ABCD；目录目录高中总高中总复习复习数学（提
15、升版）数学（提升版）解：证明：由题意得，CC 1 AC，DD 1 BD，又 CC 1 DD 1 OO 1，所以 OO 1 AC，OO 1 BD，因为 AC BD O，AC，BD 平面 ABCD，所以 O 1 O 底面 ABCD.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（2）若 CBA 60，求平面 C 1 OB 1与平面 OB 1 D 夹角的余弦值.解：因为四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 为菱形，AC BD，又 O 1 O 底面 ABCD，所以 OB，OC，OO 1两两垂直.如图，以 O 为坐标原点，OB，OC，OO 1所
16、在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（2）求 AD 到平面 PBC 的距离.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（1）证明：平面 ABC 平面 ABB 1 A 1；目录
17、目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（2）设点 P 是棱 BB 1的中点，求直线 BC 与平面 A 1 PC 所成角的正弦值.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）7.如图，六面体 ABCDEFG 中，BE 平面 ABC，且 BE 平面 DEFG，DG EF，ED DG GF 1，AB BC CA EF 2.（1）求证：DF 平面 ABED；目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版
18、）解：证明：因为 BE 平面 ABC，且 BE平面 DEFG，所以 DE BE，且 AB BE，又 AB，DE 平面 ABED，所以 DE AB，同理，EF BC，所以 DEF ABC 60，又 EF 2 DE，所以 DF DE，由 BE 平面 DEFG，知 DF BE，又因为 ED BE E，所以 DF 平面 ABED.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）解：取 AB 中点 O，由题可知，DE OB 且 DE OB，所以四边形 OBED 为平行四边形，所以 OD BE，于是 OD 平面 ABC，又 ABC 为正三角形，所以 OC，OA，OD 两两垂直.以 O 为坐标原点，
19、OC，OA，OD 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz，目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）所以 BHA ABC，所以 HBA CAB，又 C CAB 90，CBF HBA 90，所以 C CBF，所以 CF BF，同理可得 BF FA，所以 F 是 AC 的中点
20、.因为 E，F 分别是 AP，AC 的中点，所以 EF PC，同理可得 OD PC，所以 EF OD，又 OD 平面 ADO，EF 平面 ADO，所以 EF 平面 ADO.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（2）证明：平面 ADO 平面 BEF；目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）因为 AO BF，BF EF F，BF 平面 BEF，EF 平面 BEF，所以 AO 平面 BEF.因为 AO 平面 ADO，所以平面 ADO 平面 BEF.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（3）求二面角 D-AO-C 的正弦值.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）感 谢 观 看!
