1、第八章 平面解析几何第7节直线与椭圆、双曲线KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破 题型剖析1将将代入代入，整理得，整理得9x28mx2m240.方程方程根的判别式根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.解解将直线将直线l的方程与椭圆的方程与椭圆C的方程联立，的方程联立，(2)有且只有一个公共点；有且只有一个公共点；将将代入代入，整理得，整理得9x28mx2m240.方程方程根的判别式根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.解解将直线将直线l的方程与椭圆的方程与椭圆C的方程联立，的方程联立，这时直线这时直线l与椭圆与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线有两个互
2、相重合的公共点，即直线l与椭圆与椭圆C有且只有一个有且只有一个公共点公共点.这时直线这时直线l与椭圆与椭圆C没有公共点没有公共点.(3)没有公共点没有公共点.将将代入代入，整理得，整理得9x28mx2m240.方程方程根的判别式根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.解解将直线将直线l的方程与椭圆的方程与椭圆C的方程联立，的方程联立，解析解析法一法一由于直线由于直线ykx1恒过点恒过点(0，1)，所以点所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，必在椭圆内或椭圆上，D故故m1且且m5.消去消去y整理得整理得(5k2m)x210kx5(1m)0.由题意知由题意知100k220(1m)(5k2m
3、)0对一切对一切kR恒成立，恒成立，即即5mk2m2m0对一切对一切kR恒成立，恒成立，由于由于m0且且m5，m15k2恒成立，恒成立，m1且且m5.1解析解析法一法一易知此弦所在直线的斜率存在，易知此弦所在直线的斜率存在，设其方程为设其方程为y1k(x1)，弦所在的直线与椭圆相交于，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).角度1中点弦问题x2y30消去消去y得，得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，即即x2y30.x1x22，y1y22，法二法二易知此弦所在直线的斜率存在，易知此弦所在直线的斜率存在，设斜率为设斜率为k，弦所在的直线与椭圆
4、相，弦所在的直线与椭圆相交于交于A，B两点，两点，角度2弦长问题解解当两条弦中一条弦所在直线的斜率为当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知存在，由题意知|AB|CD|7，不满足条件，不满足条件.当两弦所在直线的斜率均存在且不为当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线时，设直线AB的方程为的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得解得k1，所以直线所以直线AB的方程为的方程为xy10或或xy10.解析解析设设A(2，1)是弦是弦P1P2的中点，的中点，且且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则则x1x2
5、4，y1y22，训练训练2(1)以以A(2，1)为中点的双曲线为中点的双曲线C：2x2y22的弦所在直线的方程为的弦所在直线的方程为_.4xy702(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，24(x1x2)2(y1y2)，以以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y14(x2)，整理得，整理得4xy70.(56)2414510.以以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4xy70.设点设点M，N的坐标分别为的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，解解由由ABP是等腰直角三角形是等腰直角三角形，得得
6、a2，B(2，0).代入椭圆方程得代入椭圆方程得b21，消去消去y并整理得并整理得(14k2)x216kx120.(*)因直线因直线l与与E有两个交点，即方程有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，有不等的两实根，故故(16k)248(14k2)0，(2)设过点设过点P的动直线的动直线l与与E相交于相交于M，N两点，当坐标原点两点，当坐标原点O位于以位于以MN为直径的为直径的圆外时，求直线圆外时，求直线l斜率的取值范围斜率的取值范围.解解依题意得，直线依题意得，直线l的斜率存在，方程设为的斜率存在，方程设为ykx2.因坐标原点因坐标原点O位于以位于以MN为直径的圆外，为直径的圆外，设设M(x1
7、，y1)，N(x2，y2)，又由又由x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4则满足条件的斜率则满足条件的斜率k的取值范围为的取值范围为解解假设存在定点假设存在定点Q.设定点设定点Q(t，0)，当直线斜率不为当直线斜率不为0时，设直线时，设直线l的方程为的方程为xmy1，m240，且，且4m212(m24)0，解得，解得m23且且m24.设设M(x1，y1)，N(x2，y2)，FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG分层训练 巩固提升3解析解析直线直线ykxk1k(x1)1恒过定点恒过定点(1，1)，又又点点(1，1)在椭圆内部在椭圆内
8、部，故故直线与椭圆相交直线与椭圆相交.A因为过因为过F2且垂直于且垂直于x轴的直线与椭圆交于轴的直线与椭圆交于A，B两点，且两点，且|AB|3，2.已知已知F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆是椭圆C的两个焦点，过的两个焦点，过F2且垂直于且垂直于x轴的直线与椭轴的直线与椭圆圆C交于交于A，B两点，且两点，且|AB|3，则，则C的方程为的方程为()C解析解析法一法一设设|PF1|m，|PF2|n，P为双曲线右支上一点，为双曲线右支上一点，AADAC曲线曲线yex21经过经过C的焦点的焦点(2，0)，故，故C正确；正确；联立直线和双曲线联立直线和双曲线C的方程，得的方程，得0，故有一个公共点，所
9、以，故有一个公共点，所以D错误错误.解析解析由双曲线的性质知由双曲线的性质知c2a2b2459，则，则c3，双曲线右焦点的坐，双曲线右焦点的坐标为标为(3，0)，解析解析由题意知由题意知c4，不妨取，不妨取A(a，b)，所以所以(a4)2b216，又，又a2b216，a2，b212，解析解析根据椭圆的对称性及根据椭圆的对称性及|PQ|F1F2|可以得到四边形可以得到四边形PF1QF2为对角线相为对角线相等的平行四边形，所以四边形等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形为矩形.设设|PF1|m，则，则|PF2|2a|PF1|8m，则则|PF1|2|PF2|2m2(8m)22m26416m|F
10、1F2|24c24(a2b2)48，得得m(8m)8，所以四边形所以四边形PF1QF2的面积为的面积为|PF1|PF2|m(8m)8.8解解因为直线因为直线l过椭圆右焦点过椭圆右焦点F(1，0)，且斜率为，且斜率为1，所以直线所以直线l的方程为的方程为yx1.设设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(2)当直线当直线l的斜率为的斜率为1时，求时，求POQ的面积；的面积；(3)若以若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程的方程.解解当直线当直线l与与x轴垂直时，直线轴垂直时，直线l的方程为的方程为x1，此时，此时POQ小于小于
11、90，以，以OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形为邻边的平行四边形不可能是矩形.当直线当直线l不与不与x轴垂直时，设直线轴垂直时，设直线l的方程为的方程为yk(x1).y1k(x11)，y2k(x21)，当当m0时，直线时，直线PQ的方程是的方程是x2，也符合，也符合xmy2的形式的形式.(2)设设O为坐标原点，为坐标原点，T为直线为直线x3上一点，过上一点，过F作作TF的垂线交椭圆于的垂线交椭圆于P，Q.当当四边形四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积的面积.消去消去x，得，得(m23)y24my20，其判别式其判别式16m28(m23)0.即即(x
12、1，y1)(3x2，my2).此时，四边形此时，四边形OPTQ的面积的面积解析解析对于对于A，根据椭圆的对称性可知，根据椭圆的对称性可知，|OF1|OF2|，|OA|OB|，故四边，故四边形形AF1BF2为平行四边形为平行四边形.故故A正确；正确；ABC解析解析由双曲线的定义，知由双曲线的定义，知|PF1|PF2|2a.在在PF1F2中，由余弦定理，中，由余弦定理，求求e的最大值，即求的最大值，即求cosF1PF2的最小值，的最小值，所以点所以点M的轨迹的轨迹C是以是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支分别为左、右焦点的双曲线的右支.因为因为|TA|TB|TP|TQ|，又又k1k2，所以，所以k1k2，即，即k1k20.故直线故直线AB的斜率与直线的斜率与直线PQ的斜率之和为的斜率之和为0.
