1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第2节排列与组合ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实11.排列与组合的概念排列与组合的概念名称名称定义定义排列排列从从n个不同元素中个不同元素中取出取出m(mn)个元个元素素并并按照按照_排排成一列，叫做从成一列，叫做从n个元素中取出个元素中取出m个元素的一个排列个元素的一个排列组合组合作为一组，叫做从作为一组，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个组合个元素的一个组合一定的顺序一定的顺序2.排列数与组合数排列数与组合数3.排列数、组合数的公式及性质排列数、组合数的公式及性质1.解受条件限制的排列、组合题
2、，通常有直接法解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类合理分类)和间接法和间接法(排除法排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏避免重复或遗漏.1.思考辨析思考辨析(在括号内打在括号内打“”“”或或“”)解析解析(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故错误；元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故错误；(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故错误；一个组合中取出的元
3、素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故错误；C2.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安个场馆，甲场馆安排排1名，乙场馆安排名，乙场馆安排2名，丙场馆安排名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有名，则不同的安排方法共有()A.120种种 B.90种种 C.60种种 D.30种种C解析解析根据题设中的要求，每名志愿者只分配到根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分个项目，每个项目至少分配配1名志愿者，可分两步进行安排：名志愿者，可分两步进行安排：3.将将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、
4、冰球和冰壶名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进个项目进行培训，每名志愿者只分配到行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不名志愿者，则不同的分配方案共有同的分配方案共有()A.60种种 B.120B.120种种 C.240C.240种种 D.480 D.480种种4.周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好张电影票恰好在同一排且连在一起在同一排且连在一起.为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪
5、坐，则不同的坐法种数为的坐法种数为()A.8 B.12 C.16 D.20C5.(易错题易错题)把把5张不同的电影票分给张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数个人，每人至少一张，则不同的分法种数为为_.2406.某人某天运动的总时长需要大于等于某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟，现有如下表所示的五项运动可分钟，现有如下表所示的五项运动可以选择，则共有以选择，则共有_种运动组合方式种运动组合方式.23A运动运动B运动运动C运动运动D运动运动E运动运动7点点8点点8点点9点点9点点10点点10点点11点点11点点12点点30分钟分钟20分钟分钟40分钟分钟30分钟分钟30分
6、钟分钟KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破 题型剖析2例例1 有有3名男生、名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选选5人排成一排；人排成一排；(2)排成前后两排，前排排成前后两排，前排3人，后排人，后排4人；人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；全体排成一排，女生必须站在一起；再在女生之间及首尾再在女生之间及首尾5个空位中任选个空位中任选3个空位安排男生，个空位安排男生，(4)全体排成一排，男生互不相邻；全体排成一排，男生互不相邻；解解法一法一(特殊元素优先法特殊元素优先法)先排甲，先排甲，(5)全体
7、排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；法二法二(特殊位置优先法特殊位置优先法)左右两边位置可安排另左右两边位置可安排另6人中的两人，人中的两人，(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；解解由于甲、乙、丙的顺序一定，由于甲、乙、丙的顺序一定，(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.C解析解析根据题意知，要求这个五位数比根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是大，则万位数必须是2，3，4，5这这4个数字中的一个，个数字中的一个，(2)用用1，2，
8、3，4，5这五个数字，可以组成比这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有的没有重复数字的五位数共有()A.96个个 B.78 B.78个个 C.72 C.72个个 D.64个个B因此共有因此共有542478(个个)这样的五位数符合要求这样的五位数符合要求.某一种假货必须在内的不同取法有某一种假货必须在内的不同取法有561种种.例例2 某市工商局对某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货种假货.现从现从35种商品种商品中选取中选取3种种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种
9、？其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？解解从从34种可选商品中，选取种可选商品中，选取3种，种，(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？某一种假货不能在内的不同取法有某一种假货不能在内的不同取法有5 984种种.恰有恰有2种假货在内的不同的取法有种假货在内的不同的取法有2 100种种.(3)恰有恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？种假货在内，不同的取法有多少种？至少有至少有2种假货在内的不同的取法有种假货在内的不同的取法有2 555种种.(4)至少有至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？种假货在内，不同的取法有多少种？至多有至多
10、有2种假货在内的不同的取法有种假货在内的不同的取法有6 090种种.(5)至多有至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？种假货在内，不同的取法有多少种？训练训练2(1)某地环保部门召集某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其人到会，其余余5家企业各有家企业各有1人到会，会上任选人到会，会上任选3人发言，则发言的人发言，则发言的3人来自人来自3家不同企业家不同企业的可能情况的种数为的可能情况的种数为()A.15 B.30 C.35 D.42B(2)(多选多选)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、在新高考方案中，选择性考试
11、科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理历史、地理6门门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史史2门科目中选择门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择门科目中选择2门，考门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是的是()BD角度1相邻与相间问题
12、则女领导人甲必须在则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有之间，此时共有6212(种种)排法排法(A左左B右和右和A右右B左左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，共有共有12448(种种)不同排法不同排法.例例3(1)北京北京APEC峰会期间，有峰会期间，有2名女性和名女性和3名男性共名男性共5位领导人站成一排照相，位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有位相邻的站法有()A.12种种 B.24B.24种种 C.48C.48种种 D.96 D.96种
13、种C(2)某次联欢会要安排某次联欢会要安排3个歌舞类节目，个歌舞类节目，2个小品类节目和个小品类节目和1个相声类节目的演个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72 B.120 C.144 D.168解析解析安排小品节目和相声节目的顺序有三种：安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品小品1，小品，小品2，相声，相声”“”“小小品品1，相声，小品，相声，小品2”和和“相声，小品相声，小品1，小品，小品2”.”.B解解无序不均匀分组问题无序不均匀分组问题.例例4 按下列要求分配按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？本不同的书
14、，各有多少种不同的分配方法？(1)分成三份，分成三份，1份份1本，本，1份份2本，本，1份份3本；本；角度2分组、分配问题解解有序不均匀分组问题有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，由于甲、乙、丙是不同的三人，(2)甲、乙、丙三人中，一人得甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得本，一人得2本，一人得本，一人得3本；本；解解无序均匀分组问题无序均匀分组问题.(3)平均分成三份，每份平均分成三份，每份2本；本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；本；解解分成三份，分成三份，1份份4本，另外两份每份本，另外两份每份1本，本，这是部分均匀分组问题，这是部分均
15、匀分组问题，(5)分成三份，分成三份，1份份4本，另外两份每份本，另外两份每份1本；本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得本，另外两人每人得1本本.训练训练3(1)把把5件不同的产品摆成一排，若产品件不同的产品摆成一排，若产品A与产品与产品B相邻，且产品相邻，且产品A与产品与产品C不相邻，则不同的摆法有不相邻，则不同的摆法有_种种.36解析解析把把6本不同的书分成本不同的书分成4组，每组至少组，每组至少1本的分法有本的分法有2类类.(2)将将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少个人，每人至少1本的不同分法共有本的不同
16、分法共有_种种.(用数字作答用数字作答)1 560所以不同的分组方法共有所以不同的分组方法共有204565(种种).FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG分层训练 巩固提升31.用数字用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A.8 B.24 C.48 D.120CA.2，8 B.2，6 C.7，12 D.8x219x840，解得，解得7x12.又又x8，x20，7x8，xN*，即，即x8.D3.3名大学生利用假期到名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个个村，每
17、个村至少村至少1人，则不同的分配方案共有人，则不同的分配方案共有()A.4种种 B.5种种 C.6种种 D.8种种C4.某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、化学、外语这五门课某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、化学、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比化学先上，则不同的排法有安排在星期三上午，数学必须比化学先上，则不同的排法有()A.60种种 B.30B.30种种 C.120种种 D.24 D.24种种A5.互不相同的互不相同的5盆菊花，其中盆菊花，其中2盆为白色，盆为白色，2盆为黄色，盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间
18、，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法有摆放方法()D解析解析A是组合数公式；是组合数公式；B是组合数性质；是组合数性质；6.(多选多选)下列等式正确的有下列等式正确的有()ABC7.6把椅子摆成一排，把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144 B.120 C.72 D.24D8.(多选多选)若若3男男3女排成一排，则下列说法错误的是女排成一排，则下列说法错误的是()A.共计有共计有720种不同的排法种不同的排法B.男生甲排在两端的共有男生甲排在两端的共
19、有120种排法种排法C.男生甲、乙相邻的排法总数为男生甲、乙相邻的排法总数为120种种D.男女生相间排法总数为男女生相间排法总数为72种种BC9.若把英语单词若把英语单词“good”的字母顺序写错，则可能出现的错误方法共有的字母顺序写错，则可能出现的错误方法共有_种种(用数字作答用数字作答).11解析解析根据题意，分根据题意，分2种情况讨论：种情况讨论：10.某省高考实行某省高考实行33模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行
20、选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有_种种.200则两人至少有两科相同的选法有则两人至少有两科相同的选法有20180200(种种).11.某校开设某校开设A类选修课类选修课3门，门，B类选修课类选修课4门，一位同学从中共选门，一位同学从中共选3门门.若要求两若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为_.3012.某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器、瓷器、某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器、瓷器、书画三个场馆书画三个场馆.若该学校将参观时间分为三
21、个时间段，每个时间段内三个年级若该学校将参观时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有馆不重复，则不同的安排方法有_种种(用数字作答用数字作答).12综上，每级台阶最多站综上，每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法种数是法种数是12090210.故选故选C.13.甲、乙、丙甲、乙、丙3人站到共有人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一
22、级台阶人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是()A.90 B.120 C.210 D.216C14.(多选多选)现有现有4个小球和个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是个小盒子，下面的结论正确的是()A.若若4个不同的小球放入编号为个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有的盒子，则共有24种放法种放法B.若若4个相同的小球放入编号为个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共的盒子，且恰有两个空盒的放法共有有18种种C.若若4个不同的小球放入编号为个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的
23、放法的盒子，且恰有一个空盒的放法共有共有144种种D.若编号为若编号为1，2，3，4的小球放入编号为的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种种BCD解析解析若若4个不同的小球放入编号为个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有的盒子中，共有44256(种种)放放法，故法，故A错误；错误；若编号为若编号为1，2，3，4的小球放入编号为的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若小球的编号和盒子的编号全不相同，
24、若(2，1，4，3)代表编号为代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：，列出所有符合要求的情况：(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)共共9种放法，故种放法，故D正确正确.故故选选BCD.15.中国古代中的中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数礼、乐、射、御、书、数”合称合称“六艺六艺”.“”.“礼礼”，主要指，主要指德育；德育；“乐乐”，主要指美育；，主要指美育；“射射”和和“御御
25、”，就是体育和劳动；，就是体育和劳动；“书书”，指各种历史文化知识；指各种历史文化知识；“数数”，数学，数学.某校国学社团开展某校国学社团开展“六艺六艺”课程讲座活课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数数”必须必须排在前三节，且排在前三节，且“射射”和和“御御”两门课程相邻排课，则两门课程相邻排课，则“六艺六艺”课程讲座不课程讲座不同排课顺序共有同排课顺序共有_种种.120所以满足条件的共有所以满足条件的共有48361224120(种种)排法排法.16.某宾馆安排某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住五人入住3个房间，每个房间至少住个房间，每个房间至少住1人，且人，且A，B不能住同一房间，则共有不能住同一房间，则共有_种不同的安排方法种不同的安排方法.(用数字作答用数字作答)114
