1、2020 年中考数学选择填空压轴题汇编：最值问题年中考数学选择填空压轴题汇编：最值问题 1.（2020广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待 与老鼠距离最小时扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，ABC 90，点 M，N 分别在射线 BA，BC 上，MN 长度始终保持不变，MN4，E 为 MN 的中点，点 D 到 BA，BC 的距离分别为 4 和 2在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 DE 的最小值为 25 2 【解答】解：如图，连接 BE，BD 由题意 BD= 22+ 42=25， MBN90，MN4，EMNE， BE=
2、1 2MN2， 点 E 的运动轨迹是以 B 为圆心，2 为半径的弧， 当点 E 落在线段 BD 上时，DE 的值最小， DE 的最小值为 25 2 故答案为 25 2 2.（2020玉林）把二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象作关于 x 轴的对称变换，所得图象的解析式为 y a（x1）2+4a，若（m1）a+b+c0，则 m 的最大值是（ ） A4 B0 C2 D6 【解答】解：把二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象作关于 x 轴的对称变换，所得图象的解析式为 y a（x1）2+4a， 原二次函数的顶点为（1，4a） ， 原二次函数为 ya（x1）24aax22ax3a， b2a，
3、c3a， （m1）a+b+c0， （m1）a2a3a0， a0， m1230，即 m6， m 的最大值为 6， 故选：D 3.（2020河南）如图，在扇形 BOC 中，BOC60，OD 平分BOC 交 于点 D，点 E 为半径 OB 上一 动点若 OB2，则阴影部分周长的最小值为 62+ 3 【解答】解：如图，作点 D 关于 OB 的对称点 D，连接 DC 交 OB 于点 E，连接 ED、OD， 此时 EC+EC 最小，即：EC+ECCD， 由题意得，CODDOBBOD30， COD90， CD= 2+ 2= 22+ 22=22， 的长 l= 302 180 = 3， 阴影部分周长的最小值为
4、22 + 3 = 62+ 3 故答案为：62+ 3 4.（2020鄂州）如图，已知直线 y= 3x+4 与 x、y 轴交于 A、B 两点，O 的半径为 1，P 为 AB 上一动 点，PQ 切O 于 Q 点当线段 PQ 长取最小值时，直线 PQ 交 y 轴于 M 点，a 为过点 M 的一条直线， 则点 P 到直线 a 的距离的最大值为 23 【解答】解：如图， 在直线 y= 3x+4 上，x0 时，y4， 当 y0 时，x= 43 3 ， OB4，OA= 43 3 ， tanOBA= = 3 3 ， OBA30， 由 PQ 切O 于 Q 点可知：OQPQ， PQ= 2 2， 由于 OQ1， 因此
5、当 OP 最小时 PQ 长取最小值，此时 OPAB， OP= 1 2OB2， 此时 PQ= 22 12= 3， BP= 42 22=23， OQ= 1 2OP，即OPQ30， 若使点 P 到直线 a 的距离最大， 则最大值为 PM，且 M 位于 x 轴下方， 过点 P 作 PEy 轴于点 E， EP= 1 2BP= 3， BE=(23)2 (3)2=3， OE431， OE= 1 2OP， OPE30， EPM30+3060， 即EMP30， PM2EP23 故答案为：23 5.（2020荆门）在平面直角坐标系中，长为 2 的线段 CD（点 D 在点 C 右侧）在 x 轴上移动，A（0，2）
6、， B（0，4） ，连接 AC，BD，则 AC+BD 的最小值为（ ） A25 B210 C62 D35 【解答】解：设 C（m，0） ， CD2， D（m+2，0） ， A（0，2） ，B（0，4） ， AC+BD= 2+ 22+ ( + 2)2+ 42， 要求 AC+BD 的最小值，相当于在 x 轴上找一点 P（m，0） ，使得点 P 到 M（0，2）和 N（2，4）的 距离和最小， （PM+PN= 2+ 22+ ( + 2)2+ 42） ， 如图 1 中，作点 M 关于原点 O 的对称点 Q，连接 NQ 交 x 轴于 P，连接 MP，此时 PM+PN 的 值最小， N（2，4） ，Q（0
7、，2） PM+PN 的最小值PN+PMPN+PQNQ= 22+ 62=210， AC+BD 的最小值为 210 故选：B 6.（2020连云港）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的O 与 x 轴的正半轴交于点 A，点 B 是O 上一动点，点 C 为弦 AB 的中点，直线 y= 3 4x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、E，则CDE 面积的最小 值为 2 【解答】解：如图，连接 OB，取 OA 的中点 M，连接 CM，过点 M 作 MNDE 于 N ACCB，AMOM， MC= 1 2OB1， 点 C 的运动轨迹是以 M 为圆心，1 为半径的M，设M 交 MN 于 C 直线 y
8、= 3 4x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、E， D（4，0） ，E（0，3） ， OD4，OE3， DE= 32+ 42=5， MDNODE，MNDDOE， DNMDOE， = ， 3 = 3 5， MN= 9 5， 当点 C 与 C重合时，CDE 的面积最小，最小值= 1 2 5（9 5 1）2， 故答案为 2 7.（2020徐州）在ABC 中，若 AB6，ACB45则ABC 的面积的最大值为 92 +9 【解答】解：作ABC 的外接圆O，过 C 作 CMAB 于 M， 弦 AB 已确定， 要使ABC 的面积最大，只要 CM 取最大值即可， 如图所示，当 CM 过圆心 O 时，CM
9、最大， CMAB，CM 过 O， AMBM（垂径定理） ， ACBC， AOB2ACB24590， OMAM= 1 2AB= 1 2 6 =3， OA= 2+ 2=32， CMOC+OM32 +3， SABC= 1 2ABCM= 1 2 6（32 +3）92 +9 故答案为：92 +9 8.（2020扬州）如图，在ABCD 中，B60，AB10，BC8，点 E 为边 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F，使得 DF= 1 4DE，以 EC、EF 为邻边构造EFGC，连接 EG，则 EG 的最小值为 93 【解答】解：作 CHAB 于点 H， 在ABCD 中，B60，BC8， CH43
10、， 四边形 ECGF 是平行四边形， EFCG， EODGOC， = = ， DF= 1 4DE， = 4 5， = 4 5， = 4 5， 当 EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值， 当 EOCD 时，EO 取得最小值， CHEO， EO43， GO53， EG 的最小值是93， 故答案为：93 9.（2020聊城）如图，在直角坐标系中，点 A（1，1） ，B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点 C 的 纵坐标为 1，且 CACB，在 y 轴上取一点 D，连接 AC，BC，AD，BD，使得四边形 ACBD 的周长最小， 这个最小周长的值为 4+25 【解答】解：点 A（1，1） ，点
11、 C 的纵坐标为 1， ACx 轴， BAC45， CACB， ABCBAC45， C90， B（3，3） C（3，1） ， ACBC2， 作 B 关于 y 轴的对称点 E， 连接 AE 交 y 轴于 D， 则此时，四边形 ACBD 的周长最小，这个最小周长的值AC+BC+AE， 过 E 作 EFAC 交 CA 的延长线于 F， 则 EFBC2，AF624， AE= 2+ 2= 22+ 42=25， 最小周长的值AC+BC+AE4+25， 故答案为：4+25 10.（2020泰安）如图，点 A，B 的坐标分别为 A（2，0） ，B（0，2） ，点 C 为坐标平面内一点，BC1，点 M 为线段
12、AC 的中点，连接 OM，则 OM 的最大值为（ ） A2 +1 B2 + 1 2 C22 +1 D22 1 2 【解答】解：如图， 点 C 为坐标平面内一点，BC1， C 在B 的圆上，且半径为 1， 取 ODOA2，连接 CD， AMCM，ODOA， OM 是ACD 的中位线， OM= 1 2CD， 当 OM 最大时，即 CD 最大，而 D，B，C 三点共线时，当 C 在 DB 的延长线上时，OM 最大， OBOD2，BOD90， BD22， CD22 +1， OM= 1 2CD= 2 + 1 2，即 OM 的最大值为2 + 1 2； 故选：B 11.（2020乐山）如图，在平面直角坐标系
13、中，直线 yx 与双曲线 y= 交于 A、B 两点，P 是以点 C（2， 2）为圆心，半径长 1 的圆上一动点，连结 AP，Q 为 AP 的中点若线段 OQ 长度的最大值为 2，则 k 的 值为（ ） A 1 2 B 3 2 C2 D 1 4 【解答】解：点 O 是 AB 的中点，则 OQ 是ABP 的中位线， 当 B、C、P 三点共线时，PB 最大，则 OQ= 1 2BP 最大， 而 OQ 的最大值为 2，故 BP 的最大值为 4， 则 BCBPPC413， 设点 B（m，m） ，则（m2）2+（m2）232， 解得：m2= 1 2， km（m）= 1 2， 故选：A 12.（2020内江）
14、如图，在矩形 ABCD 中，BC10，ABD30，若点 M、N 分别是线段 DB、AB 上的 两个动点，则 AM+MN 的最小值为 15 【解答】解：作点 A 关于 BD 的对称点 A，连接 MA，BA，过点 AHAB 于 H BABA，ABDDBA30， ABA60， ABA是等边三角形， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC10， 在 RtABD 中，AB= 30 =103， AHAB， AHHB53， AH= 3AH15， AM+MNAM+MNAH， AM+MN15， AM+MN 的最小值为 15 故答案为 15 13.（2020新疆）如图，在ABC 中，A90，B60，AB2，若 D 是 BC 边上的动点，则 2AD+DC 的最小值为 6 【解答】解：如图所示，作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AA，AD，过 D 作 DEAC 于 E， ABC 中，BAC90，B60，AB2， BH1，AH= 3，AA23，C30， RtCDE 中，DE= 1 2CD，即 2DECD， A 与 A关于 BC 对称， ADAD， AD+DEAD+DE， 当 A，D，E 在同一直线上时，AD+DE 的最小值等于 AE 的长， 此时，RtAAE 中，AEsin60AA= 3 2 23 =3， AD+DE 的最小值为 3， 即 2AD+CD 的最小值为 6， 故答案为：6
