1、 2020-2021 年中考数学重难题型突破：数学思想方法 数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数 学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结 性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。 数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、 判断和预言的方法。同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法。 思想与方法并不是孤立独行的，二者之间互相联系，思想对应方法
2、，方法返衬思想。 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究 的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思 想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的 几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以 形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边 长、角度等。 1 1、数形结合的内容、数形结合的内容 模块一 题组一 数学思想数形结合思
3、想 （1 1）绝对值问题：）绝对值问题：画数轴，根据绝对值的性质（一点到另一点的距离）得到一个范围，从而解出绝对值。 （2 2）函数问题：）函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合 体现了数形结合的特征与方法。 （3 3）方程与不等式：）方程与不等式：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时， 从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 （4 4）几何探究：）几何探究：几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几 何问题转化纯粹的代数运算。
4、2 2、数形结合的类型、数形结合的类型 （1 1）以“数”化“形”：）以“数”化“形”：对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和 所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理） 或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何 意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题。 （2 2）以“形”变“数”：）以“形”变“数”：解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标 的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中
5、用到的图形的 用代数式（一般利用坐标转化也可以通过引入参数解决）表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相 应的公式或定理等。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互 转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点： 要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征， 对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又 分析其代数意义；是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；是正确确定 参数的取值范围。 例 1 1 已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： 22 (1)
6、2 (1)|abab 【规范答题】由数轴可得：101ab ，则10a ，10b ，0ab， 则 22 (1)2 (1)|abab12(1)()abab 122abab 21ab 例 2 在平行四边形ABCD中，30A，4 3AD ，4BD ，则平行四边形ABCD的面积等于 【规范答题】 过D作DEAB于E，在Rt ADE中，30A，4 3AD ， 1 2 3 2 DEAD， 3 6 2 AEAD，在Rt BDE中，4BD， 2222 4(2 3)2BEBDDE， 如图 1，8AB，平行四边形ABCD的面积82 316 3AB DE， 如图 2，4AB ，平行四边形ABCD的面积42 38 3A
7、B DE，故答案为：16 3或8 3 例 3 如图， 点 1 A， 2 A依次在 9 3 (0)yx x 的图象上， 点 1 B， 2 B依次在x轴的正半轴上 若 11 AOB， 2 1 2 ABB 均为等边三角形，则点 2 B的坐标为 【规范答题】作 11 ACOB，垂足为C， 11 AOB为等边三角形， 11 60AOB， 1 tan603 AC OC ， 1 3ACOC，设 1 A的坐标为( , 3 )mm，点 1 A在 9 3 (0)yx x 的图象上， 39 3mm，解得3m ，3OC， 1 6OB，作 212 A DB B，垂足为D 设 1 B Da，则6ODa， 2 3A Da，
8、 2(6 , 3 )Aaa 2(6 , 3 )Aaa在反比例函数的图象上，代入 9 3 y x ，得(6)39 3aa， 化简得 2 690aa，解得：33 2a 0a ，33 2a 12 66 2B B ， 2112 6 2OBOBB B，所以点 2 B的坐标为(6 2，0) 1 如图，在矩形OABC中，3OA ，2OC ，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合），过点F的反 比例函数(0) k yk x 的图象与BC边交于点E （1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，EFA的面积最大，最大面积是多少？ 【解答】（1）在矩形OABC中，3OA ，2OC ，(3,2)
9、B，F为AB的中点，(3,1)F， 点F在反比例函数(0) k yk x 的图象上，3k，该函数的解析式为 3 (0)yx x ； （2）由题意知E，F两点坐标分别为( 2 k E，2)，(3,) 3 k F， 1111 (3) 2232 EFA SAF BEkk 2 11 212 kk 2 1 (699) 12 kk 2 13 (3) 124 k ， 在边AB上，不与A，B重合，即02 3 k ，解得06k 当3k 时，S有最大值 3 4 S 最大值 2 如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E， 且60ADC， 1 2 ABBC， 连接OE下列结论：AECE；
10、ABCD SAB AC；2 ABEAOE SS ； 1 4 OEAD成立的个数( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】四边形ABCD是平行四边形，60ABCADC ，120BAD，AE平分BAD， 60BAEEAD ABE是等边三角形，AEABBE，60AEB， 1 2 ABBC， 1 2 AEBEBC，AECE，故错误； 可得30EACACE 90BAC， ABCD SAB AC，故正确； BEEC，E为BC中点， ABEACE SS ，AOCO， 11 22 AOEEOCAECABE SSSS ， 2 ABEAOE SS ；故正确； 四边形ABCD是平行四边形，ACCO，A
11、ECE，EOAC，30ACE， 1 2 EOEC， 1 2 ECAB， 11 44 OEBCAD，故正确；故正确的个数为 3 个，故选：C 3 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，点G为OAB的 重心，连接BG并延长，交OA于点C，反比例函数(0) k yk x 的图象经过C，G两点若AOB的面 积为 6，则k的值为( ) A. 9 4 B12 5 C 5 2 D3 【解答】 过点C作CNOB于N，GMOB于M，如图，点G为OAB的重心， 2BGCG，/ /GMCN， 2 3 GMBMBG CNBNBC ， 设2GMa，则3CNa，(2 k G a ，
12、2 )a，(3 k C a ，3 )a，:2:3BM BN ， 33() 232 kkk BNMN aaa ， 5 326 kkk OBONBN aaa ， BC为OAB的中线， 11 63 22 OBCOAB SS ，即 15 33 26 k a a ， 12 5 k故选：B 每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题 中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已 知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解 题方法及转化手段而言都是一致的
13、，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个 小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。 1 1、分类讨论的步骤、分类讨论的步骤 （1） 明确分类对象 （2） 明确分类标准 （3） 逐类分类、分级得到阶段性结果 （4） 用该级标准进行检验筛选结果 （5） 归纳作出结论 2 2、分类讨论的对象、分类讨论的对象 题组二 数学思想分类讨论思想 例 4 关于x的方程 2 (3)420kxx有实数根，则k的取值范围是( ) A5k B5k 且3k C5k且3k D5k且3k 【规范答题】当30k ，即3k ，方程化为42x，解得 1 2 x
14、 ； 当30k 时，02344 2 k，解得5k且3k ， 综上所述，k的范围为5k故选：A 例 5 如图，在直角ABC中，90C，6AC ，8BC ，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若 要使APQ是等腰三角形且BPQ是直角三角形，则AQ 【规范答题】 如图 1 中，当AQPQ，90QPB时，设AQPQx，/ /PQAC， BPQBCA， BQPQ BAAC ， 10 106 xx ， 15 4 x， 15 4 AQ 如图 2 中，当AQPQ，90PQB时，设AQPQyBQPBCA， PQBQ ACBC ， 10 68 yy ， 30 7 y综上所述，满足条件的AQ的值为15 4 或 3
15、0 7 例 6 如图，ABC中，90ACB，30A，16AB ， 点P是斜边AB上任意一点， 过点P作PQAB， 垂足为P，交边AC（或边)CB于点Q，设APx，APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致 是( ) 来源:学+科+网 A B C D 【规范答题】当点Q在AC上时，30A，APx， 3 tan30 3 PQxx ， 2 1133 2236 yAPPQxxx ； 当点Q在BC上时，如下图所示： APx，16AB ，30A，16BPx，60B，tan603(16)PQBPx 2 113 3(16)8 3 222 S APQAP PQxxxx ， 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，
16、后半部分也为抛物线开口向下，故选：D 4 若关于x的方程 2 210kxx 有实数根，则实数k的取值范围是( ) A1k B1k 且0k C1k且0k D1k 【解答】当该方程是一元二次方程时，由题意可知：044k，1k，0k ，1k且0k ， 当该方程时一元一次方程时，0k ，满足题意，故选：D 5 若关于x的一元二次方程 2 (1)220mxx没有实数根，则实数m的取值范围是( ) A 1 2 m B 1 2 m C 1 2 m 且1m D1m 【解答】关于x的一元二次方程 2 (1)220mxx没有实数根， 2 24(1) ( 2)0m ，且10m ，解得 1 2 m ，故选：A 6 已
17、知关于x的一元二次方程 2 (2)(2 )10axab xb ，这个方程根的情况是( ) A有两个相等的实根 B有两个不相等的实根 C有可能无实根 D有两个实根，可能相等，也可能不相等 【解答】根据题意得20a ， 2 (2 )4 (2)(1)abab 22 4488aabb 22 (2)4(1)ab， 2 (2)0a， 2 4(1)0b，0，方程有两个不相等的两个实数根故选：B 7 如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(10,0)A、 (0,4)C，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰长为 5 的等腰三角形时，求P的坐标 【解答】（
18、1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时5OPPD； （2）OD是等腰三角形的一条腰时： 若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以 5 为半径的弧与CB的交点， 在直角OPC中， 2222 543CPOPOC，则P的坐标是(3,4) 若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以 5 为半径的弧与CB的交点， 过D作DMBC于点M，在直角PDM中， 22 3PMPDDM， 当P在M的左边时，532CP ，则P的坐标是(2,4)； 当P在M的右侧时，538CP ，则P的坐标是(8,4)故P为：(3,4)或(2,4)或(8,4) 8 如图，在矩形ABCD中，2AB ，
19、3AD，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出 发，沿路径ADCE运动，则APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象 表示大致是( ) A B C D 【解答】在矩形ABCD中，2AB ，3AD， 2CDAB，3BCAD， 点E是BC边上靠近点B的三等分点， 2 32 3 CE ， 点P在AD上时，APE的面积 1 2(03) 2 yxxx剟， 点P在CD上时， APEADPCEPAECD SSSS 梯形 ， 111 (23) 23 (3)2 (32) 222 xx ， 39 55 22 xx ， 19 22 x ， 19 (35) 22 yxx ， 点P在CE上时， 1
20、 (322) 27 2 APE Sxx ， 7(57)yxx ，故选：A 9 如图，抛物线cbxxy 2 3 2 经过点)0 , 3(B，)2, 0( C，直线l： 3 2 3 2 xy交y轴于点E，且与 抛物线交于DA、两点，P为抛物线上一动点（不与DA、重合）。 （1 1）求抛物线的解析式。 （2 2）当点P在直线l下方时，过点P作xPM /轴交l于点M，yPN /轴交l于点N，求PNPM 的 最大值。 （3 3）设F为直线l上的点，以FPCE,为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求F坐标；若不 能，请说明理由。 【解答】 （1 1）把)0 , 3(B，)2, 0( C代入cbxxy
21、2 3 2 ，得 c cb 2 39 3 2 0 ， 2 3 4 c b 抛物线的解析式为：2 3 4 3 2 2 xxy。 （2 2）设)2 3 4 3 2 ,( 2 mmmP由题得) 3 2 3 2 ,(mmN，)2 3 4 3 2 , 22( 22 mmmmM 4 15 2 1 3 5 2 mxxyyPNPM PMPN 当 2 1 m时，PNPM 的最大值是 4 15 。 （3 3）以FPCE,为顶点的四边形能构成平行四边形。由题可得：) 3 2 , 0( E， 3 4 CE 以CE为边，有:PFCE/且PFCE ，此时) 3 2 3 2 ,(mmF Fi.在P上方时 3 4 2 3 4
22、 3 2 3 2 3 2 2 mmm，0m（舍去）1m，得) 3 4 , 1 ( F. Fii.在P下方时 3 4 3 2 3 2 2 3 4 3 2 2 mmm， 2 171 m得) 3 173 , 2 171 ( F 以CE为对角线，由 FPEC FPEC yyyy xxxx 得： F F ymm xm 2 3 4 3 2 2 3 2 00 2 解得：0, 1mm（舍去），得)0 , 1(F. 综上所述，当综上所述，当F为为) 3 4 , 1 ( ) 3 173 , 2 171 ( )0 , 1(时，四边形时，四边形ECPF能构成平行四边形能构成平行四边形。 函数方程的思想，是对于一个问题
23、用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变 量间的等量关系，构建方程、方程组或者函数关系，或利用方程函数的性质去分析、转换、解决问题。要善用 方程和方程组观点来观察处理问题。函数方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某 个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。 例 7 矩形ABCD中，5AB ，4BC ，将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，则线段BE的长 为 题组三 数学思想函数方程思想 【规范答题】四边形ABCD是矩形，90BD ，将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处， 5AFAB，4ADBC，EFBE，在Rt A
24、DF中，由勾股定理，得3DF 在矩形ABCD中，5DCAB2CFDCDF设ECx，则4EFx 在Rt CEF中， 222 2(4)xx解得1.5x 41.52.5BEBCCE，故答案为：2.5 例 8 如图，已知直线2yx 分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线 k y x 交于E，F两 点，若2ABEF，则k的值是( ) A1 B1 C 1 2 D 3 4 【规范答题】作FHx轴，ECy轴，FH与EC交于D，如图， A点坐标为(2,0)，B点坐标为(0,2)，OAOB，AOB为等腰直角三角形， 22 2ABOA， 1 2 2 EFAB，DEF为等腰直角三角形， 2 1 2 FDDEEF，设
25、F点横坐标为t，代入2yx ，则纵坐标是2t ， 则F的坐标是：( ,2)tt ，E点坐标为(1,1)tt ， (2)(1) (1)tttt ，解得 1 2 t ，E点坐标为 3 ( 2 ，1) 2 ， 313 224 k故选：D 10 如图，已知ABC中，10AB ，8AC ，6BC ，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连 接BD，则CD的长为( ) A1 B 5 4 C 7 4 D 25 4 【解答】ABC中，10AB ，8AC ，6BC ， 222 ABACBC，ABC是直角三角形， AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，ADDB， 设CD为x，8ADDBx，在Rt CDB中
26、， 222 CDBCDB，即 222 6(8)xx， 解得： 7 4 x ，即 7 4 CD ，故选：C 11 如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，DFAE于F，若1EFCE，3AB ，则线段AF长为( ) A2 5 B4 C10 D3 2 【解答】 连接DE，四边形ABCD是矩形，/ /ADBC，90BCD，ADEDEC ， DFAE，90DFE，FECE，DEDE，Rt DFERt DCE(HL)， DFDC，FEDDEC ，FEDADE，AEAD，BEBCECAEEC， 在Rt ABE中， 设AE为x， 由勾股定理可得： 222 ABBEAE， 即 222 3(1 )xx， 解得：5x
27、 ， 所以5AE ，514AFAEEF ，故选：B 12 如图，在矩形ABCD中，5AB ，6BC ，点E是AD上一点，把BAE沿BE向矩形内部折叠，当点 A的对应点 1 A恰落在ADC的平分线上时， 1 DA 【解答】过 1 A作MHAD交AD于M，交BC于H，作 1 A NCD于N，如图所示： 由折叠的性质得： 1 5ABAB，点 1 A恰落在ADC的平分线上， 11 45ADACDA ， 四边形 1 DMA N是正方形， 11 AMAN，设 11 AMANx，则 1 5AHx，6BHx， 在Rt 1 ABH中，由勾股定理得： 222 (5)(6)5xx，解得：2x ，或9x （舍去），
28、1 22 2DAx；故答案为：2 2 13 如图，有一个ABCRt， o BAC90， o ABC30，1AB，将它放在直角坐标系中，使斜边BC在 轴上，直角顶点A在反比例函数 x y 3 的图像上，求点C的坐标 【解答】如图，过点 作轴于点， 在中， 点 的纵坐标为， 来源:学。科。网Z。X。X。K 点 在反比例函数的图像上， 即点 横坐标为，点横坐标也为，在中， ， ， 设，则，由勾股定理得：，解得或（舍去） ， 在 轴上，的坐标为 换元引参思想是我们在解决很多几何问题和函数问题时惯用的思路，参数可以作为中间量进行过渡，也可 以以参数为未知变量，研究其最值及其它性质，是数学思想中重要的一脉
29、；转化与整体思想是数学中研究复杂 代数或者几何问题时常用的方法，整体转化思想往往与换元引参思想密不可分，但是初中阶段对思想方法的考 察要求不是很高，只需有所简单了解，所以在此我们不做过多深入讲解，掌握思想方法的表现形式即可。 例 9 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果4AE ，3EF ，5AF ，那么正 方形ABCD的面积等于 【规范答题】设正方形的边长为x，BE的长为a4AE ，3EF ，5AF 222 AEEFAF，90AEF，90AEBBAEAEBCEF BAECEF BC ABEECF ABAE CEEF ，即 4 3 x xa 解得4xa 在Rt ABE中，
30、 222 ABBEAE 222 4xa 将代入，可得： 4 17 17 a 正方形ABCD的面积为： 22 256 16 17 xa 例 10 在ABC中，AB边上的中线3CD ，6AB ，8BCAC，则ABC的面积为 【规范答题】如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，3CD ，6AB ，3ADDB， 题组四 数学思想引参转化思想 CDADDB，12 ，34 ，1234180 ，1390 ， ABC是直角三角形， 222 36ACBCAB，又8ACBC， 22 264ACAC BCBC， 22 264()643628AC BCACBC， 又 1 2 ABC SAC BC ， 128 7 22
31、 ABC S 14 如图，ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点 （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）如果四边形AEDF的周长为 12，两条对角线的和等于 7，求四边形AEDF的面积S 【解答】（1）ADBC，点E、F分别是AB、AC的中点，Rt ABD中， 1 2 DEABAE， Rt ACD中， 1 2 DFACAF，又ABAC，点E、F分别是AB、AC的中点， AEAF，AEAFDEDF，四边形AEDF是菱形； （2）如图，菱形AEDF的周长为 12，3AE，设EFx，ADy，则7xy， 22 249xxyy，ADEF于O，Rt AOE中
32、， 222 AOEOAE， 222 11 ()()3 22 yx，即 22 36xy，把代入，可得213xy ， 13 2 xy， 菱形AEDF的面积 113 24 Sxy来源:163文库 ZXXK 15 如图， 已知AB为O的直径，8AB ， 点C和点D是O上关于直线AB对称的两个点， 连接OC、AC， 且90BOC，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F， 与直线AD相交于点G，且GAFGCE （1）求证：直线CG为O的切线； （2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CBCH， CBHOBC； 求OHHC的最大值 【解答】（1）由题意可知：CABGA
33、F ，AB是O的直径，90ACBOAOC， CABOCA ，90OCAOCB，GAFGCE ， 90GCEOCBOCAOCB ，OC是O的半径，直线CG是O的切线；来源:163文库 ZXXK （2）CBCH，CBHCHB ，OBOCCBHOCB ，CBHOBC 由CBHOBC可知： BCHB OCBC 8AB ， 2 4BCHB OCHB， 2 4 BC HB， 2 4 4 BC OHOBHBCBCH， 2 4 4 BC OHHCBC， 当90BOC，此时4 2BC 90BOC，04 2BC， 令BCx 2 1 (2)5 4 OHHCx 当2x 时OHHC可取得最大值，最大值为 5 等面积法是
34、我们解决几何问题时常用的方法，利用面积的关系可以使计算过程事半功倍。 1 1、等面积法、等面积法 （1）面积和差型 该类型通过面积之间的和差关系构建恒等式。 （2）面积算式型 该类型通过对同一图形面积的不同计算方法（以三角形为例，换底和高）构建恒等式。 2 2、等面积法类型、等面积法类型 模块二 题组一 数学方法等面积法 （1）正常的三角形中：涉及多个高线问题的，可以利用等面积法 （2）菱形中涉及对角线求值，利用：对角线乘积一半高底 2 1 列式子求解 （3）其它几何中（选填压轴几何）中，涉面积的结合利用三角形全等进行面积转化 （4）动点问题中，如果动点关系恒定不变的是线线垂直，这个时候可以考
35、虑应用等面积方法求解问题 例 11 已知：如图，在ABCRt中， 0 90C， 0 30A，BD平分ABC交AC于D，3BC求ABD 的面积 【规范答题】 （1） 在中， 又平分， 在中，由勾股定理得 即，解得，又 法一：， 法二： 3 BDCABCABD SSS 例 12 已知：如图，矩形ABCD中，5AB ，12BC ，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任 意一点，且PEAC于点E，PFBD于点F，则PEPF等于( ) A 60 13 B 50 13 C18 5 D12 5 【规范答题】连接PO，矩形ABCD的两边5AB ，12BC ， 60 ABCD SAB BC 矩形 ，OA
36、OC，OBOD，ACBD， 2222 12513ACABBC， 1 15 4 AODABCD SS 矩形 ， 113 22 OAODAC， 111113 ()()15 22222 AODAOPDOP SSSOA PEOD PFOA PEPFPEPF ， 60 13 PEPF，故选：A 例 13 在正方形ABCD中，点E为AB边上的一点，1AB ，连接CE，作DFCE于点F，令CEx， DFy，y关于x的函数关系图象大致是( ) A B C D 【规范答题】法一：正方形ABCD中，1AB ，1BCCD，90ABC，/ /ABCD，BECFCD ， DFCE，90CFDEBC ，BCEFDC， C
37、EBC DCFD ，即 1 1 x y ， 21 1 x x y由上可知可得出y与x的函数图象是一支在第一象限的双曲线故选：B 法二等面积法：连接DE，设mBE ，则mAE1，由题意： ECAEDABCDDEC SSSS ,所以：mmxy1 2 1 11 2 1 1 2 1 ， x y 1 由上可知可得出y与x的函数图象是一支在第一象限的双曲线故选：B 16 如图，四边形ABCD是菱形，8AC ，6DB ，DHAB于H，则DH等于( ) A 24 5 B12 5 C5 D4 【解答】四边形ABCD是菱形，AOOC，BOOD，ACBD，8AC ，6DB ， 4AO，3OB ，90AOB，由勾股定
38、理得： 22 345AB ， 1 2 ABCD SACBDABDH 菱形 ， 1 865 2 DH ， 24 5 DH，故选：A 17 如图，在Rt ABC中，90BAC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作/ /AFBC交BE的 延长线于点F若4AC ，6AB ，则四边形ADCF的面积为( ) A12 13 B24 C6 13 D12 【解答】/ /AFBC，AFBDBF，在AEF和DEB中， AFEDBE AEFDEB AEDE ，()AEFDEB AAS AFBD，/ /AFBC，AFC的面积ABD 的面积， ADCF面积ADC 面积AFC面积ADC 面积ABD面积ABC 面积 1
39、46 2 12， 选：D 18 如图，在菱形ABCD中，2 3AC ，2BD ，DHAB于点H，则BH的长为( ) A1 B3 C 2 3 D 2 3 3 【解答】在菱形ABCD中，2 3AC ，2BD ， 1 3 2 AOCOAC， 1 1 2 BODOBD， 312AB， 1 2 2 DHACBD， 1 2 32 2 3 2 DH ，431BH，故选：A 19 如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处 （1）求证：ABEAGF ； （2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为 8， 2 3 EC BC ，求AC EF的值 【解答】（1）证明：在ABCD中，
40、ABCD，BD ，BADBCD ， ABCD纸片沿EF折叠，点C与点A重合，点D落在点G处， AGCD，EAGBCD ，DG ，ABAG，BADEAG ，BG ， BADBAEEAF，EAGGAFEAF ，BAEGAF ， 在ABE和AGF中， BG ABAG BAEGAF ，()ABEAGF ASA ； （2）连接CF，ABEAGF ，AEAF，根据翻折的性质ECAE，ECAEAF， 又/ /AFEC，四边形AECF是平行四边形，根据翻折后点A、C重合，ACEF， AECF是菱形，2AC EF菱形AECF的面积， ABCD的面积8， 2 3 EC BC ，AEC的面积 128 8 233 ，
41、菱形AECF的面积等于16 3 ， 2AC EF菱形AECF的面积 32 3 20 如图，O为ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点， 且EACABC （1）求证：直线AE是O的切线 （2）若D为AB的中点，6CD ，16AB 求O的半径； 求ABC的内心到点O的距离 【解答】（1）证明：连接AO，并延长AO交O于点F，连接CF AF是直径90ACF90FFAC，FABC ，ABCEAC EACF 90EACFAC 90EAF，且AO是半径直线AE是O的切线 （2） 如图，连接AO， D为AB的中点，OD过圆心，ODAB， 1 8 2 ADBDAB， 222 AOADD
42、O， 222 8(6)AOAO， 25 3 AO，O的半径为 25 3 ； 如图，作CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HMAC，HNBC， ODAB，ADBDACBC，且ADBDCD平分ACB，且AH平分CAB 点H是ABC的内心，且HMAC，HNBC，HDABMHNHDH 在Rt ACD中， 2222 8610ACADCDBC， ABCACHABHBCH SSSS ， 1111 166101610 2222 MHDHNH， 8 3 DH， ()OHCOCHCOCDDH， 258 (6)5 33 OH 坐标解析法顾名思义，通过建立坐标系的方法使复杂的几何问题可以通过简单的代数运算求
43、解。坐标解析 的优点是坐标体系的知识点是固定的，在不同的几何题中，几何图解的思路是千变万化的，但是如果使用坐标 解析的方法去处理问题，则大道同归，方法思路不会发生变化，对于学生而言，不失为一种简便的方法。 1、直角建系法：在几何中出现规则的直角时，可以以直角为坐标原点建立平面直角坐标系，然后求解问题 2、无直角建系法：这一类对学生而言往往要求较高，而且设的参数可能会比较多。 题组二 数学方法坐标解析法 3 3、坐标系知识、坐标系知识 （1 1）坐标：）坐标：两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，坐标系内一组有序数对),(yx为点坐标 （2 2）坐标系知识：）坐标系知识： x轴方程为：0y ；过
44、点), 0(m，垂直于y轴（平行于x轴）的方程为：my y轴方程为：0 x ；过点)0 ,(m，垂直于x轴（平行于y轴）的方程为：mx 直线解析式：直线解析式： 书写规范：书写规范：设一次函数解析式为：bkxy，0k。把),( aa yxA、),( bb yxB带入解析式， 得 bkxy bkxy aa bb b k ，一次函数解析式为：bkxy。 快速得解：快速得解：做题分析时要能达到目之所及，解析式现。 k代表直线的斜率，含义是直线的倾斜程度。 o o xx yy k 1 1 tan b代表直线的纵截距，含义是直线与y轴相交的点的纵坐标。 两点两点),( aa yxA，),( bb yxB
45、之间的距离公式：之间的距离公式： 22 )()( baba yyxxAB 22 2 )()( baba yyxxAB 两点两点),( aa yxA，),( bb yxB之间的中点之间的中点),( pp yxP坐标公式：坐标公式： bap bap yyy xxx 2 2 例 14 如图，在ABC中，90ACB，2ACBC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上， 且AECF给出以下四个结论：其中正确的有 DEDF；DEF是等腰直角三角形； 1 2 ABCCEDF SS 四边形 ； 2 EF的最小值为 2 【规范答题】 90ACB，2ACBC， 22 222 2AB 45AB ， 点D是AB的
46、中点，CDAB，且 1 2 2 ADBDCDAB，45DCB， ADCF ，在ADE和CDF中 ADCD ADCF AECF ()ADECDF SAS ， DEDF，ADECDF ，CDAB，90ADC，所以正确； 90EDFEDCCDFEDCADEADC ， DEF是等腰直角三角形；所以正确； ADECDF ，ADE和CDF的面积相等，D为AB中点，来源:学,科,网Z,X,X,K ADC的面积 1 2 ABC的面积， 1 2 EDCCDFEDCADEADCABCCEDF SSSSSSS 四边形 ；所以正确； 法一：几何图解法当DEAC，DFBC时， 2 EF值最小，根据勾股定理得： 222 EFDEDF， 此时四边形CEDF是矩形，即2EFCD，所以 22 ( 2)2EF ；所以正确； 法二：坐标解析法。如图，以CA方向为y轴，以CB方向为x轴，建立平面直角坐标系 xy C 设mAECF20 m，则mCE 2。所以)0 ,(mF、)2 , 0(mE 由勾股定理可得：2 22 20m
