1、微专题四大常考全等模型微专题四大常考全等模型模型一一线三等角模型模型一一线三等角模型(含三垂直模型含三垂直模型)(黔东南州黔东南州2考考)模 型 分 析模 型 分 析一、一线三等角一、一线三等角(一般情况一般情况)一般通过一线三等角找等角或进行角度转换，证三角形全等时必须还一般通过一线三等角找等角或进行角度转换，证三角形全等时必须还有一组边相等这个条件常见基本图形如下：有一组边相等这个条件常见基本图形如下：已知：点已知：点P在线段在线段AB上，上，123.结论：当两个三角形有一组对应边相等时，结论：当两个三角形有一组对应边相等时，CAPPBD.锐角一线三等角锐角一线三等角二、一线三垂直二、一线
2、三垂直(特殊情况特殊情况)常用三个垂直作条件进行角度等量代换，即同常用三个垂直作条件进行角度等量代换，即同(等等)角的余角相等，相角的余角相等，相等的角就是对应角，证三角形全等时必须还有一组边相等等的角就是对应角，证三角形全等时必须还有一组边相等基本图形基本图形1如图如图，已知，已知ABBC，DECE，ACCD，ABCE.结论：结论：ABCCED；BEABDE；连接连接AD，ACD是是等腰直角三角形等腰直角三角形图基本图形基本图形2如图如图，已知，已知ABBC，AEBD，CDBD，ABBC.结论：结论：ABEBCD；DEAECD.图例例1如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，D、E分别在边分
3、别在边BC、AC上，上，BDCE，且，且ADEB.求证：求证：ABDDCE.例1题图证明：证明：ABAC，BC.ADEB，BBADADB180，ADECDEADB180，BADCDE.在在ABD与与DCE中，中，ABDDCE(AAS),BADCDEBCBD CE 例1题图例例2如图，在等腰如图，在等腰RtABC中，中，ACB90，CBCA，直线，直线ED经过点经过点C，过点，过点A作作ADED于点于点D，过点，过点B作作BEED于点于点E.求证：求证：DEADBE.例2题图证明：证明：ACB90，ACDBCE90.ADED，BEED，ADCCEB90，ACDCAD90，CADBCE.在在BEC
4、和和CDA中，中，BECCDA(AAS)，BECD，CEAD，DECECDADBE.,BCECADCEBADCCB AC 例2题图例例3如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，ACBC，点，点E是是ACB内内部一点，连接部一点，连接CE，作，作ADCE，BECE，垂足分别为点，垂足分别为点D，E.(1)求证：求证：DEADBE；例3题图(1)证明：证明：BECE，ADCE，EADC90，EBCBCE90.BCEACD90，EBCDCA.在在BCE和和CAD中，中，BCECAD(AAS)，BECD，CEAD，DECECDADBE；,EADCEBCDCABCCA 例3题图(2)若若BE5，DE7
5、，求，求ACD的周长的周长例3题图(2)解：解：BCECAD，BE5，DE7，DCBE5，ADCECDDE5712.由勾股定理得：由勾股定理得：AC 13，ACD的周长为的周长为5121330.22DCAD 模型二手拉手模型模型二手拉手模型模 型 分 析模 型 分 析模型展示：模型展示：“等边三角形”手拉手“等腰直角三角形”手拉手模型特点：模型特点：ABAC，ADAE，BACDAE，连接，连接BD，CE.解题关键：解题关键：(1)共顶点：加共顶点：加(减减)公共顶点的公共角公共顶点的公共角BAE得到一组对应得到一组对应角相等；角相等；(2)利用两组对应边相等或等腰、等边、正方形、菱形等得到利用
6、两组对应边相等或等腰、等边、正方形、菱形等得到两组对应边相等两组对应边相等结论：结论：CAEBAD，CEBD，BPCBAC.例例4如图，如图，ABC和和ADE均为等腰三角形，且均为等腰三角形，且ABAC，ADAE，CABDAE，连接，连接BD，CE，求证：，求证：BDCE.例4题图证明：证明：CABDAE，DABCABDAC，EACDAEDAC，DABEAC，在在DAB和和EAC中，中，DABEAC(SAS)，BDCE.,AB ACDABEACAD AE 例例5如图，四边形如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接均为正方形，连接AG、CE，求证：，求证：AGCE.例5题图证明：如解图，设
7、证明：如解图，设AG交交BC于点于点M，CE交交AG于点于点N，MN四边形四边形ABCD、BEFG均为正方形，均为正方形，ABCB，ABCGBE90，BGBE，ABCCBGGBECBG，ABGCBE，MN在在ABG和和CBE中，中，ABGCBE(SAS)，BAGBCE，ABC90，BAGAMB90，AMBCMN，BCECMN90，CNM90，AGCE.,ABCBABGCBEBGBE 例5题图模型三对角互补模型模型三对角互补模型模 型 分 析模 型 分 析一、一、90对角互补对角互补模型特点：模型特点：ABCADC90，ADCD.解题思路解题思路1：如图：如图，过点，过点D分别作分别作BA、BC
8、的垂线，的垂线，图结论：结论：DEADFC；S四边形四边形ABCDS正方形正方形EBFD；解题思路解题思路2：如图：如图，将，将BD绕点绕点D逆时针旋转与逆时针旋转与ADC相同的度数得相同的度数得到线段到线段DF，结论：结论：BDF为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；ABBC BD；S四边形四边形ABCDSBDF BD2.图122二、二、120(60)对角互补对角互补自主探究自主探究模型特点：模型特点：ABC120，ADC60，ADCD.解题思路解题思路1：过点：过点D分别作分别作BA、BC的垂线的垂线DE、DF，在图在图中补全图形：中补全图形：结论：结论：_图DEADFC补全图形如下：补全图
9、形如下：解题思路解题思路2：将：将BD绕点绕点D逆时针旋转与逆时针旋转与ADC相同的度数得到线段相同的度数得到线段DG，在图在图中补全图形：中补全图形：结论：结论：_ _图BDG为等边三角形；为等边三角形；ABBCBD；S四边形四边形ABCDSBDG BD2.34补全图形如下：补全图形如下：例例6如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABCADC90，ADCD，连接连接BD，AC.(1)求证：求证：BD平分平分ABC；例6题图EF(1)证明：如解图证明：如解图，过点，过点D作作DEAB交交BA的延的延长线于点长线于点E，DFBC于点于点F，则则DEADFC90.ABC90，EDF3609
10、0909090.ADC90，EDAFDC.ADDC，DAEDCF，DEDF.DEBE，DFBC，BD平分平分ABC；例6题图EF(2)求证：求证：ABBC BD.2(2)证明：如解图证明：如解图，将，将ABD绕点绕点D逆逆时针旋转时针旋转90，得到，得到CFD，例6题图F则由旋转的性质得，则由旋转的性质得，ABCF，BDDF，BDF90，BADFCD.ABCADC90，BADBCD180，FCDBCD180，B、C、F三点共线，三点共线，BFCFBCABBC.BDDF，BDF90，BDF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BF BD，ABBC BD.2例6题图F2例例7如图，在等边如图，在等边
11、ABC中，点中，点D是线段是线段BC的中点，的中点，EDF120，射线射线DE与线段与线段AB交于点交于点E，射线，射线DF交交AC于点于点F，求证：，求证：DEDF.例7题图证法一：证法一：证明：如解图证明：如解图，过点，过点D分别作分别作AB、AC的垂线，的垂线，垂足为垂足为M、N，连接，连接AD，MNABC为等边三角形，为等边三角形，BAC60.点点D为线段为线段BC的中点，的中点，AD平分平分BAC，DMDN，DMADNA90，MDN360609090120，EDF120，EDMFDN，在在EDM和和FDN中，中，EDMFDN(ASA)，DEDF；,EDMFDNDMDNDMEDNF 例
12、7题图MN证法二：证法二：证明：如解图证明：如解图，将线段，将线段BD绕点绕点D旋转旋转120得得到线段到线段BD，连接，连接AD，B例7题图ABC是等边三角形，是等边三角形，BAC60，点点D是线段是线段BC的中点，的中点，BDCD，BDBEDF120，EDBBDF，BDBD，BDCD，DBC60，B在在BDE和和BDF中，中，BDEBDF(ASA)，DEDF.,EDBB DFBD B DBDBC 例7题图模型四旋转半角模型模型四旋转半角模型(黔东南州黔东南州2016.16)模 型 分 析模 型 分 析一、含一、含45的旋转半角模型的旋转半角模型模型特点：模型特点：ABAD，BAD90，EA
13、F45.解题思路：将解题思路：将ADF绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转90得到得到ABG.模型结论：模型结论：AEFAEG；EFDFBE；AGF为等腰直角三角形为等腰直角三角形二、含二、含60的旋转半角模型的旋转半角模型模型特点：模型特点：BDCD，EDF60，BDC120.解题思路：将解题思路：将BDE绕点绕点D顺时针旋转顺时针旋转120得到得到CDG.结论：结论：DEFDGF；EFBECF.例例8如图，在如图，在ABC中，中，BAC90，ABAC，点，点D、E均在边均在边BC上，且上，且DAE45，求证：，求证：BD2CE2DE2.例8题图证明：证明：如解图，将如解图，将ABD绕点绕点A逆时
14、针旋转逆时针旋转90至至ACG，可使，可使AB与与AC重合，连接重合，连接EG，G由旋转得：由旋转得：ADAG，BADCAG，BDCG，BAC90，ABAC，BACB45，ACGB45，BCGACBACG454590，BADCAG，BAC90，DAG90，BADEAC45，CAGEAC45EAG，DAEEAG45，在在AED和和AEG中，中，AEDAEG(SAS)，,AD AGDAEGAEAEAE G例8题图EGDE，ECG90，CG2CE2EG2，BD2CE2DE2.G例8题图例例9如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABAD，BAD120，BD180，点，点M，N分别是边分别是边BC，CD上的点，上的点，MAN60，请，请判断线段判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由之间的数量关系，并说明理由例9题图解：解：MNBMDN.理由：如解图，将理由：如解图，将ADN绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转120得到得到ABE，EABEADN，ANAE，DANBAE，BAD2MAN，DANBAMMAN，MANEAM，在在MAN和和MAE中，中，MANMAE(SAS)，MNEMBEBMBMDN，即即MNBMDN.E,ANAEMANMAEAMAM 例9题图
