1、13内蒙古中考真题及拓展内蒙古中考真题及拓展2重难点分层练重难点分层练考点精讲考点精讲考点精讲考点精讲【对接教材】北师：九上第一章【对接教材】北师：九上第一章P2P10；人教：八下第十八章人教：八下第十八章P55P58.菱形的性质与判定菱形的性质与判定概念概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质性质1.边：边：(1)四条边四条边_；(2)两组对边分别平行；两组对边分别平行；2.角：两组对角分别相等；角：两组对角分别相等；3.对角线：对角线对角线：对角线_，并且每一条对角线平分一组对角；，并且每一条对角线平分一组对角；4.对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图
2、形；对称轴是两条对角对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形；对称轴是两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点相等相等互相垂直且平分互相垂直且平分考点考点 判定判定1.有一组有一组_相等的平行四边形是菱形相等的平行四边形是菱形(定义定义)；2._条边都相等的四边形是菱形；条边都相等的四边形是菱形；3.对角线对角线_的平行四边形是菱形的平行四边形是菱形面积公式面积公式S_(m、n分别表示菱形两条对角线的长分别表示菱形两条对角线的长)【知识拓展】【知识拓展】(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形面积也可表示为由于菱形是平行四边形，所以菱形面积也可表示为
3、Sah(a表示菱表示菱形的边长，形的边长，h表示这条边上的高表示这条边上的高)；(2)菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形三角形邻边邻边四四互互相垂直相垂直12mn证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形已知：如图，在已知：如图，在 ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD相交于点相交于点O，ACBD.求证：求证：ABCD是菱形是菱形【自主作答】【自主作答】题图证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，OAOC.又又ACBD，直线直线BD是线段是线段AC的垂直平分线，的垂直平分线，BABC，
4、四边形四边形ABCD是菱形是菱形 教材改编教材改编 重难点分层练重难点分层练回顾必备知识回顾必备知识例例1 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD交于点交于点O，满足：，满足：ABAD，ACBD，BD平分平分ABC，BADBCD，BCCD，ABCD.一题多设问一题多设问请从上述几个条件中，任意挑选三个条件，证请从上述几个条件中，任意挑选三个条件，证明四边形明四边形ABCD是菱形是菱形【解法一】选择条件：【解法一】选择条件：_(填序号填序号)；例1题图证明：证明：BD平分平分ABC，CBDABD.在在CBD和和ABD中，中，CBDABD(AAS)，CBAB，CDAD.
5、ABAD，ABADCBCD，四边形四边形ABCD是菱形；是菱形；,BCDBADCBDABDBDBE 四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形【判定依据】用到的菱形的判定定理为【判定依据】用到的菱形的判定定理为 _例1题图【判定依据】用到的菱形的判定定理为【判定依据】用到的菱形的判定定理为_对角线互相垂直的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形【解法二】选择条件：【解法二】选择条件：_(填序号填序号)；证明：证明：ABAD，ACBC，BODO，AOBCOD90.ABCD，ABOCDO，ABOCDO(ASA)，ABCD，四边形四边形ABCD为平行四边形为平行四边形又又ACBD，四边形四边
6、形ABCD是菱形是菱形例1题图是菱形是菱形例例2 如图，菱形如图，菱形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O，点，点E是是BC上一点，连接上一点，连接OE.一题多设问一题多设问(1)若若BAD150，则，则ABD_；(2)若若ABC60，AB4，则，则BD的长为的长为_；菱形；菱形ABCD的面积为的面积为_，周长为，周长为_；例2题图15164 38 3(3)点点E是是BC的中点的中点.若若ABC50，则，则AOE的度数为的度数为_；若若BD6，AC8，则线段，则线段OE的长为的长为_11552提升关键能力提升关键能力例例3 在菱形在菱形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相相交
7、于点交于点O，点，点E是边是边BC上一点上一点(1)如图如图，连接，连接OE，AC6，BD8.若若OECE，则，则OE的长为的长为_；若若OEBC，则，则OE的长为的长为_；一题多设问一题多设问图52125例3题图(2)如图如图，AEBC，连接，连接OE.若若ADB25，则，则EAO的度数是的度数是_；若若OB4，S菱形菱形ABCD24，则，则AE的长为的长为_，OE的长为的长为_；图253245例3题图(3)如图如图，已知，已知CE4BE，点，点P是是BD上一动点，连接上一动点，连接PC、PE.若若AC6，BD8，求，求PEC周长的最小值；周长的最小值；例3题图解：解：四边形四边形ABCD是
8、菱形，是菱形，ACBD，OB BD4，OC AC3，BCAB5.CE4BE，BE1，CE4，EC为定值，为定值，要使要使PEC周长最小，则周长最小，则PEPC的值最小的值最小1212如解图，作点如解图，作点E关于关于BD的对称点的对称点E，则点，则点E在在AB边上，连接边上，连接CE与与BD交于点交于点P，过点，过点C作作CFAB于点于点F，则，则PCPECE，例3题图12AC6，BD8，SABC S菱形菱形ABCD ACBD24.CFAB，ABCF24，CF ，在在RtCFB中，中，BF ，由对称的性质，可知由对称的性质，可知BEBE1，EFBFBE 1 ，12121224522247555
9、 7525FEP在在RtCFE中，中，CE ，PEC周长的最小值为周长的最小值为 ；222422 145555 2 14545 例3题图FEP(4)如图如图，点，点M、N分别是分别是OB、OD上一点，且上一点，且BMDN，连接，连接AM、AN、CM、CN.求证：四边形求证：四边形AMCN是菱形；是菱形；例3题图(4)四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，OAOC，OBOD，ACBD.BMDN，OBBMODDN，即，即OMON，四边形四边形AMCN是平行四边形是平行四边形ACBD，四边形四边形AMCN是菱形；是菱形；若若ABC60，AB6，AMBM，求，求AM的长；的长；解：解：四边形四边形ABC
10、D是菱形，是菱形，ACBD，OAOD，ABCB.ABC60，ABC是等边三角形是等边三角形AB6，AC6，OA3，在在RtAOB中，中，OB 3 .AMBM，OMOBBM3 AM.在在RtAOM中，中，OA2OM2AM2，32(3 AM)2AM2，解得，解得AM2 ；2263 3333例3题图【判定依据】判定菱形的依据是【判定依据】判定菱形的依据是 _(5)如图如图，点，点F是边是边CD上一点，上一点，AE、AF分别与分别与BD交于点交于点P、Q，且，且EAF60.若若AB6，BAD120.求证：求证：AEAF；例3题图对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明：证明
11、：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ABBC，ADBC.BAD120，ABC180BAD60，ABC是等边三角形，是等边三角形，ABAC，BACABCACBACD60，EAF60.BACEAF，BACCAEEAFCAE，BAECAF.在在ABE和和ACF中，中，ABEACF(ASA)，AEAF;,ABEACFABACBAECAF 例3题图若若BP2QD，求，求BE长长解：如解图解：如解图，将，将AQD顺时针旋转顺时针旋转120至至AQB，使，使AD与与AB重重合，连接合，连接BQ，PQ，设，设AC与与BD交于点交于点O，过点，过点Q作作QIBP于点于点I，例3题图QI则则BQDQ，ABQAD
12、Q，ABAD6，BAD120，ABDADB30.PBQ60.AOBD，AOABsin303，OBODABcos303 ，BD6 .EAF60，QAQ120，PAQPAQ.33在在PAQ和和PAQ中，中，PAQPAQ(SAS)，PQPQ，BP2QD，BP2BQ.在在RtBIQ中，中，QBI60，BIBQcos60 BQ，QIBQsin60 BQ，IPBPBI BQ，在在RtPIQ中，中，PQ BQ.,PAPAPAQPAQAQAQ 12323222Q IIP 3例3题图QI设设BQDQx，BP2x，PQPQ x，BDBPPQDQ(2 1)x6 ，x3 3，DQ3 3，PQ93 ，BP6 6，DPD
13、QPQ6，DPDA，DPADAP.DPABPE，DAPBEP，BEPBPE，BEBP6 6.33333333例3题图QI内蒙古中考真题及拓展内蒙古中考真题及拓展命题点命题点 与菱形有关的证明与计算与菱形有关的证明与计算1.如图，菱形如图，菱形ABCD的周长为的周长为20，对角线，对角线AC、BD相交于点相交于点O，E是是CD的的中点，则中点，则OE的长是的长是()A.2.5 B.3 C.4 D.5第1题图A2.已知菱形的边长为已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的，则该菱形较长的一条对角线的长为一条对角线的长为()A.2 B.2 C.4 D.2 2
14、25103.如图，四边形如图，四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，BEDF，且分别交对角线，且分别交对角线AC于于点点E，F.(1)求证：求证：ABECDF；第3题图C(1)证明：证明：BEDF，BECDFA，AEBCFD.又又四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ABCD，ABCD，BAEDCF，在在ABE和和CDF中中ABCBABDCBEBDBE=,ABECDF(AAS)；第3题图(2)当四边形当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形的形状状(无需说明理由无需说明理由)【解法提示】如解图【解法提示】如解图，当四边形
15、，当四边形ABCD为矩形时，连接为矩形时，连接DE、BF，同同(1)可知可知ABECDF，BEDF，BEDF，四边形四边形BEDF是平行四边形；是平行四边形；图第3题解图如解图如解图，当四边形，当四边形ABCD是菱形时，连接是菱形时，连接DE、BF，同理可知四边形同理可知四边形BEDF是平行四边形，是平行四边形，四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ABAD，BAEDAE，在在ABE和和ADE中，中，ABEADE(SAS)，BEDE，四边形四边形BEDF是菱形综上所述，当四边形是菱形综上所述，当四边形ABCD分别是矩形和菱形分别是矩形和菱形时，四边形时，四边形BEDF分别是平行四边形与菱形分别是
16、平行四边形与菱形ABAD,BAEDAE,AEAE,图第3题解图(2)四边形四边形BEDF分别是平行四边形与菱形分别是平行四边形与菱形拓 展 训 练拓 展 训 练4.如图，在直角坐标系中，菱形如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点的顶点A，B，C在坐标轴上，若在坐标轴上，若点点B的坐标为的坐标为(1，0)，BCD120，则点，则点D的坐标为的坐标为()第4题图A(2，2)B(，2)C(3，)D(2，)333D5.如图，如图，D、E、F分别是分别是ABC各边的中点，连接各边的中点，连接DE、EF、AE.(1)求证：四边形求证：四边形ADEF为平行四边形；为平行四边形；(1)证明：证明：D、E、F
17、分别是分别是AB、BC、AC的中点，的中点，EF，DE分别是分别是ABC的中位线，的中位线，EFAB，DEAC，四边形四边形ADEF为平行四边形；为平行四边形；第5题图(2)加上条件加上条件_后，能使得四边形后，能使得四边形ADEF为菱形请从为菱形请从BAC90；AE平分平分BAC；ABAC这这3个条件中选择个条件中选择1个条件填空个条件填空(写序写序号号)，并加以证明，并加以证明第5题图(2)解：【解法一】选择解：【解法一】选择，证明如下：，证明如下：EF AB，DE AC，且，且ABAC，DEEF.四边形四边形ADEF为平行四边形，为平行四边形，四边形四边形ADEF为菱形为菱形1212【解
18、法二】选择【解法二】选择，证明如下：，证明如下：DEAC，AEDEAF.AE平分平分BAC，DAEEAF，AEDDAE，ADDE.四边形四边形ADEF为平行四边形，为平行四边形，四边形四边形ADEF为菱形为菱形第5题图6.如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，点中，点M，N分别是边分别是边BC，DC上的点，上的点，BM BC，DN DC.连接连接AM，AN，延长，延长AN交线段交线段BC延长线于点延长线于点E.3434第6题图(1)求证：求证：ABMADN；第6题图(1)证明：证明：四边形四边形ABCD为菱形，为菱形，ABADBCCD，BD，BM BC，DN DC，BMDN.在在ABM和和ADN中，中，ABCBABDCBEBDBE=,ABMADN(SAS)；3434(2)若若AD4，则，则ME的长是的长是 _【解法提示】【解法提示】四边形四边形ABCD为菱形，为菱形，ADCE，DANCEN.ANDENC，ANDENC，.ADDNECCN 73第6题图DN DC，解得，解得CE .BM BC，MC BC1，MEMCCE .31ADDNCECN 34431CE 43341473第6题图
