1、微专题微专题7一阶一阶 模型模型回顾回顾知识关联如图，在勾股定理中我们学过如图，在勾股定理中我们学过“赵爽弦图赵爽弦图”，则有，则有AEDBFACGBDHC.图图如图，稍作变形，如图，稍作变形，DEAF交交AF于点于点H，得，得“十字模型十字模型”，则有，则有FBAEAD.图图一、正方形的十字模型一、正方形的十字模型模 型 分 析模 型 分 析已知正方形已知正方形ABCD，点，点E，F分别在分别在BC，CD上，上，AEBF于点于点G.模型结论：模型结论：ABEBCF【问题情境】【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：如图，在正方形数学活动课上，老师提出了一个问题：如图，在正方形ABCD中
2、，点中，点E，F分别是边分别是边BC，CD上的点，连接上的点，连接AE，BF，AE，BF相交于点相交于点G，请同学，请同学们结合图形提出自己的猜想并证明；们结合图形提出自己的猜想并证明；以下是小亮的猜想：以下是小亮的猜想：小亮：若小亮：若AEBF，则，则AEBF.(1)请帮助小亮证明他的猜想；请帮助小亮证明他的猜想；图图(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABBC，ABCBCD90，AEBF，BGE90，GBEGEB90，BAEGEB90，BAEGBE，在在ABE和和BCF中，中，ABEBCF(ASA)，AEBF；,BAECBFABBCABEBCF 图图十字模型十字模型【
3、类比探究】【类比探究】探究一：探究一：(2)如图如图，当点，当点E，F分别在正方分别在正方形形ABCD的边的边CB，DC的延长线上时，的延长线上时，(1)中小亮的猜想是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说中小亮的猜想是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；明理由；图图(2)解：解：成立，证明如下：成立，证明如下：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABBC，ABEBCF90，AEBF，BGE90，BAEABG90，CBFABG90，BAECBF，在在ABE和和BCF中，中，ABEBCF(ASA)，AEBF；图图,BAECBFABBCABEBCF 十字模型十字模型探
4、究二：探究二：(3)如图如图，将图，将图中线段中线段BF向上平移后得到线段向上平移后得到线段MN，试判断此时小亮，试判断此时小亮的猜想是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；的猜想是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)解：解：成立，成立，证明：如图，过点证明：如图，过点N作作NKAB于点于点K，四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABADKN，ABEBADMKN90，AEMN，AGM90，MAGAMG90，图图KMNKAMG90，MNKMAG，在在NKM和和ABE中，中，NKMABE(ASA)，MNAE；,MNKEABNKABNKMABE 图图K十字
5、模型十字模型二、矩形的十字模型二、矩形的十字模型模 型 分 析模 型 分 析已知矩形已知矩形ABCD，点，点E，F分别在分别在BC，CD上，上，AEBF于点于点G.模型结论：模型结论：ABEBCF.【知识迁移】【知识迁移】学习学习了正方形的十字模型，小唯提出了一个新的问题：了正方形的十字模型，小唯提出了一个新的问题：(4)如图如图，在矩形，在矩形ABCD中，中，CDm，BCn，点，点E，M，N分别是分别是BC，AB，DC上一点，连接上一点，连接AE，MN，AE，MN相交于点相交于点G，且，且AEMN，求，求 的值的值(用含用含m，n的式子表示的式子表示)AEMN(4)解：解：如图，过点如图，过
6、点N作作NKAB于点于点K，四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，BCKN，ABEBADMKN90，AEMN，AGM90，MAGAMG90，图图KMNKAMG90，MNKMAG，MNKEAB，.MNEANKABBCCDnmAEMNmn图图K解题关键点过点过点N作作NKAB于点于点K，证得，证得MNKEAB.十字模型十字模型二阶二阶 综合提升综合提升1.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB BC，点，点E是是BC边上一点，点边上一点，点F在在CD的的延长线上，且延长线上，且BE ，DF2，连接，连接EF交交AD于点于点G，点，点H是是AB边上一点，边上一点，过点过点H作作HNEF，分别交，
7、分别交EF，CD于点于点M，N，若，若CNAH ，则，则DN的长为的长为_343212第第1题图题图52解题关键点过点过点A作作HN的平行线，分别交的平行线，分别交CD，EF于点于点P，Q，证得，证得ADPFCE.2.如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，点中，点F是是AD上一点，将上一点，将CDF沿沿CF折叠，点折叠，点D落在点落在点G处，连接处，连接DG并延长交并延长交AB于点于点E.若若AB12，AE5，则，则EG的长的长为为_第第2题图题图49133.【教材背景】【教材背景】课本上有这样一道题目：如图课本上有这样一道题目：如图，在正方形，在正方形ABCD中，中，E是边是边AB的中点，
8、的中点，F是边是边BC的中点，连接的中点，连接CE，DF.发现其中发现其中CEDF.【拓展延伸】【拓展延伸】如图如图，在正方形，在正方形ABCD中，中，O为对角线为对角线BD上一点，连接上一点，连接AO并延长，交并延长，交DC于点于点E，过点，过点B作作BFAE于点于点G，交，交AD于点于点F，连接，连接FE，BE.第第3题图题图【问题解决】【问题解决】(1)若若DODE，求证：，求证：ABGOBG；(1)证明：证明：四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，ABDC，DEOBAO.又又DODE，DOEDEO，AOBDOEDEO，BAOBOA.BFAE，AGBOGB90，BGBG，ABGOBG(
9、AAS)；第第3题图题图(2)若若BF6，求四边形，求四边形AFEB的面积；的面积；第第3题图题图(2)解：解：四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，ABAD，BAFADE90.BFAE，AGB90，即，即BAGABG90.BADBAGGAD90，ABFDAE，ADEBAF(ASA)，AEBF.AEBF，S四边形四边形AFEB BF218；12解题关键点证得证得ADEBAF；BHC90，HBCHCB90.ABC90，ABGHBC90，HCBGBA，又又BHCAGB，BCAB，BHCAGB(AAS)，CHBG.CGCB，GHHB GB CH，1212(3)如图如图，连接，连接CG，若，若CGBC，求证：，求证：E是边是边DC的中点的中点(3)证明：证明：如图，过点如图，过点C作作CHBG于点于点H，第第3题图题图HtanHCB .由由(2)得得ADEBAF，DAEABF，BCHABGDAE，tanDAE .DCAD，即，即E是边是边DC的中点的中点BHHC1212DEADDEDC12第第3题图题图H解题关键点过点过点C作作CHBF于点于点H，证得，证得BHCAGB.
