1、函数微技能函数微技能一阶一阶微专题运动产生的特殊三角形问题微专题运动产生的特殊三角形问题(含菱形含菱形)例例1(1)如图如图，线段，线段AB与直线与直线l交于点交于点A，且，且AB不与直线不与直线l垂直，请在垂直，请在l上找一点上找一点P，使，使ABP为等腰三角形，请在图中画出所有符合要求的点为等腰三角形，请在图中画出所有符合要求的点P，保留作图痕迹，不写作法保留作图痕迹，不写作法例1题图考向一运动产生的等腰三角形考向一运动产生的等腰三角形(含菱形含菱形)【作法提示】以点【作法提示】以点A为圆心，为圆心，AB长为半径画圆，交直线长为半径画圆，交直线l于于P1，P2两点；两点；以点以点B为圆心，
2、为圆心，AB长为半径画圆，交直线长为半径画圆，交直线l于点于点P3；连接以上两圆的；连接以上两圆的交点作交点作AB的垂直平分线，直线与的垂直平分线，直线与l l的交点即为的交点即为P4.解：解：(1)如解图如解图，P1，P2，P3，P4即为所有满足要求的点即为所有满足要求的点例1题解图(2)如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为的坐标为(2，3)，在，在x轴正半轴上轴正半轴上有一点有一点B，使，使AOB为等腰三角形，且为等腰三角形，且BABO，则点，则点B的坐标为的坐标为_(3)如图，在平面直角坐标系中，已知点如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，B(4，0
3、)，若在，若在y轴上轴上取一点取一点C，使，使ABC为等腰三角形，则点为等腰三角形，则点C的坐标为的坐标为_例1题图(，0)134(0，0)或或(0，2)例1题图(4)如图，在平面直角坐标系中，已知点如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(4，0)，C(0，4)，点，点P是线段是线段BC上一动点，当以上一动点，当以A，C，P为顶点的三角形是等腰三为顶点的三角形是等腰三角形时，则点角形时，则点P的坐标为的坐标为_例1题图(1，3)或或 (，)5 2285 22 1.确定点的位置确定点的位置：已知线段已知线段AB，在平面内找一点，在平面内找一点P，使得，使得ABP为等为等腰三角形，这样的
4、点腰三角形，这样的点P位置有以下两种情况：位置有以下两种情况：(1)以以AB为腰：点为腰：点P在分别以点在分别以点A、B为圆心，为圆心，AB长为半径的圆上，长为半径的圆上，AB直线上的点除外直线上的点除外；(2)以以AB为底：点为底：点P在在AB的垂直平分线上，的垂直平分线上，AB直线上的点除外直线上的点除外满 分 技 法满 分 技 法2.求点求点P坐标的方法如下：坐标的方法如下：分别表示出点分别表示出点A、B、P的坐标，再根据勾股定理表示出线段的坐标，再根据勾股定理表示出线段AB、BP、AP的长度，由的长度，由ABAP，ABBP，BPAP列方程解出坐标列方程解出坐标设问设问突破突破二阶二阶例
5、2题图例例2 如图，已知抛物线如图，已知抛物线y x2 x2与与x轴交轴交于于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，顶点为，顶点为M，对称轴与，对称轴与x轴交于点轴交于点N.(1)若若y轴上一点轴上一点D的坐标为的坐标为(0，)，试判断，试判断ABD的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；一题多设问一题多设问72343【思维教练】由于点【思维教练】由于点A、B、D三点的坐标确定，三点的坐标确定，可根据勾股定理分别计算出三条线段的长，可根据勾股定理分别计算出三条线段的长，进行比较分析即可进行比较分析即可解：解：(1)ABD为等腰三角形为等腰三角形理由如下：理由如下：A(1，0)，B(3，0
6、)，D(0，)，AD 2 ，BD 4，AB314，ABBD，ABD是等腰三角形；是等腰三角形；7 2217 2 2237 例2题图(2)在抛物线上是否存在一点在抛物线上是否存在一点P，使得，使得PCO是以是以OC为底的等腰三角形，为底的等腰三角形，若存在，请你求出点若存在，请你求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；的横坐标；若不存在，请说明理由；例2题图【思维教练】由于点【思维教练】由于点P在抛物线上，在抛物线上，PCO是以是以OC为底的等腰三角形，为底的等腰三角形，所以点所以点P在在OC的垂直平分线上，即点的垂直平分线上，即点P的纵坐标为的纵坐标为1，将将y1代入抛物代入抛物线表达式求解即
7、可线表达式求解即可(2)存在点存在点P的横坐标为的横坐标为1 或或1 ；如解图，作如解图，作CO的垂直平分线交抛物线于点的垂直平分线交抛物线于点P和点和点P，交，交CO于点于点D.连接连接CP，OP，OP，CP，则，则POC和和PCO是以是以OC为底的等腰三角形为底的等腰三角形令令x0，则，则y2，C(0，2)，OC2.COP是以是以CO为底的等腰三角形，为底的等腰三角形，C(0，2)，CDDO1，当当y1时，时，x2 x21，1022310243例2题解图解得解得x1 或或x1 ，点点P的横坐标为的横坐标为1 ，点，点P的横坐标为的横坐标为1 .即存在点即存在点P使得使得PCO是以是以OC为
8、底的等腰三角形，点为底的等腰三角形，点P的横坐标为的横坐标为1 或或1 .102102102102102102例2题解图(3)在抛物线的对称轴上是否存在点在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得，使得BMQ是以是以BQ为腰的等腰三为腰的等腰三角形，若存在，请你求出点角形，若存在，请你求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例2题图【思维教练】分【思维教练】分BQQM和和BQMB两种情况，利用点的坐标即可求解两种情况，利用点的坐标即可求解(3)存在存在y x2 x2，抛抛物线对称轴物线对称轴为直线为直线x 1，点，点B的的坐标坐标为为(3，0)，M(1，)设点设点Q的坐标
9、为的坐标为 Q(1，t)，BQ ，QM|t|，MB .BMQ 是以是以 BQ 为腰的等腰三角形，为腰的等腰三角形，分两种情况讨论：分两种情况讨论：23 222314tt432ba8383103 228313例2题图 当当BQQM时，即时，即|t|，解得，解得t ，此时点此时点Q的的坐标为坐标为(1，)；当当BQMB时，即时，即 ，解得，解得 t (t 不符合题意，舍不符合题意，舍去去)，此时点此时点 Q 的坐标为的坐标为(1，)综上所述，点综上所述，点 Q 的坐标为的坐标为(1,)或或(1，)；71221043t 8383837122843t 71283例2题图(4)在在x轴上是否存在一点轴上
10、是否存在一点E，使得，使得ACE是等腰三角形，若存在，请你是等腰三角形，若存在，请你求出点求出点E的横坐标；若不存在，请说明理由的横坐标；若不存在，请说明理由例2题图【思维教练】先设出点【思维教练】先设出点 E的坐标，的坐标，由于由于ACE是等腰三角形，可分为是等腰三角形，可分为三种情况讨论三种情况讨论：AEAC,ACCE，AECE，当当AEAC时还时还要注意点要注意点E分别在点分别在点A的两侧两种情况的两侧两种情况(4)存在点存在点E的横坐标为的横坐标为 1或或 1或或1或或 .点点E在在x轴上，轴上，设点设点E的坐标为的坐标为(m，0)由题由题意意得点得点C的坐标为的坐标为(0，2)，点，
11、点A的坐标为的坐标为(1，0)，AC ，ACE是等腰三角形，是等腰三角形，分以下三种情况：分以下三种情况：当当AEAC时，时，a.当点当点E在点在点A的右侧时，的右侧时，AEAC ，则，则EO 1，点点E的横坐标为的横坐标为 1；b当点当点E在点在点A的左侧时，的左侧时，55555532例2题图AEAC ，则，则EO 1，点点E的横坐标是的横坐标是 1；当当ACCE时，时，COAE，点点E在在AO右侧的延长线上，且右侧的延长线上，且AOEO，点点E的横坐标为的横坐标为1；当当AECE时，则点时，则点E为为AC的垂直平分线与的垂直平分线与x轴的交点轴的交点AE1m，OEm，555例2题图AE2(
12、1m)2.点点C的坐标为的坐标为(0，2)，OC2.在在RtCOE中，中，CE2OE2OC2，CE222m2.CEAE，22m2(1m)2，解得，解得m .点点E的横坐标为的横坐标为 .综上所述，点综上所述，点E的横坐标为的横坐标为 1或或 1或或1或或 .32325532例2题图考向二运动产生的直角三角形问题考向二运动产生的直角三角形问题函数微技能函数微技能一阶一阶例例3(1)如图，线段如图，线段AB在直线在直线l上方，在直线上方，在直线l上是否存在一点上是否存在一点P，使，使PAB是直角三角形？请在图中画出所有符合条件要求的点是直角三角形？请在图中画出所有符合条件要求的点P，并说明，并说明
13、画图依据；画图依据；例3题图解：解：(1)存在点存在点P，使，使PAB是直角三角形，如解图中点是直角三角形，如解图中点P1，P2，P3，P4即即为满足条件的点为满足条件的点P.画图依据：画图依据：AB作为直角边：分别过点作为直角边：分别过点A，B作线段作线段AB的垂线，交直线的垂线，交直线l于点于点P1，P2；AB作为斜边：以作为斜边：以AB为直径画圆，交直线为直径画圆，交直线l于点于点P3，P4，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形例3题解图(2)如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是的坐标分别是(3，0)，(0
14、，4)点点P为为y轴上一点，使轴上一点，使PAB为直角三角形，求点为直角三角形，求点P的坐标；的坐标；例3题图(2)设点设点P(0，p)，分两种情况讨论：，分两种情况讨论：当当AB为直角边时，只存在点为直角边时，只存在点A为直角顶点的情况为直角顶点的情况A(3，0)，B(0，4)，AB2324225，AP232p29p2，BP2(4p)2.根据勾股定理得根据勾股定理得AB2AP2BP2，即即259p2(4p)2，解得，解得p .P(0，)；9494当当AB为斜边时，同理可得为斜边时，同理可得AB2AP2BP2，即，即259p2(4p)2，解得解得p0或或p4(不符合题意，舍去不符合题意，舍去)
15、，P(0，0)综上所述，点综上所述，点P的坐标为的坐标为(0，)或或(0，0)94例3题图(3)如图，在平面直角坐标系中，已知点如图，在平面直角坐标系中，已知点A(5，0)，B(0，5)，在直，在直线线x3上取点上取点C，使得，使得ABC为直角三角形，求满足条件的点为直角三角形，求满足条件的点C的坐的坐标标例3题图(3)点点C在直线在直线x3上，上，设设C(3，y)，A(5，0)，B(0，5)，AB250，AC24y2，BC29(y5)2y210y34，分三种情况讨论：分三种情况讨论：当当ACB90时，则时，则AB2AC2BC2，即，即504y2y210y34，解得解得y6或或y1，此时点，此
16、时点C的坐标为的坐标为(3，6)或或(3，1)；当当ABC90时，则时，则AC2AB2BC2，即，即4y250y210y34，解得解得y8，此时点，此时点C的坐标为的坐标为(3，8)；当当BAC90时，则时，则BC2AB2AC2，即即y210y34504y2，解得，解得y2，此时点此时点C的坐标为的坐标为(3，2)综上所述，点综上所述，点C的坐标为的坐标为(3，6)或或(3，1)或或(3，8)或或(3，2)例3题图满 分 技 法满 分 技 法1.确定点的位置：已知线段确定点的位置：已知线段AB，在平面内找一点在平面内找一点P，使使ABP为直角三为直角三角形，这样的点角形，这样的点P位置有以下三
17、种情况：位置有以下三种情况：(1)以以A为直角顶点为直角顶点，AB为直角边为直角边，点点P在过点在过点A与与AB垂直的直线上垂直的直线上；(2)以以B为直角顶点为直角顶点，AB为直角边为直角边，点点P P在过点在过点B与与AB垂直的直线上垂直的直线上；(3)以点以点P为直角顶点为直角顶点，AB为斜边，点为斜边，点P在以在以AB为直径的圆上为直径的圆上2.求点求点P坐标的方法如下坐标的方法如下：分别表示出点分别表示出点A、B、P的坐标的坐标，再根据勾股定理表示出线段再根据勾股定理表示出线段AB、BP、AP的长度的长度，由由AB2BP2AP2，BP2AB2AP2，AP2AB2BP2列方程解出坐标列
18、方程解出坐标满 分 技 法满 分 技 法例例4 如图，已知抛物线如图，已知抛物线y x2 x2与与x轴交于轴交于A，B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，连接，连接AC、BC，对称轴为直线，对称轴为直线l，顶点为，顶点为M.(1)若点若点P是是y轴上一点，且轴上一点，且PAC90，求点，求点P的坐标；的坐标；突破设问突破设问二阶二阶一题多设问一题多设问例4题图【思维教练】当【思维教练】当PAC90时，易得时，易得PAOACO，根据相等两角根据相等两角的正切值也相等求解即可的正切值也相等求解即可1232解：解：(1)将将y0代入代入y x2 x2，解得，解得x4或或x1.A(1，0)，B(4，
19、0)令令x0.代入得点代入得点C(0，2)，OA1，OC2.如解图，过点如解图，过点A作作APAC交交y轴于点轴于点P.PAOOAC90，AOC90，OACACO90，PAOACO，tanPAOtanACO ，OA1，PO ，即点，即点P的坐标为的坐标为(0，)；123212AOCO=12POAO=1212例4题解图【思维教练】由于点【思维教练】由于点G在在x轴上，可知轴上，可知COG90，要让它为等腰要让它为等腰 直角三角形，则需要分为当点直角三角形，则需要分为当点G在在x正半轴和负半轴两种情况讨论正半轴和负半轴两种情况讨论.例4题图(2)若点若点G是是x轴上一点，当轴上一点，当OCG为等腰
20、直角三角形时，求点为等腰直角三角形时，求点G的坐标；的坐标；(2)由由(1)可知，点可知，点C的坐标为的坐标为(0，2)OC2.点点G在在x轴上，轴上，当当OCG为等腰直角三角形时，分点为等腰直角三角形时，分点G在在x轴正半轴和负半轴两种情况轴正半轴和负半轴两种情况讨论：讨论：当点当点G在在x轴正半轴时，轴正半轴时，OCOG，OG2.点点G的坐标为的坐标为(2，0)；例4题图 当点当点G在在x轴负半轴时，轴负半轴时，OCOG，OG2.点点G的坐标为的坐标为(2，0)当点当点G是是x轴上一点，轴上一点，OCG为等腰直角三角形时，为等腰直角三角形时，点点G的坐标为的坐标为(2，0)或或(2，0)；
21、例4题图(3)若点若点P是抛物线上一点，是否存在点是抛物线上一点，是否存在点P，使，使PBC是以是以BC为直角边的为直角边的直角三角形，若存在，请你求出点直角三角形，若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例4题图【思维教练】因为【思维教练】因为PBC是直角三角形，是直角三角形，BC为直角边，则分点为直角边，则分点B、点点C为直角顶点两种情况求解即可为直角顶点两种情况求解即可(3)存在，满足条件的点存在，满足条件的点P的坐标为的坐标为(5，18)或或(1，0)设直线设直线BC表达式为表达式为ykxb，将，将B(4，0)，C(0，2)代入，代入，得得 解得
22、解得直线直线 BC 的表达式为的表达式为y x2，BC是是RtPBC 的直角边，的直角边，分两种情况讨论；分两种情况讨论；当点当点 B 是直角顶点时，设是直角顶点时，设 PB 所在直线的表达式为所在直线的表达式为 y2xn，将点将点 B(4，0)代入，解得代入，解得 n8，PB 所在直线的表达式为所在直线的表达式为 y2x8，042kbb 1=22kb 12例4题图联立联立 ，即，即x2x200，解得解得x4(舍去舍去)或或 x5，此时点，此时点P(5，18)；当点当点 C 是直角顶点时，设是直角顶点时，设 PC 所在直线的表达式为所在直线的表达式为 y2xn，将点将点 C(0，2)代入，解得
23、代入，解得 n2，PC 所在直线的表达式为所在直线的表达式为 y2x2，联立联立 ，即，即 x2x0，解得解得 x1 或或 x0(舍去舍去)，此时点，此时点 P(1，0)综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点 P 的坐标为的坐标为(5，18)或或(1，0)；2132,2228yxxyx 2132,2222yxxyx 例4题图(4)若点若点N是对称轴是对称轴l上一点，是否存在点上一点，是否存在点N使得使得NBC是直角三角形，若是直角三角形，若存在，请你求出点存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由例4题图【思维教练】因为点【思维教练】因为点N是对称轴是对称
24、轴l上一点，当上一点，当NBC是直角三角形时，需是直角三角形时，需分分NCB，NBC，BNC为直角三种情况进行讨论，进而求解为直角三种情况进行讨论，进而求解(4)存在，由存在，由(1)得抛物线的对称轴得抛物线的对称轴 l：x ，点点N在对称轴在对称轴l上，上，设点设点 N 的坐标为的坐标为(，t)，则，则CN2()2(2t)2，BN2(4 )2t2，BC220，当当NBC是直角三角形时，分以下三种情况：是直角三角形时，分以下三种情况：当当NCB90时，时，NC2BC2NB2，即即()2(2t)220(4 )2t2，解得，解得t5；3321222 3232323232例4题图当当NBC90时，时，NB2BC2NC2，即即(4 )2t220()2(2t)2，解得，解得t5；当当BNC90时，时，NB2NC2BC2，即即(4 )2t2()2(2t)220，解得，解得t 或或t .综上所述，当综上所述，当NBC 是直角三角形时，点是直角三角形时，点 N 的坐标为的坐标为(，5)或或(，5)或或(，)或或(，)2192 2192 2192 32323232323232322192 例4题图
