1、微技能微技能一阶一阶例例1如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为的坐标为(1，0)，点，点A在第一象在第一象 限，且限，且ABx轴于点轴于点B，若，若AOB30，则点，则点A的坐标为的坐标为_.例1题图(1，)33例例2如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为的坐标为(1，0)，点，点B的坐标的坐标为为(2，0)，点，点P为直线为直线y1上一点，若上一点，若APB90，则点，则点P的坐标为的坐标为 _例2题图(，1)或或(，1)152 152 例例3如图，在平面直角坐标系中，已知点如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为的坐标为(2，3)
2、，过点，过点A作作ABx轴于点轴于点B，点，点C为直线为直线AB上一点，上一点，(1)当当OC平分平分AOB时，点时，点C的坐标为的坐标为_；(2)当当ACOAOB时，点时，点C的坐标为的坐标为_；(3)当当OCB2A时，点时，点C的坐标为的坐标为_例3题图21 343(0，)133(2，)或或(2，)5656满 分 技 法满 分 技 法1.若所求角度为若所求角度为90，一般将其放在直角三角形中，利用勾股定理列方，一般将其放在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解；或利用相似或全等三角形的性质求解；程求解；或利用相似或全等三角形的性质求解；2.若所求角度为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角
3、度转化为若所求角度为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为特殊角，再结合锐角三角函数求解；特殊角，再结合锐角三角函数求解；3.若探究角度之间的等量关系，常考虑将角放在直角三角形中，通过解若探究角度之间的等量关系，常考虑将角放在直角三角形中，通过解直角三角形求解直角三角形求解设问突破设问突破二阶二阶例例4 如图，抛物线如图，抛物线y x2 x3 与与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，连接，连接BC，抛物线顶点为，抛物线顶点为M，对称轴与对称轴与x轴交于点轴交于点E.一题多设问一题多设问392 333(1)在抛物线的对称轴上，是否存在点在抛物线的对称轴上，是否存在
4、点P，使得，使得CPB90，若存在，若存在，求点求点P的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例4题图【思维教练】要使得【思维教练】要使得CPB90，根据等角的余角相等，从而过点，根据等角的余角相等，从而过点C作作ME的垂线，构造相似三角形，列比例式并求解，或设出点的垂线，构造相似三角形，列比例式并求解，或设出点P的坐标，的坐标，利用坐标表示出线段长，利用勾股定理列等式求解利用坐标表示出线段长，利用勾股定理列等式求解例4题解图解：解：(1)存在由题意可知，抛物线的对称轴为直线存在由题意可知，抛物线的对称轴为直线x3.A(3，0)，B(9，0)，C(0，3 )，如解图，过点如
5、解图，过点C作作CTME于点于点T，设点设点P的坐标为的坐标为(3，e)，则则CT3，BE6，PT|e3|，PE|e|，CPB90，33CPTEPB90.CTP90，TCPCPT90，例4题解图 EPBTCP.CTPPEB90，CTPPEB，即即 ，当当e0或或e3 时，时，CTPTPEBE ee3 336 3整理得整理得e23 e180，解得，解得e1 ，e2 当当0e3 时，时，整理得整理得e23 e180，方程无解，方程无解，综上所述，点综上所述，点P的坐标为的坐标为(3，)或或(3，)；例4题解图 33 33 112 3 33 11,2 333 33 112 3 33 112(2)已知
6、点已知点P是抛物线上一动点，是否存在点是抛物线上一动点，是否存在点P，使得，使得PCBPBC，若存在，求点若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】由【思维教练】由PCBPBC可知，点可知，点P为线段为线段BC的垂直平分线与抛的垂直平分线与抛物线的交点，作线段物线的交点，作线段BC的垂直平分线的垂直平分线SL，利用待定系数法求出，利用待定系数法求出SL的解的解析式，联立即可求得点析式，联立即可求得点P的坐标的坐标(2)存在由存在由(1)得，点得，点B(9，0)，点，点C(0，3 )，设设BC的中点为的中点为S，BC的中点的中点S的坐标为的坐标为(，)
7、，3923 32如解图，过点如解图，过点S作作SLBC，交，交x轴于点轴于点L，交抛物线于点，交抛物线于点P，连接，连接AC，此，此时点时点P即为所求，即为所求，OC3 ，OA3，OB9，AC6，BC6 ，则则ACOCBO30，BS BC3 ，6，OLOBBL963，则点，则点L的坐标为的坐标为(3，0)，设直线设直线SL的解析式为的解析式为ykxt(k0)，例4题解图33312BSBLSBL3 3coscos30 将点将点L，S的坐标代入，的坐标代入，得得 解得解得直线直线SL的解析式为的解析式为y x3 ，联立联立 解得解得 或或综上所述，点综上所述，点P的坐标为的坐标为(6，3 )或或(
8、9，12 )；30,93 3,22ktkt 3,3 3,kb 232 33 3,9333 3,yxxyx 116,3 3,xy 33229,12 3,xy 33例4题解图(3)点点P是抛物线上一个动点，连接是抛物线上一个动点，连接MP，过点，过点P作作PQy轴，交直线轴，交直线BC于于点点Q，若，若MPQ2PME，求点，求点P的坐标；的坐标；【思维教练】由点【思维教练】由点P的位置不确定，可分点的位置不确定，可分点P在点在点Q下方和点下方和点P在点在点Q上上方两种情况进行讨论，当点方两种情况进行讨论，当点P在点在点Q下方时，下方时，PMEMPQ，不符合，不符合题设条件，排除，当点题设条件，排除
9、，当点P在点在点Q上方时，由已知易得上方时，由已知易得PQME，MPQPME180，进行求解即可，进行求解即可例4题图(3)MEy轴，轴，PQy轴，轴，MEPQ.如解图，当点如解图，当点P在点在点Q的下方时，的下方时，PMEMPQ，此时不符合题设，此时不符合题设条件；条件；如解图，设如解图，设ME交交BC于点于点F，当点，当点P在点在点Q的上方时，的上方时，PMFMPQ180，MPQ2PMF，PMF60.当点当点P在点在点M的右侧时，的右侧时，由由(2)知，知，CBO30，BFE60，例4题解图例4题解图PMFBFE，MPFQ.易得直线易得直线BC的解析式为的解析式为y x3 ，设直线设直线M
10、P的解析式为的解析式为y xp，将将x3代入抛物线方程，得代入抛物线方程，得M(3，4 )，将点将点M(3，4 )代入，得代入，得 3p4 ，解得解得p5 ，33333333333例4题解图直线直线MP的解析式为的解析式为y x5 ，联立联立 解得解得 ，(舍去舍去)此时点此时点P的坐标为的坐标为(6，3 )；333232 33 3,9335 3,3yxxyx 116,3 3,xy 223,4 3,xy 3如解图，当点如解图，当点P在点在点M的左侧时，的左侧时，延长延长MP交交x轴于点轴于点K，则则MKE30，KME60，例4题解图 KE ME4 12，KOKEOE9，点点K的坐标为的坐标为(
11、9，0)，易得直线易得直线MK的解析式为的解析式为y x3 ，直线直线MK与抛物线的交点为点与抛物线的交点为点C和点和点M，即此时点即此时点P和点和点C、Q重合，重合，MPQ不存在，不存在，舍去舍去333333综上所述，点综上所述，点P的坐标为的坐标为(6，3 )；3例4题解图(4)点点P为为y轴上一点，连接轴上一点，连接BP，是否存在点，是否存在点P使得使得OBCOBP45，若存在，求出点，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由【思维教练】根据【思维教练】根据OBCOBP45可知作线段可知作线段BC的垂线，构造的垂线，构造等腰直角三角形可求出等腰直角三角形可
12、求出PD的长，再根据面积公式求出点的长，再根据面积公式求出点P的坐标，最后的坐标，最后根据对称性可求得另外一点坐标根据对称性可求得另外一点坐标例4题图例4题解图(4)存在如解图，存在如解图，作作PDBC交交BC于点于点D，设，设P(0，n)，由由(2)可知点可知点B的坐标为的坐标为(9，0)，BC6 ，PB22281,OPOBn 3例4题解图PBD45，PD PB SBCP BCPD OBCP，6 9(3 n)，化简得化简得n218 n810，解得解得n19 18(舍去舍去)，n29 18，P(0，9 18)；222281,2n 121212n22812 31233333如解图，作点如解图，作
13、点P关于关于x轴的对称点轴的对称点P1，则则OBPOBP1，OBP1OBC45，OP1OP189 ，P1(0，189 )例4题解图33综上所述，点综上所述，点P的坐标为的坐标为(0，9 18)或或(0，189 )33对 接 中 考对 接 中 考如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x22x经过坐标原点，与经过坐标原点，与x轴轴正半轴交于点正半轴交于点A，该抛物线的顶点为，该抛物线的顶点为M，直线，直线y xb经过点经过点A，与，与y轴交于点轴交于点B，连接，连接OM.(1)求求b的值及点的值及点M的坐标；的坐标；1213(1)解：解：y x22x (x3)23，顶
14、点顶点M的坐标为的坐标为(3，3)令令y x22x中中y0，得，得x10，x26，A(6，0)131313直线直线y xb经过点经过点A，3b0，b3；12(2)将直线将直线AB向下平移，得到过点向下平移，得到过点M的直线的直线ymxn，且与，且与x轴负半轴轴负半轴交于点交于点C，取点，取点D(2，0)，连接，连接DM，求证：，求证：ADMACM45；(2)证明：证明：直线直线ymxn由直线由直线y x3平移得到，平移得到，m .直线直线y xn过点过点M(3，3)，n3，解得，解得n .平移后的直线平移后的直线CM的解析式为的解析式为y x .12121232321232如解图，过点如解图，
15、过点D作作DHCM于点于点H，设直线设直线DH的解析式为的解析式为y2xk，将点，将点D(2，0)代入，得代入，得4k0，k4，直线直线DH的解析式为的解析式为y2x4.联立联立 解得解得H(1，2)D(2，0)，H(1，2)，题解图13,2224,yxyx 1,2,xy DH .M(3，3)，D(2，0)，DM ，sinDMHDMH45.ACMDMHADM，ADMACM45；题解图10552,210DHDM (3)点点E是线段是线段AB上一动点，点上一动点，点F是线段是线段OA上一动点，连接上一动点，连接EF，线段，线段EF的延长线与线段的延长线与线段OM交于点交于点G.当当BEF2BAO时
16、，是否存在点时，是否存在点E，使，使得得3GF4EF？若存在，求出点？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由(3)解：存在解：存在如解图，过点如解图，过点G作作GPx轴于点轴于点P，过点，过点E作作EQx轴于点轴于点Q，BEF2BAO，BEFBAOAFE，BAOAFE.AEFGFP，tanBAOtanGFPtanEFQ31,62OBOA 1,2题解图题解图GPEQ，设设GP4K，EQ3K，则则OPGP4K，PF8K，FQAQ6K，OFAF12K3，K ，OF3，FQAQ ，EQ ，OQ ，4,3GFGPEFEG 32143492E(，)，当当BEF2BAO时，存在点时，存在点E，使得，使得3GF4EF，此时点此时点E的坐标为的坐标为(，)34923492题解图
