1、题型四类比、拓展探究题题型四类比、拓展探究题(10年年8考考)【题型解读】近【题型解读】近10年考查年考查8次，其考查类型和频次为：次，其考查类型和频次为：与图形旋转与图形旋转有关的探究考查有关的探究考查6次；次；与动点有关的探究考查与动点有关的探究考查2次次类型一与图形旋转有关的探究类型一与图形旋转有关的探究典例精讲典例精讲例例1(1)观察猜想观察猜想如图如图，在，在RtABC中，中，ACB90，ACBC,在在RtBDE中，中，BDE90，BDDE，连接，连接AE，取，取AE边的中点边的中点P，连接，连接DP、CP.例1题图填空：填空：DP与与CP的数量关系是的数量关系是_；DP与与CP的位
2、置关系是的位置关系是_；【思维教练】【思维教练】要求要求DP与与CP的数量关系，通过直角三角形的性质：的数量关系，通过直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CP AE，DP AE，即，即可求解；可求解；要求要求DP与与CP的位置关系，的位置关系，即求即求DPC的度数，通过等腰三角形性质的度数，通过等腰三角形性质和三角形的内外角关系，得到和三角形的内外角关系，得到DPC2BAC，通过题干得到通过题干得到BAC的度数，即可求解的度数，即可求解1212例1题图【解法提示】【解法提示】ACB90，点，点P为为AE的中点，的中点，PC为为RtAEC斜边
3、斜边AE的中线，的中线，CP AE，同理可证，同理可证，DP AE，DPCP；DPE2DAE，CPE2CAE，ACBC，BAC45，DPC2BAC90，DPCP.1212填空：填空：DP与与CP的数量关系是的数量关系是_；DP与与CP的位置关系是的位置关系是_；DPCPDPCP例1题图(2)类比探究类比探究把把BDE绕点绕点B逆时针旋转逆时针旋转45至如图至如图的位置，的位置，(1)中的结论是否仍中的结论是否仍然成立？若成立，请就图然成立？若成立，请就图的情形给出证明；若不成立，请说明理由；的情形给出证明；若不成立，请说明理由；例1题图【思维教练】要求【思维教练】要求DP与与CP的数量关系和位
4、的数量关系和位置关系，过点置关系，过点P作作AC的垂线，并构造出的垂线，并构造出DP与与PC所在的两个直角三角形，结合旋转的所在的两个直角三角形，结合旋转的性质可证明性质可证明DP和和PC所在的两个三角形全等，所在的两个三角形全等，即可求解即可求解(1)中的结论仍然成立中的结论仍然成立证明：如解图证明：如解图，过点，过点P作作MNAC于点于点N，交，交BD的延长线于点的延长线于点M，易得四边形易得四边形BCNM为矩形，为矩形，CNBM.等腰等腰RtBDE绕点绕点B逆时针旋转逆时针旋转45，MBA45，MPBM，MPCN，例1题解图NMEDB90，PMB90，DEMN，点点P为为AE的中点，的中
5、点，APEP PN MD，MDPN，DMPPNC90，PMDCNP，DPCP，DPMPCN，PCNCPN90，DPMCPN90，DPC90，DPCP；例1题解图NMPEBEMDBD2 22(3)问题解决问题解决若若BC3BD3 ，将图，将图中中BDE绕点绕点B在平面内自由旋转，当在平面内自由旋转，当BEAB时，直接写出线段时，直接写出线段CP的长的长2例1题图【思维教练】分【思维教练】分BDE在在BC的上方和下方的上方和下方两种情况讨论，利用两种情况讨论，利用(2)中的结论可得中的结论可得PCD为等腰直角三角形，结合题意即可求解为等腰直角三角形，结合题意即可求解【解法提示】分两种情况讨论：【解
6、法提示】分两种情况讨论：如解图如解图，由由(2)可知可知DPCP，DPCP，PCD为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，BC3BD3 ，CDBDBC4 ，PC4；22例1题解图例1题解图如解图如解图，由，由(2)可知可知DPCP，DPCP，PCD为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，BC3BD3 ，CDBCBD2 ，CP2.综上所述，综上所述，CP的长为的长为4或或2.22(3)CP的长为的长为4或或2.类型二与动点有关的探究类型二与动点有关的探究典例精讲典例精讲例例1如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，点中，点E，F分别在射线分别在射线CD，BC 上，且上，且BFCE，过点，过点C作作CGE
7、F，垂足为点，垂足为点G，CG交射线交射线DB于点于点H.(1)如图如图，当点，当点E是线段是线段CD的中点，点的中点，点 F在线段在线段BC上时，线段上时，线段CH与与EF之间的数量关系为之间的数量关系为_；例1题图【思维教练】要求【思维教练】要求CH与与EF之间的数量关系，观察图象可知，故考虑之间的数量关系，观察图象可知，故考虑CH，EF与与BD之间的数量关系，利用三角形中位线的性质即可求出之间的数量关系，利用三角形中位线的性质即可求出EF BD，再利用直角三角形中线的性质可求出，再利用直角三角形中线的性质可求出CH BD，等量代，等量代换即可求出线段换即可求出线段CH与与EF之间的数量关
8、系之间的数量关系1212例1题图【解法提示】【解法提示】点点E是线段是线段CD的中点，的中点，CEED.BCCD，BFCE，BFCF，EFBD，EF BD.CGEF，CHBD.四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，CH BD，CHEF.1212(1)如图如图，当点，当点E是线段是线段CD的中点，点的中点，点 F在线段在线段BC上时，线段上时，线段CH与与EF之间的数量关系为之间的数量关系为_；例1题图CHEF(2)如图如图，当点，当点E，F分别在线段分别在线段CD，BC的延长线上时，判断的延长线上时，判断(1)中中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明的结论是否仍然成立
9、？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；理由；例1题图例1题图【思维教练】在【思维教练】在CE上截取上截取CMCF，通过构造，通过构造HBCFME，利，利用全等三角形的性质即可证得用全等三角形的性质即可证得CHEF.证明：如解图证明：如解图，在，在CE上截取上截取CMCF，连接，连接MF，(2)成立成立MBFCE，BFCFCECM，BCEM.FCM90，FCMC，CMF45，FME135.DBC45，HBC135，HBCFME.CGEF，CGE90，CEGECG90.HCBBCDECG180，BCD90，HCBECG90，HCBGEC，HBCFME(ASA)，CHEF；例1题图M(3)
10、已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为6，BH2 ，请直接写出线段，请直接写出线段EF的长的长.2备用图【思维教练】分点【思维教练】分点H在对角线在对角线BD上和点上和点H在在DB的延长线上两种情况进行讨论的延长线上两种情况进行讨论例题解图例题解图【解法提示】如解图【解法提示】如解图和解图和解图，连接，连接AC交交BD于点于点O，则，则OBOC3 ，2OHOBBH，OH3 2 .在在OHC中，中，COH90，由勾股定理得由勾股定理得CH .四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，BCCD，HBC45.分两种情况讨论：分两种情况讨论：如解图如解图，当点，当点H在对角线在对角线BD上时，上时
11、，延长延长DC至点至点M，使，使CMCF，连接连接FM.例题解图 OHOC222223 22 5 222CFCM，FME45.CGEF，CFEHCF90，又又CEFCFE90，CEFHCB.BFCE，CFCM，BCEM，BHCMFE，EFCH2 ；例题解图5如解图如解图，当点，当点H在线段在线段DB的延长线上时，的延长线上时，例题解图OHOBBH，OH3 2 5 .在在OHC中，中，COH90，由勾股定理得由勾股定理得CH ，由由(2)得得EFCH，EFCH2 .综上所述，综上所述，EF的长为的长为2 或或2 .222 OHOC22225 23 22 17 17517类型三与折叠、平移有关的探
12、究类型三与折叠、平移有关的探究典例精讲典例精讲例例1在矩形在矩形ABCD中，中，BC CD，点，点E、F分别是边分别是边AD、BC上的动上的动点，且点，且AECF，连接，连接EF，将矩形，将矩形ABCD沿沿EF折叠，点折叠，点C落在点落在点G处，处，点点D落在点落在点H处处3(1)如图如图，当，当EH与线段与线段BC交于点交于点P时，时，求证：求证：PEPF；例1题图【思维教练】由折叠的性质可得【思维教练】由折叠的性质可得PEFFED，由矩形的性质可得，由矩形的性质可得ADBC，进而得到，进而得到FEDEFP，通过等量代换可得，通过等量代换可得PEFEFP，进而通过等角对等边即可求证，进而通过
13、等角对等边即可求证PEPF.(1)证明：根据折叠性质，证明：根据折叠性质，PEFFED，ADBC，FEDEFP，PEFEFP，PEPF；例1题图(2)如图如图，当点，当点P在线段在线段CB的延长线上时，的延长线上时，GH交交AB于点于点M，求证：，求证：点点M在线段在线段EF的垂直平分线上；的垂直平分线上；例1题图【思维教练】由矩形的性质及折叠的性质，结【思维教练】由矩形的性质及折叠的性质，结合题目条件可得合题目条件可得EHBF，由，由(1)进而可得进而可得PHPB，再通过构造，再通过构造RtMHERtMBF可得可得MEMF，进而可证点，进而可证点M在线段在线段EF的垂直平分线的垂直平分线上上
14、ADBC，AECF，EDBF，EHBF，又又由由(1)知知PEPF，PHPB，PHMPBM90，PM是公共边，是公共边，RtPHMRtPBM，HMBM，RtMHERtMBF，MEMF，点点M在线段在线段EF的垂直平分线上；的垂直平分线上；(2)证明：如解图证明：如解图，连接，连接PM、EM、FM，例1题解图(3)当当AB5时，在点时，在点E由点由点A移动到移动到AD中点的过程中，计算出点中点的过程中，计算出点G运运动的路线长动的路线长备用图【思维教练】通过观察可知，点【思维教练】通过观察可知，点E从点从点A移动到移动到AD中点的过程中，点中点的过程中，点G运动的路线是以矩形中运动的路线是以矩形
15、中心到点心到点C的距离为半径的圆周长的的距离为半径的圆周长的 ，进而通过，进而通过弧长公式即可求出点弧长公式即可求出点G运动的路线长运动的路线长13(3)解：如解图解：如解图，连接，连接AC，BD，交点为，交点为O，连接，连接OG，点，点E从点从点A移移动到动到AD中点的过程中，点中点的过程中，点G运动路径是运动路径是 ，在在RtBCD中，中，BC CD，tanCBD ，CBD30，ABO60，AOB是等边三角形，是等边三角形，OBOCAB5，BOC120，点点G运动的路线长运动的路线长 .例1题解图BC333 1205180 103例例2综合与探究综合与探究问题情境问题情境在数学活动课上，老
16、师让同学们准备两张全等的直角三角形纸片，在数学活动课上，老师让同学们准备两张全等的直角三角形纸片，RtABCRtDEF，ACDF6 cm，BCEF8 cm，ACBDFE90.实践操作实践操作(1)如图如图，把，把RtABC和和RtDEF的直角边的直角边BC和和EF部分重合，使点部分重合，使点E，C，F，B在同一在同一条直线上，连接条直线上，连接AE和和BD，得到四边形，得到四边形AEDB.请说明四边形请说明四边形AEDB的形状并证明；的形状并证明；例2题图【思维教练】根据【思维教练】根据RtABCRtDEF可得可得ABED，ABCBED，进而可得，进而可得ABDE，即可得到四边形，即可得到四边
17、形AEDB的形状的形状(1)解：四边形解：四边形AEDB是平行四边形是平行四边形证明：证明：RtABCRtDEF，ABED，ABCBED.ABED.四边形四边形AEDB是平行四边形；是平行四边形；例2题图实践探究实践探究(2)勤奋小组的同学在图勤奋小组的同学在图的基础上，将的基础上，将DEF沿射线沿射线BC平移，其中平移，其中ABC不动，得到的四边形不动，得到的四边形AEDB是矩形，如图是矩形，如图，请求出此时，请求出此时BE的的长；长；例2题图【思维教练】根据已知条件，在【思维教练】根据已知条件，在RtABC中中可求出可求出AB的长，进而在的长，进而在RtABE和和RtECA中，由勾股定理即
18、可求解中，由勾股定理即可求解(2)四边形四边形AEDB是矩形，是矩形，EAB90.AC6 cm，BC8 cm，ACB90，在在RtABC中，中，AB 10 cm.当当EAB90时，在时，在RtEAB和和RtECA中，中，AE2EB2AB2(EC8)2102，AE2EC2AC2EC262，(EC8)2102EC262，EC4.5 cm，BEBCCE12.5 cm；例2题图ACBC22 2268 探究引申探究引申(3)如图如图，奇异小组的同学把边，奇异小组的同学把边BC与边与边EF重合，连接重合，连接AD，ABC固固定不动，将定不动，将DEF沿射线沿射线BC平移，当四边形平移，当四边形ACFD是正方形时，直接是正方形时，直接写出写出DEF平移的距离平移的距离例2题图【思维教练】分【思维教练】分FD在在AC右侧和右侧和AC左侧两种情况讨论左侧两种情况讨论即可求解即可求解【解法提示】当【解法提示】当FD在在AC的右侧时，由题意可知，四边形的右侧时，由题意可知，四边形ACFD是矩是矩形，当四边形形，当四边形ACFD为正方形时，即为正方形时，即ACFC6，BC8，平移平移距离为距离为862 cm；当；当FD在在AC的左侧时，即的左侧时，即ACFC6，平移距平移距离为离为8614 cm.综上所述，综上所述，DEF平移的距离为平移的距离为2 cm或或14 cm.(3)2 cm或或14 cm.
