1、 益阳市益阳市 2021 届高三届高三 9 月调研考试月调研考试 数学数学 注意事项：注意事项： 1本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括单项选择题、多项选择题、填空题和解答题四部分，共 4 页，时量 120 分钟，满分 150 分 2 答题前， 考生务必将自己的姓名、 考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置 请按要求在答题卡上作答， 在本试题卷和草稿纸上作答无效 3考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回 试题卷试题卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一
2、项是符合题目要 求的求的 1已知集合 2 60Ax xx，2Bx x则AB（ ） A( 2,) B( 2,3) C(2,3) D(2,) 2已知复数 2 ai z i 为纯虚数（其中i为虚数单位，aR） ，则a （ ） A2 B 1 2 C 1 2 D2 3已知半径为 1 的球被截去一部分后几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为（ ） A 7 6 B 4 3 C D3 4已知随机变量服从正态分布 2 1,N，若(4)0.9P，则( 24)P （ ） A0.2 B0.4 C0.6 D0.8 52019 年 10 月 20 日，第六届世界互联网大会发布了 15 项“世界互联网领先科技成果” ，其
3、中有 5 项成果 均属于芯片领域现有 3 名学生从这 15 项“世界互联网领先科技成果”中分别任选 1 项进行了解，且学生 之间的选择互不影响，则恰好有 1 名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A 4 9 B 4 27 C 19 27 D 48 125 6在ABC中，0CA CB，2ACBC，2BPPA，则CP CA CP CB（ ） A4 B2 C2 D4 7过抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点F的直线交C于A，B两点，且3| |AFBF，O为坐标原点， 则 | | AF OF （ ） A 4 3 B 3 4 C4 D 5 4 8已知函数( )ln(1)ln(1)f xxx，若|(
4、 )|f xax，则a的取值范围是（ ） A 2,0 B(,2 C 2,2 D(, 22,) 三、选择题：本题共三、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9已知双曲线 22 :1 3 xy C m 过点(3, 2)，则下列结论正确的是（ ） AC的焦距为 4 BC的离心率为3 CC的渐近线方程为 3 3 yx D直线2310 xy 与C有两个公共点 10 已知定义在R上的
5、偶函数( )f x在0,1上单调递增， 且(1)(1)f xf x， 则下列结论正确的是 （ ） A直线3x 是( )f x的一条对称轴 B( )f x是周期为 2 的周期函数 C( )f x在1,2上单调递减 D2x 是函数( )f x的一个零点 11下面的结论中，正确的是（ ） A若aR，则 3 2 3a a B若0a ，0b， 11 ab ab ，则2ab C若0ba，0m，则 ama bmb D若0ab且|ln| |ln|ab，则1ab 12 函数( )sin()f xx的部分图象如图中实线所示， 图中的M、N是圆C与( )f x图象的两个交点， 其中M在y轴上，C是( )f x图象与
6、x轴的交点，则下列说法中正确的是（ ） A函数( )yf x的一个周期为 5 6 B函数( )f x的图象关于点 4 ,0 3 成中心对称 C函数( )f x在 11 , 26 上单调递增 D圆C的面积为 31 36 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13若 1 sin 63 ，则cos 3 _ 14 5 1 2 x x 的展开式中x的系数是_ （用数字填写答案） 15已知函数 2 ln ,0 ( ) 2 ,0 x x f x xx x ，则( )( )1g xf x的零点个数为_ 16已知正方体 1111 ABCDABC D的棱
7、长为 4，P是 1 AA中点，过点 1 D作平面，满足CP 平面， 则平面与正方体 1111 ABCDABC D的截面周长为_ 四、解答题：本題共四、解答题：本題共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 在 nn bna， 2 , log, n n n a n b a n 为奇数 为偶数 ， 2122 1 loglog n nn b aa 这三个条件中任选一个，补充 在下面问题中，并完成问题的解答 问题：已知数列 n a是等比数列，且 1 1a ，其中 1 a， 2 1a ， 3 1a
8、成等差数列 （1）求数列 n a的通项公式 （2）记_，求数列 n b的前2n项和 2n T 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 8 （本小题满分 12 分） 已知ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，cos3 sinaaCcA，3c （1）求C； （2）求ABC面积的最大值 19 （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，平面PAD 平面ABCD，PAPD （1）求证：PDAB； （2）若直线PA与BC所成角为 4 ，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值 20 （本小题满分 12 分） 已知 6 名某疾病病毒密切接触者中有 1 名感染病毒，其余
9、5 名未感染，需要通过化验血液来确定感染者 血 液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为未感染者 （1）若从这 6 名密切接触者中随机抽取 2 名，求抽到感染者的概率； （2）血液化验确定感染者的方法有：方法一是逐一化验；方法二是平均分组混合化验，先将血液样本平均 分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒，若化验结果呈阳性，则对 该组的备份血液逐一化验；直至确定感染者 （i）采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望； （）采取平均分成三组混合化验（每组血液份数相同） ，求该分组方法所需化验次数的数学期望 你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由 21 （本小题
10、满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ，且经过点 33 , 22 A （1）求椭圆C的方程； （2）若不过坐标原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，且满足OMONOA，求MON面积 最大时直线l的方程 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )2ln a f xxx x ，aR （1）当0a 时，求( )f x的单调区间； （2）当1a 时，有( ) mx f xmem成立，求实数m的取值范围 益阳市益阳市 2021 届高三届高三 9 月调研考试月调研考试 数学参考答案数学参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题
11、小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的 1C 2B 3C 4D 5A 6D 7A 8C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9AC 10ABC 11BCD 12BD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分
12、，共分，共 20 分分 13 1 3 1480 152 166 24 5 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 解： （1）设数列 n a的公比为q，因为 1 a， 2 1a ， 3 1a 成等差数列， 213 211aaa， 又因为 1 1a ，所以 2 2(1)2qq，即 2 20qq， 所以，2q 或0q （舍去，所以， 1 2n n a 4 分 （2）由（1）知 1 2n n a ，选择条件，则 1 2n n bn 0121 2 1 2222
13、2 n n Tn ， 122 2 21 22222 n n Tn ， 2 0121222 2 12 1 21 21 22222(12 ) 21 12 n nnnn n Tnnn ， 2 2 (21) 21 n n Tn 10 分 由（1）知 1 2n n a ，选择条件，则 1 2, 1, n n n b nn 为奇数 为偶数 ， 所以， 0222 2 2123221 n n Tn 0222 222(1321) n n 2 14(121)41 14233 nn nn n 10 分 由（1）知 1 2n n a ，选择条件，则 1 (1) n b n n ， 2 11111111 1 1 223
14、2 (21)223221 n T nnnn 12 1 2121 n nn 2 2 21 n n T n 10 分 18 （本小题满分 12 分） 解： （1）由正弦定理及cos3 sinaaCcA得：sinsincos3sinsinAACCA， sin0A，3sincos1CC，即 1 sin 62 C ， 0C， 5 666 C ，所以 66 C ，即 3 C ， 6 分 （2）由（1）可知： 3 C ，在ABC中，由余弦定理得： 22 2cos3ababC， 即 22 3abab，所以， 22 3ababab， 所以，3ab，当且仅当ab时等号成立， 所以 1133 3 sin3 2224
15、 ABC SabC ，即ABC面积的最大值为 3 3 4 12 分 19 （本小题满分 12 分） 解： （1）四棱锥PABCD的底面为正方形，ABAD， 又平面PAD 平面ABCD， AB 平面PAD，又 PD 平面PAD， ABPD，即PDAB 5 分 （2）取AD，BC的中点O，N，连接PO，ON，则/ /ONAB，结合（1）知ON 平面PAD，因 为PAPD，所以，POAD，所以，以O为坐标原点，OA，ON，OP分别为x轴，y轴，z轴建 立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 因为/ /ADBC，且直线PA与BC所成角的为 4 ，所以， 4 PAD ，又PAPD， 所以，POAO，令2A
16、B ， 则(0,0,1)P，( 1,2,0)C ，(1,2,0)B， 所以，(2,0,0)CB ，(1, 2,1)CP ， 设( , , )mx y z是平面BPC的一个法向量，则 0 0 m CB m CP ，即 0 20 x xyz ，取1y ， 则2z ，所以(0,1,2)m ， 又(0,1,0)n 是平面PAD的一个法向量， 所以， 15 cos, |55 1 m n m n m n ， 所以，所求二面角的余弦值为 5 5 12 分 20 （本小题满分 12 分） 解： （1）抽到感染者的概率 11 15 2 6 51 153 C C P C 3 分 （2） （i）按逐一化验法，的可能
17、取值为 1，2，3，4，5， 1 1 1 6 1 (1) 6 C P C ， 11 51 2 6 1 (2) 6 C C P A ， 21 51 3 6 1 (3) 6 A C P A ， 31 51 4 6 1 (4) 6 A C P A ， 415 515 5 6 1 (5) 3 A CA P A ， 所以的分布列为 1 2 3 4 5 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 3 数学期望 1111110 12345 666633 E 7 分 （i i）平均分成三组即按(2,2,2)分组，记所需化验次数为，则2,3， 1 (2) 3 P， 21212 (3) 32323 P 所以的分布列为
18、 2 3 P 1 3 2 3 数学期望 128 23 333 E 因为EE，所以按平均分组法较合理 12 分 21 （本小题满分 12 分） 解： （1）由题意得 22 222 6 3 33 1 44 c a ab abc ，解得 2 2 3 1 a b ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y； 4 分 （2）由题意可知，直线MN的斜率显然存在，设直线MN的方程为 (0)ykxm m， 11 ,M x y， 22 ,N x y， 由 2 2 1 3 x y ykxm 得 222 316330kxkmxm， 222222 364 313312 310k mkmkm 所以 12 2 2 1
19、2 2 6 31 33 31 km xx k m xx k ，所以， 1212 2 2 2 31 m yyk xxm k ， 因为OMONOA，所以 12 2 12 2 63 312 23 312 km xx k m yy k ， 解得： 1 3 k ，代入得 2 32 3 33 m且0m， 所以， 2 121212 11 |4 22 MON Sm xxmxxx x 22 2 2 12 31 13|43 | 2314 km mm m k 22 22 3 343 3 3433 4422 mm mm ， 当且仅当 22 343mm，即 6 3 m 时上式取等号，此时符合题意， 所以直线MN的方程为
20、 16 33 yx 12 分 22 （本小题满分 12 分） 解： （1）函数( )f x的定义域为(0,)， 当0a 时， ( )2 lnf xxx，( )2ln2fxx ，由( )0fx 得 1 x e ； 由( )0fx 得 1 0 x e ，由( )0fx 得 1 x e ， 故( )f x的单调递减区间为 1 0, e ，递增区间为 1 , e 4 分 （2）当1a 时，不等式( ) mx f xmem成立，即 1 2ln mx xxmem x 成立， 等价于 22 1 ln11 ln(0) mxmxmx xxmx eeex成立， 令( )(1)lng xxx，则 1 ( )ln1g
21、 xx x ， 令 1 ( )ln1h xx x ， 22 111 ( ) x h x xxx ， 当01x时，( )0h x ；当1x 时，( )0h x ；从而( )h x在(0,1)上递减，在(1,)上递增，故 min ( )(1)20h xh ( )0g x ，故( )(1)lng xxx在(0,)上单调递增， 2mx xe，(0,)x，两边取对数得，2lnxmx，即 2ln x m x 恒成立， 等价于 max ln 2 x m x 令 ln ( ) x u x x ，0 x ，则 2 1ln ( ) x u x x ，由( )0u x 得xe，由( )0u x 得0 xe， 由( )0u x 得xe，故( )u x在(0, )e上递增，在( ,)e 递减从而 max 1 ( )( )u xu e e 2 m e ，即实数m的取值范围为 2 , e 12 分
