1、试卷第 1页，共 4页上海市实验学校上海市实验学校 20252025 届高三上学期期中考试数学试题届高三上学期期中考试数学试题一、填空题一、填空题1若1tan44x，则tan x 2设函数 200 xxf xxx，若 4f a 则实数 a 的值为.3函数21xyx的值域是4定义集合运算:ABx xA且xB若集合1,3,4,6,2,4,5,6AB，则集合ABBA的子集个数为5已知函数()sincosf xAxx（0A，0，）的部分图象如图所示，则6已知平面向量a，b的夹角为4，若1,210aab，则b的值为.7设和是关于 x 的方程240 xxm的两个虚数根，若、1在复平面上对应的点构成直角三角
2、形，则实数m.8已知圆22:44C xy，直线:31140lmxm y，直线被圆所截的最短弦长为9已知函数 elnxf xax在区间1,2上单调递减，则a的最大值为10设椭圆22143xyC：的右焦点为F，动点P在椭圆C上，点A是直线45120 xy上的动点，则PAPF的最小值为11若曲线ln24yx在3x 处的切线也是曲线2yxxa的切线，则a 12 已知函数()f x的定义域为R，且()()1f xfx和(1)(1)4fxfx对任意的xR都试卷第 2页，共 4页成立，若当0,1x时，()f x的值域为1,2，则当 100,100 x 时，函数()f x的值域为二、单选题二、单选题13“1a
3、 ”是“直线330axy和直线210 xay 平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件14已知()g x是定义域为 R 的函数，2()2g xax，若对任意的1212xx，都有1212()()3g xg xxx 成立，则实数 a 的取值范围是（）A0,)B3,04C3,4 D3,415在正方体1111ABCDABC D中，O是底面1111DCBA的中心，E是棱AB上的点，且14AEAB，记直线OE与直线BC所成角为，直线OE与平面ABCD所成角为，二面角OABC的平面角为，则（）ABCD16如图，将线段 AB，CD 用一条连续不间断的曲线()yf x连接在一
4、起，需满足要求：曲线()yf x经过点 B，C，并且在点 B，C 处的切线分别为直线 AB，CD，那么下列说法正确的是（）命题甲：存在曲线sincos(,)2axbxyc a b cR满足要求命题乙：若曲线1()yf x和2()yf x=满足要求，则对任意实数,，当1时，曲线12()()yf xfx满足要求A甲命题正确，乙命题正确B甲命题错误，乙命题正确试卷第 3页，共 4页C甲命题正确，乙命题错误D甲命题错误，乙命题错误三、解答题三、解答题17如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是正方形，侧面PAD 底面 ABCD，E，F分别为 PA，BD 中点，2PAPDAD(1)求证：/EF平面
5、 PBC；(2)求四面体PDAB的体积18已知向量cos,1ax，3sin,4bx，设函数 2f xaba(1)当,4 4x 时，求函数 f x的值域；(2)已知在ABC中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若2a，且522Af，求ABC面积的最大值19某中学新建了学校食堂，每天有近 2000 名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约 40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约 6 种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐
6、选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表.类别选餐套餐面食选择人数503020平均每份取餐时长（单位：分钟）20.51试卷第 4页，共 4页已知饭堂的售饭窗口一共有 20 个，就餐高峰期时有 200 名学生在等待就餐.(1)根据以上的调查统计，如果设置 12 个选餐窗口，4 个套餐窗口，4 个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让 80的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？(2)根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置
7、各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程.20设椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率12e，过点31,2A.(1)求椭圆C的方程；(2)求椭圆C被直线1yx截得的弦长.(3)直线yxm与椭圆交于,M N两点，当OMON时，求m值.（O 为坐标原点）21已知函数 ,f xg x，若存在实数,m n，使得 0f mg n，则称 f x与 g x为“互补函数”，,m n为“互补数”.(1)判断函数 1016xf xxx与 lnxg xx是否为“互补函数”，并说明理由.(2)已知函数 10,1 eexxxf xxg xx为“互补函数”，且,m n为“互补数”.（i）是否存在,m n，使得0mn？说明理由.（ii）若,0,1,0mnaa ，用a的代数式表示mn的最大值.
