1、第2章 平面力系的平衡2.1平面力系概述2.2平面任意力系的平衡方程与应用2.3几种特殊平面力系的平衡问题2.4物系的平衡2.5考虑摩擦时物体的平衡问题2.1平面力系概述平面力系概述 如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，则称这种力系为平面力系。工程实际中很多构件所受的力系都可以看成为平面力系。例如，图2.1(a)所示的支架式起吊机受到主动力G1、G2以及约束反力FBx、FBy、FNA的作用，这些力的作用线在同一平面内，组成一个平面力系。又如，图2.1(b)所示的曲柄连杆机构受到转矩M、阻力F以及约束反力FAx、FAy、FN的作用，显然这些力也构成了平面力系。平面力系根据其中各力的作用线
2、分布不同又可分为平面汇交力系(各力的作用线汇交于一点)、平面力偶系(全部由力偶组成)、平面平行力系(各力的作用线互相平行)和平面任意力系(各力的作用线在平面内任意分布)。图 2.12.1.1 力的平移定理力的平移定理设在刚体上A点有一个力F，现要将它平行移动到刚体内的任意指定点B，而不改变它对刚体的作用效应。为此，可在B点加上一对平衡力F、F，如图2.2所示，并使它们的作用线与力F的作用线平行，且F=F=F。根据加减平衡力系公理，三个力与原力F对刚体的作用效应相同。力F、F组成一个力偶M，其力偶矩的大小等于原力F对B点之矩，即 M=MB(F)=Fd (2.1)这样就把作用在A点的力平行移动到了
3、任意点B，但必须同时在该力与指定点B所决定的平面内加上一个相应的力偶M，通常将其称为附加力偶。由此可得力的平移定理:作用于刚体上的力可以平行移动到刚体上的任意指定点，但必须同时在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩的大小等于原力对指定点之矩。图2.2根据力的平移定理，可以将一个力分解为一个力和一个力偶，也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为一个力。力的平移定理揭示了力与力偶在对物体作用效应之间的区别和联系：一个力不能与一个力偶等效，但一个力可以与另一个同它平行的力和一个力偶的联合作用等效。2.1.2平面任意力系向一点简化平面任意力系向一点简化设在刚体上作用有一平面任意力系F1,F
4、2,Fn，各力的作用点分别为A1，A2，An,如图2.3(a)所示，在平面内任选一点O，称为简化中心，利用力的平移定理，将力系中的各力分别平移到O点，得到一个作用于O点的平面汇交力系 ，,和一个附加的平面力偶系M1=MO(F1),M2=MO(F2)，Mn=MO(Fn),如图2.3(b)所示。1F2FnF根据式(1.7)，平面汇交力系 ，可以合成为一个力 ，根据式(1.14)，平面力偶系1=MO(F1)，M2=MO(F2),Mn=MO(Fn)可以合成为一力偶MO，如图2.3(c)所示。1F2FnFRF图 2.31.力系的主矢力系的主矢平移力 ,组成的平面汇交力系的合力 ,称为原平面任意力系的主矢
5、。的作用点在简化中心O点，大小等于各分力的矢量和，即 1F2FnFRFRF（2.2）在平面直角坐标系中，则有（2.3）（2.4）式中，分别为主矢 和各力在x、y轴上的投影；为主矢的大小；为 与x轴所夹的锐角，的指向由Fx和Fy的正负来确定。2.力系的主矩力系的主矩附加的平面力偶系M1=MO(F1)，M2=MO(F2),Mn=MO(Fn）的合力偶矩的大小为MO，称为原平面任意力系对简化中心O点的主矩。MO等于力系中各力对简化中心O点之矩的代数和，即 MO=M1+M2+Mn=MO(F)=M （2.5）值得注意的是，选取不同的简化中心，主矢不会改变，因为主矢总是等于原力系中各力的矢量和。也就是说，主
6、矢与简化中心的位置无关，而主矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。一般来说，主矩与简化中心有关，提到主矩时一定要指明是对哪一点的主矩。主矢与主矩的共同作用才与原力系等效。2.1.3简化结果的讨论简化结果的讨论平面任意力系向一点简化，一般可得到一个主矢和一个主矩，但这不是简化的最终结果，因此，有必要对简化的结果进行以下几个方面的讨论。(1)。根据力的平移定理的逆过程，可将主矢与主矩MO简化为一个合力FR，合力FR的大小、方向与主矢 相同，FR的作用线与主矢的作用线平行，但相距 ，如图2.3(e)所示。此合力FR与原力系等效，即平面任意力系可简化为一个合力。(2)。原力系与一个力等效，即原力系
7、可简化为一个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。(3)。原力系与一个力偶等效，即原力系可简化为一个合力偶。合力偶矩等于主矩，此时，主矩与简化中心的位置无关。(4)。原力系处于平衡状态，即原力系为一平衡力系。【例2.1】如图2.4(a)所示，正方形平面板的边长为4a，在板上A、O、B、C处分别作用有力F1，F2，3，F4，其中，F3=2F，F4=3F。求作用在板上此力系的合力。图 2.4解解(1)选O点为简化中心，建立如图2.4(a)所示的直角坐标系，求力系的主矢和主矩。由式（2.2）式（2.5）可得：主矢的大小为主矢的方向为由于x和Fy都为正，因此主矢 指向第一象限。主矩的大小为主矩
8、的转向为逆时针方向。力系向O点简化的结果如图2.4(b)所示。(2)由于 ，MO0，根据力的平移定理的逆过程，可将主矢 与主矩MO简化为一个合力FR。合力FR的大小、方向与主矢 相同，FR的作用线与主矢的作用线平行，但相距 力系合力的作用线通过D点，如图2.4(c)所示 RFRFRF2.2平面任意力系的平衡方程与应用平面任意力系的平衡方程与应用 由2.1节的讨论结果可知，如果平面任意力系向任一点简化后的主矢和主矩同时为零，则该力系处于平衡。反之，要使平面任意力系处于平衡，主矢和主矩都必须等于零。因此，平面任意力系平衡的必要与充分条件为：，MO=0,即 0RF由此可得平面任意力系的平衡方程为（2
9、.6）式（2.6）是平面任意力系平衡方程的基本形式，也称为一力矩式方程。它说明平面任意力系平衡的解析条件是:力系中各力在平面内任选两个坐标轴上的投影的代数和分别为零，并且各力对平面内任意一点之矩的代数和也等于零。这三个方程是各自独立的三个平衡方程，只能求解三个未知量。【例2.2】图2.5(a)所示为简易起吊机的平面力系简图。已知横梁AB的自重G1=4 kN，起吊总量G2=20 kN，AB的长度l=2 m，斜拉杆CD的倾角=30，自重不计，当电葫芦距A端距离a=1.5 m时，处于平衡状态。试求拉杆CD的拉力和A端固定铰链支座的约束反力。图 2.5解(1)以横梁AB为研究对象，取分离体画受力图。作
10、用在横梁上的主动力：在横梁中点的自重G1、起吊重量G2。作用在横梁上的约束反力：拉杆CD的拉力FCD、铰链A点的约束反力FAx、FAy，如图2.5(b)所示。(2)建立直角坐标系，列平衡方程。(a)(b)(c)(3)求解未知量。由式(a)得将FCD代入式(b)得FAx=FCDcos=29.44 k 将FCD代入式(c)得FAy=G1+G2-FCDsin=7 kNFCD、FAx、FAy都为正值，表示力的实际方向与假设方向相同；若为负值，则表示力的实际方向与假设方向相反。(4)讨论。本题若写出对A、B两点的力矩方程和对x轴的投影方程，则同样可求解,即由解得若写出对A、B、C三点的力矩方程 则也可得
11、出同样的结果。由例2.2的讨论可知，平面任意力系的平衡方程除了式（2.6）所示的基本形式以外，还有二力矩形式和三力矩形式，其形式如下：(2.7)其中，A、B两点的连线不能与x轴(或y轴)垂直。其中，A、B、C三点不能共线。在应用二力矩形式或三力矩形式时，必须满足其限制条件，否则所列三个平衡方程将不都是独立的。(2.8)2.3几种特殊平面力系的平衡问题几种特殊平面力系的平衡问题2.3.1平面汇交力系的平衡平面汇交力系的平衡1.平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程由于平面汇交力系中各力的作用线汇交于一点，MO(F)=0自然满足，因此其平衡的必要且充分条件为：力系中各力在两个相互垂直的坐标轴
12、上的投影的代数和分别为零，即（2.9）2.平面汇交力系的平衡方程的应用平面汇交力系的平衡方程的应用【例2.3】如图2.6(a)所示，圆球重G=100，放在倾角=30的光滑斜面上，并用绳子AB系住，绳子AB与斜面平行。试求绳子AB的拉力和斜面对球的约束力。图2.6解解(1)选圆球为研究对象，取分离体画受力图。主动力：重力G。约束反力：绳子AB的拉力FT、斜面对球的约束力FN。受力图如图2.6(b)所示。(2)建立直角坐标系Oxy，列平衡方程并求解。Fx=0 FT-Gsin30=0FT=50 N(方向如图所示）Fy=0 FN-Gcos30=0FN=86.6 N(方向如图所示)(3)若选取如图2.6
13、(c)所示的直角坐标系，列平衡方程得:Fx=0 FTcos30-FNcos60=0Fy=0 FTsin30+FNsin60-G=0联立求解方程组得:FT=50 N(方向如图所示)N=86.6 N(方向如图所示)由此可见，建立直角坐标系时，坐标轴应尽量选在与未知力垂直的方向上，这样可以简化计算。【例2.4】图2.7(a)所示的三角支架由杆AB、BC组成，A、B、C处均为光滑铰链，在销钉B上悬挂一重物，已知重物的重量G=10 kN，杆件自重不计。试求杆件AB、BC所受的力。图2.7解(1)取销钉B为研究对象，画受力图。主动力：重力G。约束反力：由于杆件AB、BC的自重不计，且杆两端均为铰链约束，因
14、此AB、BC均为二力杆件，杆件两端受力必沿杆件的轴线，根据作用与反作用力关系，两杆的B端对于销钉有反作用力F1、F2，受力图如图2.7(b)所示。(2)建立直角坐标系Bxy，列平衡方程并求解。Fy=0 F2sin30-G=02=20 kNFx=0 F2cos30-F1=0F1=17.32 kN根据作用力与反作用力定律，杆件AB所受的力为17.32 kN，且为拉力；BC所受的力为20 kN，且为压力。2.3.2平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡根据式(1.14)，平面力偶系可简化为一个合力偶，故平面力偶系平衡的必要和充分条件为：力偶系中各力偶矩的代数和等于零,即 M=0 (2.10)式(2.10)
15、称为平面力偶系的平衡方程。一个力偶系平衡方程只能解一个未知数。【例2.5】用多轴钻床在一水平放置的工件上加工四个直径相同的孔，钻孔时每个钻头的主切削力组成一力偶，各力偶矩的大小M1=M2=M3=M4=15 Nm,两个固定螺栓A、B之间的距离为200 mm，如图2.8所示。试求加工时两个固定螺栓A、B所受的力。图2.8解解(1)取工件为研究对象，画受力图。主动力：四个已知的力偶。约束反力：固定螺栓A、B所给的约束反力FA、FB，由于力偶只能与力偶平衡，因此B处约束反力FB必和A处约束反力FA组成一力偶，即两力平行、等值、反向，力偶臂长为200 mm，受力图如图2.8(b)所示。(2)列平衡方程并
16、求解。M=0 -4M1+M(FA,B)=0FA=FB=300 N(方向如图所示)根据作用与反作用定律，两个固定螺栓A、B所受的力分别为F=FB=300 N，方向与图示方向相反。2.3.3平面平行力系的平衡平面平行力系的平衡在平面平行力系中，若选择直角坐标轴的y(或x)轴与力系各力作用线平行，则每个力在x(或y)轴上的投影均为零，即Fx0(或Fy0)，于是平行力系只有两个独立的平衡方程，即（2.11）式(2.11)为平面平行力系的平衡方程，它表明平面平行力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力在与力平行的坐标轴上的投影的代数和为零，各力对任意点之矩的代数和也为零或二力矩形式，即(2.12)平面平行
17、力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个未知数。【例2.6】塔式起重机如图2.9(a)所示，已知轨距为4 m，机身重G=500 kN，其作用线至机架中心线的距离为4 m，起重机最大起吊载荷G1=260 kN，其作用线至机架中心线的距离为12 m,平衡块G2至机架中心线的距离为6 m。欲使起重机满载时不向右倾倒，空载时不向左倾倒，试确定平衡块重G2；当平衡块重G2=600 kN时，试求满载时轨道对轮子的约束反力。图 2.9 解解 (1)取起重机为研究对象，画受力图。主动力：机身重力G、起吊载荷G1、平衡块重G2。约束反力：轨道对轮子的约束反力FA、FB。受力图如图2.9(b)所示。(2)列平衡方
18、程，求平衡块重。满载时的情况。满载时，若平衡块太轻，则起重机将会绕B点向右翻倒，在平衡的临界状态时，FA等于零，平衡块重达到允许的最小值2min。MB(F)=0 G2min(6+2)-G(4-2)-G1(12-2)=0 G2min=450 kN 空载时的情况。空载时，起重机在平衡块的作用下，将会绕A点向左翻倒，在平衡的临界状态时，FB等于零，平衡块重达到允许的最大值G2max。A(F)=0G2max(6-2)-G(4+2)=0 G2max=750 kN因此，要保证起重机在满载和空载时均不致翻倒，平衡块重应满足如下条件:450 kNG2750 kN(3)列平衡方程，求G2=600 kN满载时轮轨
19、对机轮的约束反力。MB(F)=0G2(6+2)-FA4-G(4-2)-G1(12-2)=0 FA=300 kN(方向如图)MA(F)=0G2(6-2)+FB4-G(4+2)-G1(12+2)=0 FB=1060 kN(方向如图)【例2.7】一端固定的悬臂梁AB如图2.10(a)所示。已知q=10 kN/m，F=20 kN，M=10 kNm，l=2 m,试求梁支座A的约束反力。图2.10解解 (1)取悬臂梁AB为研究对象，画受力图。主动力：集中力F、分布载荷q、力偶M。物体所受的力如果是沿着一条线连续分布且相互平行的力系，则称为线分布载荷。图2.10(a)中，载荷q称为载荷集度，表示单位长度上所
20、受的力，其单位为N/m或kN/m。如果分布载荷为一常量，则该分布载荷称为均布力或均布载荷。列平衡方程时，常将均布载荷简化为一个集中力，其大小为F=ql(l为载荷作用长度)，作用线通过作用长度的中点。约束反力：A端受一固定端约束，其约束反力为FAx、FAy、MA。受力图如图2.10(b)所示。(2)建立坐标系Axy，列平衡方程并求解。Fx=0 FAx=0 Fy=0 FAy-FQ-F=0 其中：Q=ql=102=20 kN，作用在AB段中点位置。FAy=FQ+F=20+20=40 kN(方向如图)2.4物物 系系 的的 平平 衡衡 2.4.1静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念由前面介绍的
21、平衡计算可知，每一种力系的独立平衡方程的数目都是一定的。例如，平面力偶系只有一个，平面汇交力系和平面平行力系各有两个，平面任意力系有三个。因此，对每一种力系来说，所能解出的未知数也是一定的。如果所研究的平衡问题的未知量数目少于或等于独立平衡方程的数目，则所有未知量可全部由平衡方程求出，这类问题称为静定问题，如图2.11(a)、(b)所示。2.4物 系 的 平 衡图2.11如果未知量的数目超过了独立平衡方程的数目，则单靠平衡方程无法求出全部未知数，这类问题称为超静定或静不定问题，如图2.12(a)、(b)所示。总未知量数目与总独立平衡方程数目之差称为静不定次数。图2.12静力学只研究静定平衡问题
22、，至于静不定问题，需考虑物体受力后的变形情况，找出变形与作用力之间的关系，并建立相应的补充方程才能求解。2.4.2物系平衡问题的处理物系平衡问题的处理所谓物系，就是指由若干个物体按一定方式连接而成的系统。当整个物系处于平衡时，系统中每一个物体或某一个局部一定平衡，因此，可取整个系统为研究对象，也可取单个物体或系统中部分物体的组合为研究对象。作用于研究对象上的力系都满足平衡方程，所有未知量也均可通过平衡方程求出。在研究物系的平衡问题时，不仅要分析外界物体对于整个系统作用的外力，同时还应研究系统内各物体间相互作用的内力。由于内力总是成对出现的，因此当取整体为研究对象时，可不考虑内力，但内力与外力的
23、概念又是相对的，当研究物系中某一个物体或某一部分的平衡时，物系中其他物体或其他部分对所研究物体或部分的作用力就成为外力，必须考虑。现举例说明物系平衡问题的解法。【例2.8】多跨静定梁由AC和CE用中间铰C连接而成，支承和载荷情况如图2.13(a)所示。已知F=10 kN,q=5 kN/m,M=10 kNm,l=8 m。试求支座A、B、E及中间铰C的约束反力。图2.13解解对整体进行受力分析，共有四个未知力，而独立的平衡方程只有三个，这表明以整体为研究对象不能求得全部约束反力。为此可将整体从中间铰处分开，分成左、右两个单体，取研究对象进行分析。(1)取梁CE为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平
24、衡方程并求解。受力图如图2.13(b)所示。其中，作用在CD段的中点。(2)取梁AC为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程并求解。受力图如图2.13(c)所示。其中，作用在BC段的中点；，方向如图2.13(c)所示。【例2.9】三铰拱每半拱重G=300 kN，跨长l=32 m，拱高h=10 m，如图2.14(a)所示，试求铰链支座A、B、C的约束反力。图2.14解解第一种解法:先取三铰拱整体为研究对象，再取半拱AC(或BC)为研究对象进行求解。第二种解法：分别取半拱AC、BC为研究对象进行求解。第一种解题方法比较简单，下面就介绍第一种。(1)先取三铰拱整体为研究对象，画出受力图。主动力：
25、两个半拱重力G。约束反力：铰链支座A、B处的约束反力FAx、FAy、Fx、FBy。受力图如2.14(b)所示。(2)建立坐标系Oxy，列平衡方程。(3)取半拱AC为研究对象，画出受力图。半拱AC上作用有主动力G，约束反力有FAx、Fy、FCx、FCy，受力图如图2.14(c)所示。【例2.10】图2.15(a)所示为一曲柄连杆机构，它由活塞、连杆、曲柄及飞轮组成，设曲柄处于图示铅垂位置时系统平衡，已知飞轮重G，曲柄OA长为r，连杆AB长为l，作用于活塞B上的总压力为F，不计各构件自重及摩擦。试求阻力偶矩M和轴承O的约束反力。图 2.15解解 本题是物系平衡的另一类问题，属于运动机构，一般可以按
26、照力的传递顺序，依次取研究对象。(1)以活塞为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程并求解。受力图如图2.15(b)所示。Fx=0 FABcos+F=0(2)以飞轮连同曲柄一起为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程并求解,其中，它们互为作用力与反作用力，受力图如图2.15(c)所示。2.5考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题 2.5.1滑动摩擦滑动摩擦当两物体接触面间有相对滑动的趋势时，物体接触表面产生的摩擦力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力。当两物体接触面间产生相对滑动时，物体接触表面产生的摩擦力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。由于摩擦对物体的运动起阻碍作用，因此摩擦力总
27、是作用在接触面(点)，沿接触处的公切线，与物体相对滑动或相对滑动趋势的方向相反 摩擦力的计算方法一般根据物体的运动情况而定，通过实验可得如下结论：(1)静滑动摩擦定律(或库仑定律)：当促使物体产生运动趋势的主动力增到某一数值时，物体处于将动而未动的临界平衡状态，这时的静摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力，用F fmax表示，其大小与接触面间的正压力(即法向反力)FN的大小成正比，即 Ffmax=fFN (2.13)式中，比例系数f称为静摩擦因数，其大小与接触面的材料、粗糙度、湿度、温度等情况有关，而与接触面积的大小无关。各种材料在不同情况下的静摩擦因数是由实验测定的。常见材料的静摩擦因数如表2
28、.1所示。(2)一般静止状态下的静摩擦力Ff随主动力的变化而变化，其大小由平衡方程确定，介于零和最大静摩擦力之间，即 0FfFfmax (2.14)(3)动滑动摩擦定律：当促使物体产生运动的主动力增加到略大于Ffmax时，物体处于滑动状态，在接触面上产生动滑动摩擦力 。通过实验也可得与静滑动摩擦定律相似的动滑动摩擦定律,即(2.15)式中，比例系数 f称为动摩擦因数，其大小与接触面的材料、粗糙度、湿度、温度等情况有关，而与接触面积的大小无关。一般ff，这说明推动物体从静止开始滑动比较费力，一旦滑动起来，要维持滑动就省力些。各种材料在不同情况下的动摩擦因数是由实验测定的。常见材料的动摩擦因数如表
29、2.1所示。表表2.1常见材料的滑动摩擦因数常见材料的滑动摩擦因数 2.5.2摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象存在摩擦时，平衡物体受到的约束反力包括法向反力FN和切向反力(即静摩擦力)Ff，两者的合力称为全约束反力，简称全反力，用符号FR表示。全反力与接触面法线之间的夹角为j，如图2.16(a)所示。全反力FR和夹角j的大小随静摩擦力Ff的增大而增大，当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值Ff=Ffmax，夹角也达到最大值j=jm，这时的全反力与接触面法线夹角的最大值jm称为摩擦角，如图2.16(b)所示。由此可得 即摩擦角的正切值等于静摩擦因数。摩擦角和静摩擦因数是两接触物体同一摩擦性
30、能的两种不同度量方式。(2.16)物体平衡时，静摩擦力总是小于或等于最大静摩擦力，因此，全反力FR与接触面法线间的夹角j也总是小于或等于摩擦角j m，即全反力的作用线不可能超出摩擦角的范围。若物体与支承面的静摩擦因数在各个方向都相同，则这个范围在空间就形成一个锥体，称为摩擦锥，如图2.16(c)所示。若主动力的合力FQ的作用线在摩擦锥范围内，约束面必产生一个与之等值、共线、反向的全反力FR相平衡，不论FQ怎样增大，物体总能处于静止平衡状态。这种只需主动力的合力其作用线在摩擦锥范围内，物体依靠摩擦总能静止而与主动力大小无关的力学现象称为自锁现象。自锁的条件为 jm (2.17)图2.16自锁现象
31、在工程实际中有很重要的应用，如工人用螺旋千斤顶顶起重物，为保证螺旋千斤顶在被升起的重物的重力G作用下不会自动下降，则千斤顶的螺旋升角jm，如图2.17 所示；工厂生产线上用传送带输送物料，就是通过自锁来阻止物料相对于传送带的滑动的；等等。相反，在工程实际中有时又要设法避免自锁现象的发生。例如，自卸货车的车斗能升起的仰角必须大于摩擦角jm，卸货时才能处于非自锁状态；机器正常运行时的运动零部件不能因自锁而造成零部件相对卡住等。图2.17图2.172.5.3考虑摩擦时物体平衡问题的处理考虑摩擦时物体平衡问题的处理考虑摩擦时物体的平衡问题其解题方法、步骤与不考虑摩擦时基本相同，所不同的是：在画物体受力
32、图时，一定要画出摩擦力，并要注意摩擦力总是沿着接触面的公切线并与物体相对滑动或相对滑动趋势的方向相反，其方向要正确画出，不能随意假定；除列出物体的平衡方程外，还应附加静摩擦力的求解条件作为补充方程，因静摩擦力有一个变化范围，故所得结果也是一个范围值，称为平衡范围，在临界平衡状态时，补充方程为Ff=Ffmax=fFN，所得的结果也是平衡范围的极限值。一般考虑有摩擦时的平衡问题可分为下述三种类型:(1)已知作用于物体上的主动力，需判断物体是否处于平衡状态，并计算所受的摩擦力。(2)已知物体处于临界的平衡状态，需求主动力的大小或物体平衡时的位置(距离或角度)。(3)求物体的平衡范围。由于静摩擦力的值
33、可以随主动力变化而变化，因此物体平衡时，主动力的大小或平衡位置允许在一定范围内变化。【例2.11】一重为G=200 的梯子AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置在水平地面上，q=arctan(4/3)，梯子长为l，如图2.18(a)所示。假设梯子与墙壁间为光滑约束，而与地面之间存在摩擦，静摩擦因数f=0.5。梯子是处于静止还是会滑倒？此时摩擦力的大小为多少？图2.18解解解这类问题时，可先假设物体静止，求出此时物体所受的约束反力与静摩擦力Ff，把所求得的Ff与可能达到的最大静摩擦力Ffmax进行比较，判断物体的状态。(1)取梯子为研究对象，画受力图，如图2.18(b)所示。(2)建立坐标系，列平
34、衡方程。解得(3)补充方程。FfmaxA=fFNA=0.5200=100 N(4)比较。FfAFfmaxA，梯子处于静止状态。此时，摩擦力的大小为75 N，方向如图所示。【例2.12】一重为G的物体放在倾角为的斜面上，如图2.19(a)所示。物体与斜面间的静摩擦因数为f，摩擦角为jm，且jm。试求使物体保持静止时水平推力F的大小。图2.19解解因为jm，所以物体处于非自锁状态，当物体上没有力作用时物体将沿斜面下滑。要使物体在斜面上保持静止，作用于物体上的水平推力F不能太小，也不能太大。当作用于物体上的水平推力F太小时，物体有可能沿斜面下滑；当F太大时，物体有可能沿斜面向上滑动。因此，F的大小应
35、在某一个范围内，即 FminFFmax(1)求Fmin。当物体处于下滑趋势的临界状态时，F为最小值Fmin，受力图如图2.19(b)所示。因为物体有向下的滑动趋势，所以摩擦力Ffmax应沿斜面向上。沿斜面方向建立直角坐标系，列出平衡方程 Fx=0 Fmincos-Gsin+Ffmax=0 Fy=0 FN-Fminsin-Gcos=0 列补充方程 Ffmax=fFN=FNtanjm解得(2)求Fmax。当物体处于上滑趋势的临界状态时，F为最大值Fmax，受力图如图2.19(c)所示。因为物体有向上的滑动趋势，所以摩擦力Ffmax应沿斜面向下。沿斜面方向建立直角坐标系，列出平衡方程 列补充方程 F
36、fmax=fFN=FNtanjm解得综合以上结果可知，使物体保持静止时水平推力F的取值范围为 Gtan(-jm)FGtan(+jm)【例2.13】摩擦制动器的构造和主要尺寸如图2.20(a)所示，已知摩擦块与轮之间的静摩擦因数为f，作用于轮上的转动力矩为M，轮半径为R。在制动杆B处作用一力F，制动杆尺寸为a、l，摩擦块的厚度为。求制动轮子所需的最小力Fmin。图2.20解解当轮子刚能停止转动，摩擦块与轮子处于临界平衡状态时，制动轮子所需的F的大小为Fmin。分别取轮子、制动杆为研究对象，画受力图，如图2.20(b)、(c)所示。对于轮子，列平衡方程 MO(F)=0M-Ffmax=0 列补充方程
37、 Ffmax=fFN 对于制动杆，列平衡方程又有解得2.5.4滚动摩擦简介滚动摩擦简介当搬运机器等重物时，在重物底下垫上辊轴，比直接放在地面上推或拉要省力得多，这说明用辊轴的滚动来代替箱底的滑动所受到的阻力要小得多。车厢采用车轮，机器中采用滚动轴承，如图2.21所示，也都是这个道理。图2.21滚动阻力小于滑动阻力的原因，可以用车轮在地面上的滚动来分析。如图2.22(a)所示，将一重为G的轮子放在地面上并在轮心施加一微小的水平力F，这时在轮子与地面的接触处就会产生一摩擦阻力Ff以阻止轮子朝前滚动，Ff与F等值、反向，组成一个力偶，其力偶矩大小为Fr，它将驱使轮子产生转动趋势。当力F不大时，转动并
38、没有发生而是保持平衡，这说明还存在一个阻碍转动的力偶矩，称为滚动摩擦力偶矩。其原因是轮子和地面都是变形体，都要产生变形，由于它们的变形，其上的约束反力分布在接触的曲面上，形成一个平面的任意力系，如图2.22(b)所示。将这些任意分布的力向点A简化，即可得到一个力和一个力偶，其中这个力可分解为法向约束反力(正压力)和静摩擦力Ff，而这个力偶的矩即为滚动摩擦力偶矩Mf，如图2.22(c)所示。再将法向约束反力 和滚动摩擦力偶矩f进一步按力的平移定理的逆定理进行合并，即可得到约束反力FN，其作用线向滚动方向偏移一段距离e，如图2.22(d)所示。当轮子达到开始滚动尚未滚动的临界状态时，偏移值e也增大到最大值。试验表明，最大滚动摩擦力偶矩与两个相互接触物体间的法向约束反力成正比，即(2.18)这就是滚动摩擦定律，比例常数称为滚动摩擦因数，它与相互接触物体的材料性质及接触面的硬度、湿度等有关。一般材料硬些，受载后接触面的变形就小些，滚动摩擦因数也会小些，如车胎打足气后使车胎变形减小，便可以减小滚动摩擦阻力，车子骑起来就省力些。图 2.22
