1、27.2.5 相似三角形应用举例九年级下人教版学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.学习目标重点难点金字塔亚马逊河在只有小镜子、标杆、皮尺等基本测量工具的情况下，你知道怎样测量金字塔的高度和河流的宽度吗？新课引入据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.新知学习例1 如图，木杆 EF 长 2m，它的影长 FD 为 3m，测得 OA
2、 为 201m，求金字塔的高度 BO.解：太阳光是平行的光线，因此 BAO=EDF.又 AOB=DFE=90，ABO DEF.，BOOAEFFD=134(m).201 23OA EFBOFD因此金字塔的高度为 134m.归纳归纳表达式：物1高:物2高=影1长:影2长测高方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.思考思考还可以有其他测量方法吗？AFEBOOBEF=OAAFABOAEFOB=OA EFAF平面镜C入射光线反射光线EAC=BACEAF=BAOEAF=EAO入射角=反射角测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量
3、高度”的原理解决.“在同一时刻物高与影长成正比例”和“利用镜子的反射测量高度”这两种方法都用到相似三角形的性质测量高度表达式：物1高:物2高=物1镜距:物2镜距针 对 训 练针 对 训 练1.在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一栋楼的影长为 90m，这栋楼的高度是多少？解：设这栋楼的高度是 x m由题意得解得 x=54.因此这栋楼的高度是 54m.1.8,903x2.如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚底下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部这时 LMK 等于SMT 吗？如果王青身高 1.55m，她估计自己眼睛离地面 1.50m，同时量
4、得 LM=30cm，MS=2m，这栋大楼有多高？解：根据题意，KLM=TSM=90，KML=TMS，KLM TSM，,KLLMTSSM1.5,0.32TS 即TS=10(m)所以这栋大楼高为 10m入射角等于入射角等于反射角反射角例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R.已知测得 QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.PRQSbTaPQ 90
5、=(PQ+45)60.解得 PQ=90.因此，河宽大约为 90m.PRQSbTa ，PQQRPSST 解：PQR=PST=90，P=P，PQRPST.即 ，PQQRPQQSST PQPQ 604590，45m90m60m思考思考还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 ABBC，然后，再选点 E，使 EC BC，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D 此时如果测得 BD=80m，DC=30m，EC=24m，求两岸间的大致距离 ABEADCB30 m24 m80 m解：ADB=EDC，ABC=E
6、CD=90，ABD ECD.，即 ，ABBDECDC 802430AB 解得 AB=64.因此，两岸间的大致距离为 64m.EADCB30 m24 m80 m归纳归纳 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.针 对 训 练针 对 训 练1.如图，测得BD120m，DC60m，EC50m，则河宽AB为（）A.120mB.100mC.75mD.25mB例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB=8 m 和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多
7、少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了?分析：如图，设观察者眼睛的位置(视点)为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 AFH 是观察点 A 的仰角.类似地，CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域和都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到 C 点了.由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C.解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上ABl，CDl，ABCD.AEH CEK.，EH
8、AHEKCK 81.66.4.5121.610.4EHEH 即解得 EH=8.针 对 训 练针 对 训 练1.如图，路灯灯柱OP的长为8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿AO所在的直线行走14米到达点B处，人影的长度变短了多少？解：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y，AD/OP，BC/OP，ADMOPM，BCNOPN，则 ，x-y=3.5，故变短了3.5米ADMA BCBNOPMO OPON，1.65208xxx，1.61.520148yx，y y随堂练习1.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆小丽站在离
9、南岸边15米的点P看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米22.5解：过P作PFAB，交CD于E，交AB于F，则EF长度为河宽，ABCD，PDCPBA，即EF=22.5A F BC E D PPFABPECD 15501520EF 如图，在RTABC中，C=90，BC=8，AC=6，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动当一点停止运动，另一点也随之停止运动设点Q，P移动的时间为t秒(1)设APQ的面积为S，求S与t的函数关系式解：BC=8，AC=6，
10、得AB=10，AP=t，CP=6-t，BQ=2t，AQ=10-2t，过点Q作QHAC，交AC与点H，QHABCA，即 ，QHAQBCCB 102810QHt 885QHt21184842255SAPQHttttAPQAPQH(2)当t为何值时，APQ与ABC相似.解：当APQ=90时，APQABC，当PQA=90时，APQABC，当t为 或 时，经检验，它们都符合题意，此时APQABC相似102106tt AQAPABAC 3011t AQAPACAB 102610tt 5013t 30115013利用相似三角形测量宽度表达式：物1高:物2高=物1镜距:物2镜距利用相似解决有遮挡物问题利用相似三角形测量高度表达式：物1高:物2高=影1长:影2长相似三角形应用举例课堂小结对应巩固练习见基础题与中考新考法
