1、公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 1 页（共 15 页） 2018 年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷 一 .填空题（本大题共 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分） 1（ 4 分）已知集合 A=1， 2， 3， 4， B=2， 4， 5，则 A B= 2（ 4 分）不等式 的解集为 3（ 4 分）已知 ，则 = 4（ 4 分） = 5（ 4 分）已知球的表面积为 16，则该球的体积为 6（ 4 分）已知函数 f（ x） =1+logax， y=f 1（ x）是函数 y=f（ x）的反函数，若
2、 y=f 1（ x）的图象过点（ 2， 4），则 a 的值为 7（ 5 分）若数列 an为等比数列，且 a5=3，则 = 8（ 5 分）设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，（ a+b+c）（ a b+c）=ac，则 B= 9（ 5 分）若 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于 256，则该展开式中常数项的值为 10（ 5 分）已知函数 f（ x）是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数，当 x 2， 4时， ，则 的值为 11（ 5 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， 2Sn=an?an+1（ n N*）若 bn=（ 1） n ，则数列 bn
3、的前 n 项和 Tn= 12（ 5 分）若不等式 x2 2y2 cx（ y x）对任意满足 x y 0 的实数 x、 y 恒成立，则实数 c 的最大值为 二 .选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13（ 5 分）设角 的始边为 x 轴正半轴，则 “ 的终边在第一、二象限 ”是 “sin 0”的（ ） 公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 2 页（共 15 页） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件 14（ 5 分）若直线 l1 和 l2 是异面直线， l1 在平面 内， l2 在
4、平面 内， l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是（ ） A l 与 l1， l2 都不相交 B l 与 l1， l2 都相交 C l 至多与 l1， l2 中的一条相交 D l 至少与 l1， l2 中的一条相交 15（ 5 分）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 ，其中 为 和 的夹角，若两个非零的平面向量 和 满足： ； 和的夹角 ； 和 的值都在集合 中，则 的值为（ ） A B C 1 D 16（ 5 分）已知函数 ，且 f1（ x） =f（ x）， fn（ x） =f（ fn1（ x）， n=1， 2， 3， 则满足方程 fn（ x） =x 的根的个数为（ ） A 2n
5、个 B 2n2 个 C 2n 个 D 2（ 2n 1）个 三 .解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17（ 14 分）如图，设长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB=BC=3， AA1=4 （ 1）求四棱锥 A1 ABCD 的体积； （ 2）求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 18（ 14 分）已知复数 z 满足 ， z2 的虚部为 2 公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 3 页（共 15 页） （ 1）求复数 z； （ 2）设 z、 z2、 z z2 在
6、复平面上的对应点分别为 A、 B、 C，求 ABC 的 面积 19（ 14 分）一根长为 L 的铁棒 AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m （ 1）设 BOD=，试将 L 表示为 的函数； （ 2）求 L 的最小值，并说明此最小值的实际意义 20（ 16 分）已知函数 f（ x） =2x+2 x （ 1）求证：函数 f（ x）是偶函数； （ 2）设 a R，求关于 x 的函数 y=22x+2 2x 2af（ x）在 x 0， + ）时的值域 g（ a）表达式； （ 3）若关于 x 的不等式 mf（ x） 2 x+m 1 在 x （ 0， + ）时恒成立，求实数 m 的取
7、值范围 21（ 18 分）已知 数列 an满足： a1=1， ， n N* （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）设数列 bn的前 n 项和为 Sn，且满足 ，试确定 b1的值，使得数列 bn为等差数列； （ 3）将数列 中的部分项按原来顺序构成新数列 cn，且 c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列 cn 公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 4 页（共 15 页） 2018 年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一 .填空题（本大题共 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共
8、 54 分） 1（ 4 分）已知集合 A=1， 2， 3， 4， B=2， 4， 5，则 A B= 2， 4 【解答】 解： 集合 A=1， 2， 3， 4， B=2， 4， 5， A B=2， 4 故答案为： 2， 4 2（ 4 分）不等式 的解集为 （ 1， 0 【解答】 解： ， 或 ， 解得： 1 x 0， 故答案为（ 1， 0 3（ 4 分）已知 ，则 = 【解答】 解： sin= ， cos（ +） = sin= 故答案为： 4（ 4 分） = 【解答】 解： = = ， 公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 5 页（共 1
9、5 页） = ， 故答案为： 5（ 4 分）已知球的表面积为 16，则该球的体积为 【解答】 解：一个球的表面积是 16，所以球的半径为： 2， 所以这个球的体积为： = 故答案为： 6（ 4 分）已知函数 f（ x） =1+logax， y=f 1（ x）是函数 y=f（ x）的反函数，若 y=f 1（ x）的图象过点（ 2， 4），则 a 的值为 4 【解答】 解： y=f 1（ x）的图象过点（ 2， 4）， 函数 y=f（ x）的图象过点（ 4， 2）， 又 f（ x） =1+logax， 2=1+loga4，即 a=4 故答案为： 4 7（ 5 分）若数列 an为等比数列，且 a5=
10、3，则 = 18 【解答】 解：根据题意， =a2?a8 a3?（ a7） =a2?a8+a3?a7， 又由数列 an为等比数列，且 a5=3， 则有 a2?a8=a3?a7=9， 则 =9+9=18； 故答案为： 18 8（ 5 分）设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，（ a+b+c）（ a b+c）公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 6 页（共 15 页） =ac，则 B= 【解答】 解： ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， （ a+b+c）（ a b+c） =ac，即 a
11、2+c2 b2= ac， 又 cosB= = ， B= ， 故答案为 ： 9（ 5 分）若 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于 256，则该展开式中常数项的值为 1120 【解答】 解：由题意可知， 2n=256，解得 n=8 = ， 其 展 开 式 的 通 项= ， 令 8 2r=0，得 r=4 该展开式中常数项的值为 故答案为： 1120 10（ 5 分）已知函数 f（ x）是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数，当 x 2， 4时， ，则 的值为 【解答】 解： 函数 f（ x）是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数， ， 又当 x 2， 4时， ， f（ ） =f（ ） = 故答案
12、为： 11（ 5 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， 2Sn=an?an+1（ n N*）若 bn=公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 7 页（共 15 页） （ 1） n ，则数列 bn的前 n 项和 Tn= 1+ 【解答】 解： 2Sn=an?an+1（ n N*） 当 n 2 时， 2Sn 1=an 1?an， 2an=2Sn 2Sn 1=an（ an+1 an 1）， a1=1， an 0 an+1 an 1=2， （ an+1 an） +（ an an 1） =2， an an 1=1， 数列 an是以
13、 1 为首项，以 1 为公差的等差数 列， an=1+（ n 1） =n， bn=（ 1） n =（ 1） n? =（ 1） n?（ + ）， 数列 bn的前 n 项和 Tn=（ 1+ ） +（ + ）（ + ） +（ 1） n?（ + ）， 当 n 为偶数时， Tn= 1+ ， 当 n 为奇数时， Tn= 1+ （ + ） = 1 ， 综上所述 Tn= 1+ ， 故答案为： 1+ 12（ 5 分）若不等式 x2 2y2 cx（ y x）对任意满足 x y 0 的实数 x、 y 恒成立，则实数 c 的最大值为 2 4 【解答】 解： 不等式 x2 2y2 cx（ y x）对任意 满足 x y
14、0 的实数 x、 y 恒成立， c = ， 令 ， 公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 8 页（共 15 页） =f（ t）， f（ t） = = ， 当 t 时， f（ t） 0，函数 f（ t）单调递增；当 1 t 时， f（ t） 0，函数 f（ t）单调递减 当 t=2+ 时， f（ t）取得最小值， =2 4 实数 c 的最大值为 2 4 故答案为： 4 二 .选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13（ 5 分）设角 的始边为 x 轴正半轴，则 “ 的终边在第一、二象限 ”是 “sin 0”的（ ） A充
15、分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条 件 D既非充分又非必要条件 【解答】 解： 角 的始边为 x 轴正半轴， “ 的终边在第一、二象限 ”?“sin 0”， “sin 0”?“ 的终边在第一、二象限或 的终边在 x 轴正半轴 ”， “ 的终边在第一、二象限 ”是 “sin 0”的充分非必要条件 故选： A 14（ 5 分）若直线 l1 和 l2 是异面直线， l1 在平面 内， l2 在平面 内， l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是（ ） A l 与 l1， l2 都不相交 B l 与 l1， l2 都相交 C l 至多与 l1， l2 中的一条相交 D l 至少与 l1， l2 中的一条相交 【解答】 解： A l 与 l1， l2 可以相交，如图： 公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 9 页（共 15 页） 该选项错误； B l 可以和 l1， l2 中的一个平行，如上图， 该选项错误； C l 可以和 l1， l2 都相交，如下图：
