1、 河北省张家口市重点高中河北省张家口市重点高中 2021 届高三上学期届高三上学期 10 月月考月月考 数学试卷数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合，若，则实数 a 的取值范围是 A. B. C. D. 2. 复平面内与复数所对应点关于虚轴对称的点为则 A对应的复数为 A. B. C. D. 3. 条件 p：，条件，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域为 A. B. C. D. 5. 设是奇函数，且在处有意义，则该函数是 A. 上的减函数 B. 上的增函数 C. 上的减函数
2、D. 上的增函数 6. 函数的图象大致是 A. B. C. D. 7. 定义：若函数的图象经过变换 T 后所得的图象对应的函数与的值域相同，则称 变换 T 是的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换： ，T：将函数的图象关于 y轴对称； ，T：将函数的图象关于 x轴对称； ，T：将函数的图象关于点对称 ，T：将函数的图象关于点对称 其中 T 是的同值变换的有 A. B. C. D. 8. 如图所示的程序框图中，若， ，且恒成立，则 m的最大值是 A. 4 B. 3 C. 1 D. 0 9. 二次函数 ，若，且函数在上有两个零点，求 的取值范围 A. B. C. D. 10. 设函数，若互不相
3、等的实数 a，b，c 满足 ， 则的取值范围是 A. B. C. D. 11. 函数是定义在R上的奇函数， 对任意两个不相等的正数 ， ， 都有， 记，则 A. B. C. D. 12. 函数，与 的图象上存在关于 x轴对称的点，则实 数 a的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知命题 p：，则命题 p 的否定是_ 14. 若函数的值域为 R，则实数 a的取值范围是_ 15. 若直线是曲线的切线，也是曲线 的切线，则 _ 16. 若的内角 A，B 满足 ，则当 B 取最大值时，角 C大小为_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82
4、.0 分） 17. 已知的内角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，满足 求角 B的大小；若，求的面积 18. 已知等比数列的前 n 项和为，公比， 求数列的通项公式； 设，求的前 n项和 19. 如图，四棱锥的底面 ABCD是直角梯形， ， 点 M在线段 AD上， 且，平面 ABCD 求证：平面平面 PAD； 当四棱锥的体积最大时，求平面 PCM与平面 PCD所成二面角的余弦值 20. 已知函数，且对于任意实数 x，恒有 求函数的解析式； 已知函数在区间上单调，求实数 a的取值范围； 函数有几个零点？ 21. 已知函数 讨论的单调性； 若在上存在最大值，证明： 22. 在直角坐标系 xOy
5、 中，以 O为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆 C的极坐标 方程为，直线 l的参数方程为为参数 ，直线 l和圆 C 交于 A，B两点，P 是圆 C上不同于 A，B的任意一点 求圆心的极坐标； 求面积的最大值 23. 已知函数 当时，求不等式的解集； 若二次函数与函数的图象恒有公共点， 求实数 m的取值范围 答案答案 1.【答案】B 【解析】解： 集合， ， 实数 a 的取值范围是 故选：B 由集合，由集合包含关系的定义比较两个集合 的端点可直接得出结论 本题考查集合关系中的参数取值问题解题的关键是根据题设中的条件作出判断，得到参数所 满足的不等式，从而得到其取值范围，此类题的求解，可
6、以借助数轴，避免出错 2.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了复数的运算法则、几何意义、对称性，属于基础题 利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出 【解答】 解：复数， z 所对应的点，z 关于虚轴对称的点为， 对应的复数为 故选：C 3.【答案】A 【解析】解：由题意得：条件 p：，即 p：或 所以： 由题意得：条件，即 q： 所以：或 所以是的充分不必要条件 故选：A 先求出当命题为真时 x的范围，再根据补集思想求出命题为假时的 x的范围，然后根据题意观 察两个集合之间的关系由小范围推大范围是充分不必要条件，即可得到答案 此类问题是求参数问题，解决的关键是正确利用补集的思想，
7、并且根据充要条件的判断可以 转化为两个集合之间的关系，进而求出参数的范围 4.【答案】C 【解析】解：要使函数有意义，则， 即或， 解得或， 即函数的定义域为， 故选：C 根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域 本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础 5.【答案】D 【解析】解：由于是奇函数，且在处有意义， 故有，即，解得 故 令，求得，故函数的定义域为 再根据，函数在上是增函数， 可得函数在上是增函数， 故选 D 由，求得 a 的值，可得，由此求得函数的定义域再根据 ，以及在上是增函数，可得结论 本题主要考查函数的奇偶性，复合函数的单调性，属于
8、中档题 6.【答案】B 【解析】解：作函数的图象如下， 故选：B 作函数的图象，从而确定答案 本题考查了函数的图象的作法与应用 7.【答案】B 【解析】解：的值域为，T：将函数的图象关于 y 轴对称得到 的值域为，值域相同是同值变换 ，值域为，将函数的图象关于 x 轴对称得到 ，即，两个函数的值域不相同，不是同值变换 ，函数关于对称，函数值域为，将函数的 图象关于点对称后函数是自身，满足值域相同，是同值变换 的值域为， 则的图象关于点对称后的值域仍然为， 则两个函数的值域相同，是同值变换 故 T是的同值变换的有， 故选：B 根据同值变换的定义，先求出对应的函数解析式，求出相应的值域，结合值域关
9、系进行判断 即可 本题主要考查函数图象变换以及函数值域的求解判断，结合新定义求出函数的解析式以及值 域是解决本题的关键 8.【答案】B 【解析】解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是： 计算并输出分段函数：的值， 在同一坐标系，画出，的图象如下图所示： 由图可知：当时，取最小值 3， 又恒成立， 的最大值是 3， 故选：B 由 已 知 中 的 程 序 框 图 可 得 该 程 序 的 功 能 是 计 算 并 输 出 分 段 函 数 ： 的值，数形结合求出的最小值，可得答案 本题主要考查了程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，属于基本知识的考查 9.【答案】C 【解析】解：因为函数在上有两个零点
10、，且则即 其对应的平面区域如图所示：令，由，得，由线性规划知识可 知 故选：C 若，且函数在上有两个零点，则，利用线性规划的知识可得 的取值范围 考查二次函数在特定区间与零点的关系以及线性规划中的范围问题 10.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查代数式取值范围的求法，考查 函数性质等基础知识，考查、运算求解 能力， 考查函数与方程思想， 是中档题 不妨设，利用 ，结合图象可得 c 的范围，即可 【解答】 解：互不相等的实数 a，b，c 满足，可得， 对应的函数值接近 1 时， 函数趋向最小值：， 当函数值趋向 0 时，表达式趋向最大值： 故选 B 11.【答案】C 【解析】 【分析】 设
11、， 对任意两个不相等的正数， ，都有， 可得在 上单调递增，分别化简 a，b，c，即可得出结论 本题考查大小比较，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数是关 键 【解答】 解：设， 对任意两个不相等的正数，都有， 在上单调递增， ， ， 故选：C 12.【答案】D 【解析】解：的图象关于 x 轴对称的函数解析式为，即， 若与的图象上存在关于 x轴对称的点， 则等价为与在上有交点， 即，即，有解即可， 设， 则， 当得，此时函数为增函数， 当得，此时函数为减函数， 即当时，函数取得极小值同时也是最小值， 当时， 当时， 则， 即的取值范围是， 则实数 a的取值范围是， 故选：
12、D 先求出函数关于 x轴对称的函数，转化为与对称函数有交点，利用构造函数法，结合 导数研究函数的最值即可 本题主要考查函数与方程的应用，结合对称性转化为方程有解，利用导数研究函数的单调性 和最值是解决本题的关键综合性较强 13.【答案】， 【解析】 解： 命题 p：， 则命题 p的否定是：， 故答案为：， 利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，写出命题的否定 本题考查命题的否定，命题的否定即命题的对立面“全称量词”与“存在量词”正好构成 了意义相反的表述如“对所有的 都成立”与“至少有一个 不成立”；“都是”与“不都 是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在
13、性命题”的否定一定是“全 称命题” 14.【答案】 【解析】解： 函数的值域为 R， ，且， 当时， 故只需即可， 解不等式可得， 综上可得 a 的取值范围为：且 故答案为： 问题转化为可以取所有正数，且，由分类讨论和基本不等式可得 本题考查对数函数的性质，涉及恒成立问题和基本不等式求最值，属中档题 15.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了导数的几何意义，属于中档题 设切线与两曲线的切点的横坐标分别为，根据导数的几何意义得到 k与切点横坐标的关 系，由切点在切线上，又在曲线上，列方程组，解之即可得到答案 【解答】 解：设直线与曲线和的切点横坐标分别为， 对函数求导，得；对函数求导，得 由
14、导数的几何意义可得， 再由切点既在切线上也在各自的曲线上，可得 代入得， 得，代入得， 将，代入，得 故答案为 16.【答案】 【解析】 【分析】 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键 已知等式变形后，利用同角三角函数间基本关系化简，利用基本不等式求出 tanB 的最大值， 进而求出 B的最大值，即可求出 C 的度数 【解答】 解：已知等式变形得：， ， ， 与 B 为锐角， ，当且仅当，即时取等号， ，即 B的最大值为 ， 则 故答案为： 17.【答案】解：根据题意，中，有，则有， 变形可得， 又由，则， 又由，则； 根据题意，中有， 由余弦定理可得， 故，变
15、形可得，得， 故为正三角形， 故 【解析】根据题意，由正弦定理可得，变形可得，进 而可得 cosB 的值，分析可得 B 的值； 根据题意，由余弦定理可得 ，变形可得，得 ，据此分析可得答案 本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题 18.【答案】解：等比数列的前 n 项和为，公比， ， ，即， ，解得或舍去 又， ，代入，解得， ， 的前 n 项和： ， ， 得： ， 【解析】本题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式，数列前 n 项和的求法，解题时要认真 审题，注意错位相减法的合理运用 先求出，从而，解得， 再由，得，从而求出数列的通项公式 由，利用错位相减法能
16、求出的前 n项和 19.【答案】证明：由，可得， 得四边形 ABCM是矩形， 又平面 ABCD，平面 ABCD， 又，PM，平面 PAD，平面 PAD， 又平面 PCM， 平面平面 PAD 解：四棱锥的体积为： ， 要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值 由条件可得， ，即， 当且仅当时，取得最大值 36 分别以 AP，AB，AD所在直线为 x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系 则0，6，0，0， ， 设平面 PCD的一个法向量为， 由， 可得，令，得， 同理可得平面 PCM 的一个法向量为， 设平面 PCM与平面 PCD 所成二面角为 ， 则 由于平面 PCM 与平面 PCD 所成角为锐二
17、面角， 平面 PCM 与平面 PCD 所成二面角的余弦值为 【解析】推导出，从而平面 PAD，由此能证明平面平面 PAD 四棱锥的体积为，要使四棱锥 的体积取最大值， 只需取得最大值 推导出当且仅当时， 取得最大值分别以 AP，AB，AD所在直线为 x 轴、 y 轴、z轴建立空间直角坐标系利 用向量法能求出平面 PCM与平面 PCD所成二面角的余弦值 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 20.【答案】解：由题设得：， ， ， 对于任意实数 x 都成立， 由， 得 在上恒单调，只需或
18、在上恒成立 即或在上恒成立 或在上恒成立 设，易知：， 或 令， 令或或，列表如下： 当时，无零点； 当或时，有两个零点； 当时，有三个零点； 当时，有四个零点 【解析】先表示出汗水的表达式，再根据求出 b 的值，进而可确 定函数的解析式 将中求出的函数的解析式代入函数然后求导，将问题转化为或 在上恒成立 对函数进行求导， 然后根据导函数的正负和原函数的单调性的关系判断函数的单调性， 进而确定零点 本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系对原函数进行求导，然后列出 函数、随 x 变化的表格，其单调性、极值点即可呈现出来 21.【答案】解：定义域为， ， 当时，在上单调递减， 当时，
19、由，得，在上单调递增， 由 ，得，在上单调递减， 综上，当时，的单调递减区间是； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是 易知， 当时，由知，在上单调递减，此时，在上不存在 最大值 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则， 故， 设，则， ，在上单调递增， ，即 ，且， 要证，只需证，即证， 设， 则，则在上单调递减， 从而，即，则， 由可知， 【解析】分类讨论，利用导数求函数的单调区间即可，注意函数的定义域为； 从中结论可知，当时，在上单调递减，不存在最大值；当时， ，再构造函数，结合导数，利用分析法证明即可 本题考查了利用导数求含参函数的单调性问题，最值，以及证明不等式，其中证明不等式属
20、于难点，需要多次构造函数，考查了学生转化与回归的能力 22.【 答 案 】 解 ：由 圆C的 极 坐 标 方 程 为， 化 为 ， 把代入可得： 圆 C的普通方程为， 即 圆心坐标为， 圆心极坐标为； 由直线 l的参数方程为参数 ，把代入可得直线 l的 普通方程：， 圆心到直线 l的距离， ， 点 P 直线 AB距离的最大值为， 【解析】 由圆 C 的极坐标方程为， 化为， 把代入即可得出 把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离 d，再 利用弦长公式可得，利用三角形的面积计算公式即可得出 本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公 式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 23.【答案】解：当时， 由结合函数的单调性易得不等式解集为； 由二次函数的解析式可得该函数在对称轴处取得最小值 2， 而在处取得最大值， 所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，只需， 即 【解析】将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数的单调性和不等式的特点即 可确定不等式的解集； 首先求得二次函数的最小值和的最大值，据此得到关于实数 m的不等式，求解不等式 即可求得最终结果 本题考查了绝对值不等式的解法，二次函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计 算能力，属于中等题
