1、 高高 三三 学年学年 上上 学期学期 期中期中考试考试 数学试题（理科）数学试题（理科） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.已知集合 Ax|x22x30，集合 Bx|log2(x1)0，则 AB（ ） A. x|2x3 B. x|2x3 C. x|1x3 D. x|1x2 2. 已知:28 0, :340 x pqxx ，则（ ） Ap是q的充分不必要条件 B p是q 的充分不必要条件 Cp是q的必要不充分条件 D p是q 的必要不充分条件 3已知向量 ba, 不共线， bac 3 ， bmamd)2( ，
2、若 dc/ ，则m（ ） A -12 B -9 C-6 D-3 4某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为 3km和 5km，测得灯塔A在观察站C北偏西 50 ，灯塔B在观察站C北偏东 70 ，则两灯塔A，B间的距离为（ ） A7 B8 C 3415 3 D 3415 3 5. 已知函数 1log 12 )( 2 xx x xf x ，则)2(ff=（ ） A0 B-1 C1 D2 6.某化工厂生产一种溶液，按要求，杂质含量不能超过 0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一 次可使杂质含量减少 1 4 ，要使产品达到要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.301， lg3=0.477） （ ）
3、 A10 B11 C12 D13 7. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边位于第三象限且过点 ( , )P a b，若 3 cos2 5 ，则 b a （ ） A 1 2 B2 C 1 2 D2 8 函数 3 ()2 x yxx的图象大致是（ ） A B C D 9已知函数( ) 2sinf xxx ，若 3 (3 )af ，( 2)bf ， 2 (log 7)cf，则, ,a b c 的大小关系为（ ） Aabc Bbca Ccab Dacb 10函数 sin 2 2 f xAx 部分图象如图所示，对不同的 12 ,x xa b，若 12 f xf x，有 12 3f xx
4、，则该函数的图象（ ） A关于直线 4 x对称 B关于直线 3 x对称 C 关于点 0 , 3 对称 D. 关于点 0 , 4 对称 11.已知函数( )f x是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有 2 () ( ) x fx e f x ，当0 x 时( )( )0f xfx，若(21)(1) a e faf a，则实数a的取值范围是( ) A0， 2 3 B 2 ,0 3 C0，) D(，0 12.设函数( )2 x f xxea，( ) x g xeax，其中1a ，若存在唯一的整数 0 x使得 00 ()()f xg x，则a的取值范围是( ) A 3 2e ，1) B 3 2
5、e ， 3) 4 C 3 2e ，1) D 3 2e ， 3) 4 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 2 2 2 sin4xxdx _. 14已知6sincos1 cos2 ，则tan 4 _. 15若函数 f x满足 1f xfx，13fxfx当且仅当1,3x时， 3 logf xx ，则57f_ 16已知函数 ln,0 2,2 xx e f x fexexe ，若方程 F（x）f（x）ax 有 4个零点， 则 a的范围为_. 三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. （本题满分 10 分）在AD是BC边上的高，且=6 3
6、AD BC， AD平分BAC，且， 7 312 AD，AD是BC边上的中线，且 37 = 2 AD 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边BC的长 问题： 在锐角ABC中， 已知4,3ABAC=，D是边BC上一点， _，求边BC的 长 注：注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18. （本题满分 12 分） 已知函数 2 3sin22sinf xxx （1）求函数 f x的最小正周期及单调增区间； （2）将函数 f x的图象向左平移 12 个单位，再向下平移 1 个单位后得到函数 g x的图 象，当, 6 3 x 时，求函数 g x的值域 19. （本题满分 12 分）
7、已知函数 22 ( )() x f xexaxb ，若 ( )f x的图象在点(2,(2)f 处的切线方程为47yx （1）求a，b的值； （2）求 ( )f x在 3,2 上的最值 20. （本题满分 12 分）在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 334 sinssinsininCBbcaBC （1）求角 A的大小； （2）若2 sin2 sin3bBcCbca，求ABC面积的取值范围 21（本题满分 12 分）已知函数 2 11 ( )ln(1) 22 f xxxmxm （1）设2x是函数 ( )f x的极值点，求m的值，并求( )f x的单调区间；
8、（2）若对任意的(1,)x，( )0f x 恒成立，求m的取值范围 22 （本题满分 12 分） 已知函数 2 113 ln,ln 424 f xxag xx xx （1）求证： 2 1 1 1 4 f xa x ； （2） 用m a x,p q表示 , p q中的最大值， 记 max,h xf xg x， 讨论函数 h x零 点的个数 数学试题（理科）答案数学试题（理科）答案 一选择题（一选择题（60 分）分） 二填空题（二填空题（20 分）分） 13. 2 14. 2 或-1 15. 2 16. e 1 0， 三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. （
9、本题满分 10 分） 方案一：选条件： 由面积关系得： 113 ABAC sinBACBCsin 2223 ADBACBAC 在 ABC中，由余弦定理得 2 91624 3 cos60 =13BC ， 所以 = 13BC 方案二：选条件： 设=BAC，则= 2 BADDAC ，由面积关系得： 1112 3112 33 3 4 sin3sin4sincos 2272272223 在ABC中，由余弦定理得 2 916243 cos=13 3 BC ， 所以 = 13BC 方案三：选条件： 设=2BCa，分别在ABC与ADC中由余弦定理得： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10、 答案 A D D A D B B B D C B C 2 2 37 9 9416 4 cos=cos 23232 a a DCABCA aa ， 13 2 a，= 13BC 18. 2 3sin22sinf xxx 3sin21 cos2xx 31 2sin2cos21 22 xx 2sin 21 6 x （1）T= 2 2 =, 由222 262 kxk ，kZ， 解得 63 kxk ，kZ 函数 f x的单调增区间为, 63 kk ，kZ； （2）将函数 f x的图象向左平移 12 个单位， 得2sin 212sin21 126 yxx ，再向下平移 1 个单位后得到函数 ( ) 2si
11、n2g xx=， 由, 6 3 x ，得 2 2, 33 x ， 3 sin2,1 2 x ， 则函数 g x的值域为3,2 19.（1）由题意知， 22 ( )(2) x fxexaxab ， 则(2)38fab ，(2)42fab，又已知 ( )f x的图像在点(2,(2)f 处的切线方 程为47yx， 因而 124 483 ba ba ，得 1 1 a b （2） 22 ( )1 x f xexx 由 22 ( )20 x fxexx 得2x或1x 所以( ) fx， ( )f x随x的变化情况如下表所示： x 3 ( 3, 2) 2 ( 2,1) 1 (1,2) 2 ( ) fx 0
12、0 ( )f x 5 11e 4 5e 1 e 1 因而函数 ( )f x在 3,2 上的最大值为 1，最小值为 1 e 20. （1）由334 sinssinsininCBbcaBC 及正弦定理得： 3sinsin3sinsin4sinsinsinBCCBABC ， 因为0B， 2 C ，所以sin0B，sin0C ， 所以 3 sin 2 A ，又0 2 A ，所以 3 A ； （2）由正弦定理 2 sins 3 insi3nBC ba A c a， 3 sin 2 b B a ， 3 sin 2 c C a ， 由2 sin2 sin3bBcCbca得： 33 223 22 bc bcb
13、ca aa ， 即 222 3 3 bcaabc，由余弦定理得，bcacb 222 解得3a ， SABC1 2bcsin A ) 3 2 sin(sin3sinsin3BBCB = 3 2 sin (2B 6) 3 4 ， ABC 为锐角三角形，0B 2，即 6B 2， 62B 6 5 6 ， 1 2sin (2B 6)1， 3 2 SABC3 3 4 . ABC面积的取值范围为 4 33 2 3 ， 21. （1）由题意，函数 2 11 ln1(0) 22 f xxxmxmx， 则 1 1fxxm x ， 因为2x是函数 f x的极值点，所以 1 2210 2 fm ，故 3 2 m ，即
14、 15 2 fxx x ，令 2 15252 0 22 xx fxx xx ，解得 1 0 2 x或2x. 令 2 252 0 2 xx fx x ，解得 1 2 2 x, 所以 f x在 1 0, 2 和2,上单调递增，在 1 ,2 2 上单调递减. （2）由 1 1fxxm x ， 当1m时， 0fx ，则 f x在1,上单调递增， 又 10f，所以 2 11 ln10 22 xxmxm恒成立； 当1m时，易知 1 1fxxm x 在 1,上单调递增， 故存在 0 1,x ，使得 0 0fx， 所以 f x在 0 1,x上单调递减，在 0, x 上单调递增， 又 10f，则 0 0f x，
15、这与 0f x 恒成立矛盾. 综上，m 取值范围是1-， 22 （1）证明：设 2 1 11 1ln1 4 xf xax xx ，定义域为0,， 则 22 111x x xxx . 当01x时， 0 x；当1x 时， 0 x， 故 x在0,1内是减函数，在1,内是增函数， 所以1x 是 x的极小值点，也是 x的最小值点， 所以 min 10 xx，所以 2 1 1 1 4 f xa x （2）解：函数 f x的定义域为0,， 2 3233 21111121 2222 xxxx fx xxxxx ， 当01x时， 0fx ；当1x 时， 0fx ， 所以 f x在0,1内是减函数，在1,内是增函
16、数， 所以1x 是 f x的极小值点，也是 f x的最小值点， 即 min 1f xfa 若0a，则 22 1 31113 4244 xx f xg x xxx ， 当01x时， f xg x；当1x 时， f xg x； 当1x 时， f xg x. 所以 ,01 ,1 f xx h x g xx ，于是 h x只有一个零点1x . 当0a，则当01x 时， f xg x，此时 0h xf xa， 当1x 时， 0f xa， 0g x ，此时 0h x 所以 h x没有零点. 当0a，则当01x时，根据（1）可知， 2 1 1 1 4 f xa x 而 1 01 21a ，所以 2 11 21 10 421 faa a 又因为 min 10f xfa，所以 f x在0,1上有一个零点 0 x， 从而一定存在 0,1 cx，使得 f cg c， 即 2 113 0 424 a cc ，所以 2 311 442 a cc 当xc时， 222 1131111 20 42442424 cx cx g xf xa xxxxcccxcx ， 所以 g xf x，从而 ,0 , f xx c h x g xxc ， 于是 h x有两个零点 0 x和 1. 故当0a时， h x有两个零点. 综上，当0a时， h x有一个零点，当0a时， h x没有零点，当0a时， h x有 两个零点.
