1、 鱼台一中高三数学试题鱼台一中高三数学试题 一一. . 选择题（本大题共选择题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符只有一项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1. 设集合 | 24 x Ax ，集合 |lg(1)Bx yx ，则 A B等于( ) A.(1,2) B. (1,2 C. 1,2) D. 1,2 2.复数 1 1i 的共轭复数为（ ） A. 11 22 i B. 11 22 i C. 11 22 i D. 11 22 i 3.已知 2 cossin，则cos2（ ）
2、 A. 51 2 B. 51 2 C. 1 2 D. 52 4.已知等比数列 n a中， 1 1a ， 35 6aa，则 57 aa（ ） A. 12 B. 10 C. 12 2 D. 6 2 5.在ABC中，AB c ，AC b 若点D满足 2BDDC ，则AD （ ） A. 21 33 bc B. 52 33 cb C. 21 33 bc D. 12 33 bc 6.已知函数 f x满足：对任意 1 x、 2 0,x 且 12 xx，都有 12 12 0 f xf x xx ；对定 义域内的任意x，都有 f xfx，则符合上述条件的函数是( ) A. 2 1f xxx B. 1 f xx
3、x C. ln1f xx D. cosf xx 7.已知 n a为等差数列， n S为其前n项和，若 35 72aa，则 13 S（ ） A. 49 B. 91 C. 98 D. 182 8.“中国剩余定理”又称“孙子定理” 1852 年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物 不知数”问题的解法传至欧洲1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得到的关 于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理” “中国剩余定理”讲的是一个关于 整除的问题，现有这样一个整除问题：将 1 到 2019 这 2019 个数中，能被 3 除余 2 且被 5 整除余 2 的数按从小到
4、大的顺序排成一列，构成数列 n a，则此数列所有项中，中间项的值为（ ） A. 992 B. 1022 C. 1007 D. 1037 二、多项选择题二、多项选择题( (本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的选项中，有多项符合题目要在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分) ) 9.设 n a是等差数列， n S为其前n项和，且 78 SS， 8910 SSS，则下列结论正确的是（ ） A. 0d B.
5、 9 0a C. 117 SS D. 8 S、 9 S均为 n S的最大值 10.把函数 sin 2 3 f xx 的图像向左平移0个单位长度可以得到函数 g x的图 像，若 g x的图像关于y轴对称，则的值可能为（ ） A. 5 12 B. 7 12 C. 5 6 D. 11 12 11.给出下面四个推断，其中正确的为（ ）. A. 若,(0,)a b，则2 ba ab ；B. 若,(0,)x y则lg lg2 lglgxyxy； C. 若aR，0a，则 4 4a a ；D. 若, x yR，0 xy ，则2 xy yx . 12.对于函数 2 ( )16ln(1)10f xxxx，下列正确
6、的是（ ） A. 3x 是函数 ( )f x的一个极值点 B. ( )f x的单调增区间是( 1,1) ，(2,) C. ( )f x在区间(1,2)上单调递减 D. 直线16ln3 16y 与函数( )yf x的图象有 3 个交点 三三. . 填空题（填空题（ 本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.已知p： 2 430 xx，q： 2 10 xmxmmR若q是p的必要不充分条件，则 m的取值范围是 . 14 已知定义域为R的奇函数 ( )f x满足(3)( )0fxf x ，且当 3 ,0 2 x 时， 1 2 ( )log (2
7、10)f xx 则(2020)f . 15.公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分 割值约为 0.618，这一数值也可以表示为2sin18m .若 2 4mn，则 sin63 mn 16.在ABC中，60A，AB=3，AC=2 若2B DD C，AEACAB（R） ， 且4AD AE ， 则的值为 四四. . 解答题（本大题共解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知函数( )2cos sin 6 f xxx . （1）求 ( )f
8、x的最小正周期； （2）在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若( ) 1f C ，sin2sinBA，且ABC的 面积为2 3，求c的值. 18.设 n a是公比不为 1 的等比数列， 1 a为 2 a， 3 a的等差中项 （1）求 n a的公比； （2）若 1 1a ，求数列 n na的前n项和 19.已知向量a（ 3 cos 2 x ， 3 sin 2 x ） ，b（cos 2 x ，sin 2 x ） ，且0, 2 x （）用 cosx 表示ab及|ab|； （）求函数 f（x）ab2|ab|的最小值 20.给出以下三个条件： 3 4a， 4 3a， 5 2a成
9、等差数列； 对于 * nN ， 点( ,) n n S均在函数2xya 的图象上，其中a为常数； 3 7S 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解 设 n a是一个公比为(0,1)q qq的等比数列，且它的首项 1 1a ， （1）求数列 n a的通项公式； （2）令 * 2 2log1() nn banN，证明数列 1 1 nn b b 的前n项和 1 2 n T 21.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成 本，已知购买x台机器人的总成本 2 1 ( )150 600 p xxx万元 （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少
10、台？ （2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定 落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量 8 (60),130 15 480,30 mmm q m m 剟 （单 位：件） ，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为 1200 件，问引进机器人后，日平均分拣量达 最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？ 22.已知函数 2 lnf xxaxx aR （1）若函数 f x在 1,2上是减函数，求实数a的取值范围； （2）令 2 g xf xx，是否存在实数a，使得当0,xe时，函数 g x的最小值 是 3？若存在，求出实数
11、a的值；若不存在，说明理由； （3）当0,xe时，证明 22 5 (1)ln 2 e xxxx. 鱼台一中高三数学试题答案 13. 3, 14. 3 15. 2 2 16. 3 11 17.解： （1） 311 2cossincossin 2 2262 f xxxxx ， f x的最小正周期为T； （2） 1 sin 21 62 fxC ， 1 sin 2 62 C ， 0C，则 13 2 666 C， 5 2 66 C ， 3 C sin2sinBA， 2ba， 又ABC的面积为2 3， 1 sin2 3 23 ab ， 8ab， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
12、答案 B B D A A A B C ABD AD AD ACD 则2a ，4b， 由余弦定理得 2222 1 2cos242 82 3 2 cababC . 18.（1）设 n a的公比为q， 1 a为 23 ,a a的等差中项， 2 1231 2,0,20aaa aqq，1,2qq ； （2）设 n na前n项和为 n S， 1 1 1,( 2)n n aa ， 21 1 12( 2)3 ( 2)( 2)n n Sn ， 231 21 ( 2)2( 2)3 ( 2)(1)( 2)( 2) nn n Snn ， 得， 21 31( 2)( 2)( 2)( 2) nn n Sn 1 ( 2)1
13、 (13 )( 2) ( 2) 1 ( 2)3 nn n n n ， 1(13 )( 2) 9 n n n S . 19.（）ab 3 cos 2 x cos 2 x 3 sin 2 x sin 2 x cos2x2cos 2x1， |ab| 22 33 coscossinsin 2222 xxxx 22cos2x2|cosx|， 0, 2 x ，cosx0， |ab|2cosx （）f（x）ab2|ab|2cos 2x14cosx2（cosx1）23， 0, 2 x ， 0cosx1， 当cosx0 时，f（x）取得最小值1 20.（1）选进行作答 解：因为 3 4a， 4 3a， 5 2a
14、成等差数列，所以 435 642aaa， 2 333 642aqaa q即 解得1q （舍)或2q 所以 1 2n n a 选进行作答 解：由题意得2n n Sa 因为 11 21aSa，所以1a 所以21 n n S 1 1 2,21 n n nS 当时， 1 1 2,2n nnn naSS 所以当时， 当1n 时， 1 1a ，符合上式，所以 1 2n n a ； 若选作答 解：由 3 7S ， 2 123111 77aaaaa qa q即 解得2q 或3q 又因为0q ，所以2q 所以 1 2n n a （2）证明： 1 2 22121 n n blogn ， 11 11111 () (
15、2 )(21)2 2121 nn b bnnnn ， 所以 11111111 (1)(1) 23352121221 n T nnn 因为nN，所以 1 11 21n ，所以 1 2 n T ，得证 21.解:（1）由总成本 2 1 ( )150 600 p xxx,可得 每台机器人的平均成本 2 1 150 ( )11501150 600 1212 600600 xx p x yxx xxxx , 当且仅当 1150 600 x x ,即300 x时,等号成立, 若使每台机器人的平均成本最低,则应买 300 台； （2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量 8 (60)(130) ( )15
16、 480(30) mmm q m m , 当130m时,300 台机器人的日平均分拣量为 2 160601609600mmmm, 当30m时,日平均分拣量有最大值 144000； 当30m时,日平均分拣量为480 300144000, 300 台机器人的日平均分拣量的最大值为 144000 件 若传统人工分拣 144000 件,则需要人数为144000120 1200 （人） 日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120 3090 22.（1）解: 2 121 ( )20 xax fxxa xx 在 1,2上恒成立, 即 2 210 xax 在 1,2上恒成立, 所
17、以 1 2ax x 在1,2上恒成立, 设 1 2h xx x ,则 h x在1,2上单调递减,所以 min 7 2 2 h xh 所以 7 2 a （2）解:存在, 假设存在实数a,使 2 ln0,g xf xxaxx xe 有最小值 3, 11 ( ) ax g xa xx 当0a 时, ( ) 0gx ,则 g x在0,e上单调递减, 所以 min 13g xg eae ,解得 4 a e （舍去） ； 当 1 0e a 时,当 1 0,x a ,则 ( ) 0gx , 所以 g x在 1 0, a 上单调递减,在 1 ,e a 上单调递增, min 1 1ln3g xga a ,解得 2 ae,满足条件； 当 1 e a 时, ( ) 0gx ,则 g x在0,e上单调递减, 所以 min 13g xg eae ,解得 4 a e （舍去）, 综上,存在实数 2 ae,使得当 0,xe时 g x有最小值 3. （3）证明:令 2 lnF xe xx,由（2）知, min3F x, 令 ln5 ( ) 2 x x x ,则 2 1 ln ( ) x x x , 当0 xe时, 0 x ,则 x在0,e上单调递增, max 1515 ( )( )3 222 xe e 2 ln5 ln 2 x e xx x , 即 22 5 (1)ln 2 e xxxx
