1、 2020-2021 上半学年高三年级第一次月考数学试题（理科）上半学年高三年级第一次月考数学试题（理科） 时间：时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分分 一、单选题一、单选题 1已知集合 2 20Ax xx， 12Bx x，则AB （ ） A 1 2,3 B2,3 C1,3 D 11,3 2已知命题p：R ， 5 sincos 4 ，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真 命题的是（ ） A( )pq Bp q C( )()pq D()()pq 3已知 1 sin 35 ，则sin 2 6 （ ） A 2 25 B 23 25 C 2 25 D 23 25 4已知平面向量1,a
2、m， 1, 3b ，且abab，则a （ ） A 2 3 3 B 3 3 C 3 D3 3 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A20 B24 C 18 D16 6已知 f x是R的奇函数，满足 11fxfx，若 12f，则 1232019ffff（ ） A50 B2 C0 D50 7甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有 3 个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同 去一个景点，则不同的选择方案的种数是（ ） A54 B36 C27 D24 8在等比数列 n a中， 315 ,a a是方程 2 680 xx的根，则 1 17 9 a a a A 22 B 22 C22
3、D2 9已知 A、B 是圆 22 :9O xy上的两个动点，且3AB ， 21 33 OCOAOB若点 M是线 段AB的中点，则OC OM （ ） A 9 4 B2 C 27 4 D3 101748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式 ix ecos isin xx ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公 式，有下列四个结论： i e10 ； 2019 13 i1 22 ； ii 2cosee xx x ； ii 2sinee xx x .其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 11设双曲线设双曲线 22 22 :1(0,
4、0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 12 ,F F，过，过 2 F的直线与双曲线的右支交的直线与双曲线的右支交 于两点于两点,A B，若，若 1 :3:4AFAB ，且，且 2 F是是AB的一个四等分点，则双曲线的一个四等分点，则双曲线C的离心率是（的离心率是（ ） A 5 2 B 10 2 C 5 2 D5 5 12已知函数已知函数 f（x）满足）满足 f（x）f（3x） ，当） ，当 x1，3） ， ） ，f（x）lnx，若在区间，若在区间1，9）内，函数）内，函数 g（x）f（x）ax有三个不同零点，则实数 有三个不同零点，则实数 a的取值范围是（的取值范围是
5、（ ） A 3 1 3 ln e ， B 31 93 ln e ， C 31 92 ln e ， D 33 93 lnln ， 二、填空题二、填空题 13函数 0,3 0),3(log1 )( 3 x xx xf x ，则)7(log)6( 3 ff_ 14 54 (1) (1)xx的展开式中 3 x的系数为_.（用数字作答） 15已知实数yx,满足约束条件， 01 01 0 y yx xy 则yxz 3的最大值为_ 16, 2,3, 3, ,BCABPABCABABCPAABCP底面中，在三棱锥 ，底面, 2, 3,2,BCABPABCABABCPA , BFAESCFE与则异面直线的三等分
6、点是若,所成角 的余弦值 . 三、解答题三、解答题 17已知数列 n a的前 n 项和为 n S，且满足 14 ,N 33 nn San . （1）求数列 n a的通项公式； （2）令 1 4 log nn ba ，记数列 1 13 nn bb 的前 n项和为 n T，求证： 3 4 n T . 18已知ABC的内角CBA,所对的边为cba,，CAsin2sin,cb32 . （1）求Acos ； （2）若角A的平分线交BC于D,且ABC的面积为 4 153 ，求AD的长. 19设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 2 3 .假定甲、乙两位同学到校情况 互不影响，且任一
7、同学每天到校情况相互独立.A （1）用X表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期 望； （2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到 校的天数恰好多 2”，求事件M发生的概率. 20已知椭圆 22 :1 43 xy C左，右焦点分别为 1 F， 2 F，S为椭圆上任意一点，过 2 F的直线l与椭 圆C交于A，B两点. （1）当 22 AFF B时，求SA SB 的最大值； （2）点M在线段AB上，且 2AMMB ，点B关于原点对称的点为点P，求BPM面积的取 值范围. 21已知函数Raaxaxxxx
8、f, 2 1 ln)( 23 . （1）当0a时，求)(xf的最值； （2）若函数 x xf xg )( )(存在两个极值点 21,x x，求)()( 21 xgxg的取值范围. 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l的参数方程为 1 2 xt yt （t为参数） ，以原点 O为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2 4 3cos2 . （1）求直线 l的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知点( 1,2)P ，直线 l与曲线 C 相交于 AB 两点，求| |PAPB 的值. 则 111 11 () 13(2)22 nn bbn nnn ， 所以数列
9、1 13 nn bb 的前 n 项和： 111111111111 (1)()()()()() 23243546112 n T nnnn 11113111 (1)() 22124212nnnn ， 因为nN ，所以 11 0 12nn ，所以 31113 () 42124nn ， 即 3 4 n T . 18 4 1 cos) 1 (A 5 29 25 162 5 3 5 2 2 4 153 sin 4 3 sin 2 1 4 15 sin 4 1 cos, 0)2( 2 2 ADAD ABACAD cAcAbcS AAA 由角分线定理得： 19 ()因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，
10、 且每天7:30之前到校的概率均为 2 3 ， 故 2 3, 3 XB ，从面 3 3 21 0,1,2,3 33 kk k P XkCk . 所以，随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量X的数学期望 2 ()32 3 E X . ()设乙同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数为Y，则 2 3, 3 YB . 且3,12,0MXYXY. 由题意知事件3,1XY与2,0XY互斥， 且事件3X 与1Y ，事件2X 与0Y 均相互独立， 从而由()知： ()3,12,0P MPXYXY 3,12,0P XYP XY (3) (1)(2)
11、(0)P XP YP XP Y 824120 279927243 . 20 （1）当 22 AFF B时， 2 F为线段AB的中点，根据椭圆的对称性，可知ABx轴， 所以 2 26 3 2 b AB a ， 所以 2 22 2 222222 327 3 24 SA SBSFF ASFF BSFF A ，当点S在椭 圆的左顶点时，等号成立，故SA SB 的最大值为 27 4 . （2）由题可知 2 1,0F，设:1l xmy， 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 22 ,Pxy， 由题意可知， 21212 12211 33323 BPMABPAOB SSSOFyyyy ， 联立 22
12、1 1 43 xmy xy ，整理得 22 34690mymy， 由根与系数的关系得 12 2 6 43 m yy m ， 12 2 9 43 y y m ， 所 22 12121212 4yyyyyyy y 22 222 2 36912 1 4 4343 43 mm mm m ， 令 2 11tmt， 则 2 22 4144 1 3431 3 3 BPM mt S mt t ， 因为 1 3f tt t 在1,上是增函数，所以 14f tf， 所以BPM面积的取值范围为0,1. 21 22(1)由 1 2 xt yt ,两式相加可得: 1l xy,即:10l xy . 又 2 2 44 3cos222sin ,即 22222 +22sin4244xy 即 2 2 :1 2 x Cy. (2)将: 10l xy 化简成关于点( 1,2)P 的参数方程有： 2 1 2 2 2 2 xt yt ,（t 为参数）, 代入 2 2 :1 2 x Cy有 22 2 22 1222310 2140 22 tttt , 则 12 10 2 | 3 PAPBtt .
