1、9.2 环路定理与电势环路定理与电势0dddWFrq El0dbabaWqEl1 1、点电荷的电场、点电荷的电场 力学中功的定义：力学中功的定义：00d cosdq E lq E rq0qArABBrErreldrd则：则：ab0020011d()44barabrbaq qqqWrrrr 一、电场力的功2 2、对于一般带电体所激发的静电场、对于一般带电体所激发的静电场 1d()dniiWFr00210dd4niiiiqWqrrrdWW01(d)niiqEr01011()4niiaibiq qrr0210d4 banririiq qrr力的叠加原理力的叠加原理场强的叠加原理场强的叠加原理电场力的
2、功只与始末位置有关，而与路径无关，电场力为保守力，静电场为保守场电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关，电场力为保守力，静电场为保守场。ADCABClEqlEqdd000)dd(0 CDAABClElEqEABCD根据保守力的性质有根据保守力的性质有静电场中电场强度沿闭合路径的线积分等于零。静电场中电场强度沿闭合路径的线积分等于零。-静电场的环流定理静电场的环流定理说明：说明：静电场是保守场、无旋场。静电场是保守场、无旋场。二 静电场的环路定理d()bppbpapapbaFlEEEEE保选选b处为势能零点，则：处为势能零点，则：一种保守力可引入一种相关的势能；静电力是保守力，可引进电势一种保
3、守力可引入一种相关的势能；静电力是保守力，可引进电势能。依据势能的定义：能。依据势能的定义：0dbpaaEqEl 对于有限大小带电体，通常定义对于有限大小带电体，通常定义Ep0，这时电场中某点电势能为：，这时电场中某点电势能为：0dpaaEqEl 电荷在电场中某点所具有的电势能等于将电荷从电荷在电场中某点所具有的电势能等于将电荷从a a处移至势能零点处移至势能零点(b(b或无穷远处或无穷远处)时电场力做的功。时电场力做的功。三、电势能00dpaaaEWUElqq电势零点 电势能依赖于空间位置（电势能依赖于空间位置（）与电荷的电量（）与电荷的电量（)，为了仅仅描述电场能，为了仅仅描述电场能量的性
4、质，可以引入电势：量的性质，可以引入电势：aq0物理意义：物理意义：电场中某点的电势，等于将单位正电荷从该点移至电场中某点的电势，等于将单位正电荷从该点移至电势零点的过程中电势零点的过程中，电场力做的功。，电场力做的功。选择电势零点的原则：选择电势零点的原则：当零点选好之后，场中各点必须有确定值，且当零点选好之后，场中各点必须有确定值，且一个系统一个系统只能取一个零电势点只能取一个零电势点。对于有限大小带电体，通常选取无穷远处为零电势点对于有限大小带电体，通常选取无穷远处为零电势点例如：例如：点电荷点电荷 r0 无限大带电体无限大带电体 r四、电势与电势差baabUUU 2 2、用电势差表示电
5、场力的功用电势差表示电场力的功00d()bababaWqElqUU 0ddWqU 电场力的功等于电势能增量的负值等于电场力的功等于电势能增量的负值等于q q0 0与这两点的电势差的乘积。与这两点的电势差的乘积。1 1、电势差、电势差 00ddUUabErErdbaEr两边微分，得：两边微分，得：1 1、等势面、等势面说明：说明：0dd0WqU 电场强度方向与等势面正交，即电力线与等势面正交电场强度方向与等势面正交，即电力线与等势面正交,电场强度的方向为电势降电场强度的方向为电势降落的方向。落的方向。电场中电势相同的各点组成的曲面电场中电势相同的各点组成的曲面1U2U3UEq0q 电荷在等势面上
6、移动，电场力不做功电荷在等势面上移动，电场力不做功ld0ddWq El0d cos0q E l0cos 090 等势面的疏密度可直观地描述电场中场的强弱，（规定使任意相邻的两等势面等势面的疏密度可直观地描述电场中场的强弱，（规定使任意相邻的两等势面之间的之间的电势差相等电势差相等）。）。2、电场强度与电势的关系、电场强度与电势的关系00d()bababaWqElqUU 0000ddcosdddlWq Elq Elq ElqU()xyzUUUEEiEjE kijkxyz ldUEdl xdUEdx ydUEdy zdUEdz ijkxyz UUUUijkxyz EU 类似地：类似地：梯度：梯度：
7、电势梯度：电势梯度：1 1）点电荷的电势）点电荷的电势 022000ddd444aaarqqrqUErrrrrr2 2）点电荷系的电势点电荷系的电势0211014nniiiiiqEErr是矢量和是矢量和 1 1、叠加法、叠加法 104niaiiqUr是标量和是标量和五、电势的计算3 3）有限大小连续带电体的电势）有限大小连续带电体的电势 0dd4qUr0d4QqUrdd,d,dqlsV2 2、定义定义法法 直接用直接用 求电势求电势 0dUaaUEl当场强函数已知或能用高斯定律很方便求出时，当场强函数已知或能用高斯定律很方便求出时，(,)0d(d,d)4l S VlSVUr例例 计算均匀带电计
8、算均匀带电球面球面电场中的电势分布。球半径为电场中的电势分布。球半径为R、总电量为、总电量为q。解：解：根据高斯定理求出电场的分布根据高斯定理求出电场的分布r R2204qErdpaUEr设设处的处的U0时时22qdd44prrqUErrrrrR时时120dd4RprRqUErErRrR时时pqURrR时时r1PR2POq10E 解：解：取电荷元取电荷元dq，则，则0dd4()qULax0dd4()pqUULax00ln()|4LLax 例例 均匀带电细棒长均匀带电细棒长L，电荷线密度为，电荷线密度为。求棒延长线上离棒距离为。求棒延长线上离棒距离为a的的p点的电势。点的电势。00d4()LxL
9、ax0ln4 LaaL aPOxdxxddqx例例 正电荷正电荷q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的细圆环上。求环轴线上的细圆环上。求环轴线上距距环心为环心为x处的处的点点P的电势，并利用场强电势关系求场强。的电势，并利用场强电势关系求场强。解：解：建立如图坐标系，取元电荷建立如图坐标系，取元电荷dq，则：，则：PoRqdrxx01dd4PqUr01d4PUq r2204Rxq rq04 UUUEUijkxyz()223/20004()qxixR 223/204()qxixR RqU,x0040 xqU,RxP04 2204RxqUP xOURq042204Rxq 讨论讨论1 1：223/2
10、04()xqExR Ox000 E,x00 E,RxPoxxRldr讨论讨论2 2：圆盘圆盘 讨论讨论3 3：无限大平面无限大平面思考：思考：求电势的时候，势能零点不能设为无穷远处，如何处理呢？求电势的时候，势能零点不能设为无穷远处，如何处理呢？例例 求无限大带电平面的电场中任一点的电势。求无限大带电平面的电场中任一点的电势。解：解：若取带电平面为坐标原点，则场中任一点若取带电平面为坐标原点，则场中任一点002rE 因带电体是无限大平面，故不能选取无穷远处为零电因带电体是无限大平面，故不能选取无穷远处为零电势点。为此可选势点。为此可选r=0处，电势为零，于是有处，电势为零，于是有000d2pr
11、UrrPEr O02 r 例例 求无限长带电直线电场中任一点的电势求无限长带电直线电场中任一点的电势解：解：（定义法）先求其场强函数：定义法）先求其场强函数：002 Err0000dddln222arUErcrrccrcrr （i）若取）若取r时，时，U00ln2c 0ln2 arU22Sr l02 lSE 123dddeSSSE sE sE sEr（ii）若取）若取r0时，时，U000ln20arU0ln 02c？在上述两种情况下，场中电势均无确定值，故不能这样选取零电势点，在上述两种情况下，场中电势均无确定值，故不能这样选取零电势点，因此只能选取中场中某点因此只能选取中场中某点r0为零电势点，则为零电势点，则00d2rarrUr00ln2rr0ln2aUrc
