1、第第8章定章定 性性 理理 论论8.1 解的稳定性解的稳定性 8.2 一般定性理论的概念一般定性理论的概念 8.3 平面动力系统平面动力系统 8.4 结构稳定性、结构稳定性、分支与混沌分支与混沌 8.5 首次积分首次积分 8.6 守恒系统守恒系统 8.1解的稳定性解的稳定性1.李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性考虑方程组 d(,)dxf t xt(8.1)其中),(xtf在GR 1内连续，且局部地满足李氏条件，这里G是x空间的某域.对GR 1),(，以),(tx 表示(E)满足初值条件)(x的饱和解.若),(0tx 在有限区间Tt 上有定义，则当充分靠近0时，),(t也在Tt 上有定义，并且对,
2、t是连续的，因而对Tt 一致地有),(),(lim00tt即对任给的0,都有0,使得只要|-0|0,都对应存在0,使得当|-0|0，存在t00，当tt0时,有)()(tytx再 由 解 对 初 值 的 连 续 依 赖 性 知，存 在0，当)0()0(yx时，00tt )()(tytx从而知道解x=x(t)是稳定的，再由式(8.2)知它也是渐近稳定的.2.按第一近似决定稳定性按第一近似决定稳定性若作未知函数的变换：),(0tyx则方程组(8.1)化为 00d,(,),(,)dyf t ytf ttt 方程组(8.1)的解x=(t,0)对应于上述方程组的零解y=0.因此我们不妨设方程组(8.1)有
3、零解x=0，而且在适当的可微性假设下，方程组(8.1)可改写为 d()(,)dxA t xR t xt(8.3)其中R(t,x)是f(t,x)关于x的展开式中所有高于一次项的总和.齐次线性方程组 d()dxA t xt(8.4)称为方程组(8.3)的第一近似方程组.基于这种背景，我们假设A(t)在t上连续，R(t,x)在t,|x|n).那么，P()=0所有根的实部均是负的，当且仅当Dk0(k=1,n)，并且ai0(i=1,n).所谓临界情形，即A的特征根中没有实部为正但有实部为零的情形，方程组(8.3)的零解的稳定性不能应用定理8.3来判定.这时方程组(8.3)的零解的稳定性视具体情况而定.例
4、例8.3讨论方程组 3223d(),dd()dxyxxytyxx yyt 零解的稳定性，其中是常数，取值-1、0和1.解解容易算出它的第一近似方程组系数矩阵的特征根是i，因此定理8.3不能用.但是容易看出，对上述方程组的任何解x=x(t),y=y(t)有 22222d()()2()()dx tytx tytt若x=x(t),y=y(t)满足初值条件x(0)=x0,y(0)=y0，则由上式可解出 tyxyxtytx)(21)()(2020202022由此看出：当=-1时，零解全局渐近稳定；当=0时，零解稳定；当=1时，零解不稳定.例例8.4讨论方程组 的解Cyx,0(其中C是任意常数)的稳定性.
5、解 为考虑解Cyx,0的稳定性，先求出方程组满足初始条件00)0(,)0(yyxx的解 dd,ddxyxxtt)1(,000ttexyyexx取10，则 对 任 意 的0，当 初 始 扰 动,0,)(02020 xCyx2,2ln00texxt时扰动 02002012)1(Cexyextt所以解x=0,y=C是不稳定的.3.李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法为了处理稳定性问题，李雅普诺夫创立了两种著名的方法，即第一方法和第二方法.第一方法要利用微分方程的级数解，在他之后没有得到多大发展.第二方法又称为直接方法，是寻求某个与所考虑微分方程有关的所谓李雅普诺夫函数，根据这种函数的特征直接去判断解
6、的稳定性.例8.5中的x2+y2正是这样的函数.例例8.5讨论方程组 xyyyyxx,2(8.10)零解的稳定性，其中是常数，取值-1、0和1.解解取函数 22),(yxyxV(8.11)记方程组(8.10)满足初值条件x()=x0,y()=y0的解为x=x(t),y=y(t),则 d(),()2(),()dVx ty tV x ty tt解之，得)(2202022)()()()(),(teyxtytxtytxV由此可见，当=-1时，方程组(8.10)的零解是全局渐近稳定的；当=0时是稳定的；当=1时是不稳定的.该例中的函数式(8.11)正是方程组(8.10)的李雅普诺夫函数.现在一般介绍李雅
7、普诺夫第二方法.为简单计，我们只考虑右端不显含自变量t的方程组 d()dxf xt(8.12)其中x和f(x)都是n维列向量.这种方程组称为自治方程组，或称为驻定系统.假设f(0)=0（因而方程组(8.12)有零解），f(x)在域HxG:上连续，且局部地满足李氏条件.设V(x)为定义在 Hhx(8.13)上的连续可微纯量函数.如果 0,)0)(0)(,0)0(xxVxVV则称V(x)是式(8.13)上的定正（定负）函数；如果(0)0,()0()0)VV xV x则称V(x)是式(8.13)上的常正（常负）函数.引进记号18.12d()()dniiiVV xf xtx(8.14)其中fi(x)是
8、f(x)的第i个分量，则通常被称为函数V(x)沿着方程组(8.12)的方向导数.下面的结果就是经典的李雅普诺夫稳定性定理，它巧妙地将微分方程解的稳定性的判定与构造具有某种性质的纯量函数（习惯上称为李雅普诺夫函数）联系起来.定理定理8.4设V(x)是式(8.13)上的定正函数.(1)如果式(8.14)是常负函数，则方程组(8.12)的零解是稳定的；(2)如果式(8.14)是定负函数，则方程组(8.12)的零解是渐近稳定的；(3)如果式(8.14)是定正函数，则方程组(8.12)的零解是不稳定的.证明 先证 1).任给)(0h.记)(minxVrhx.根据)(xV的定正性必有0r.由)(xV连续性
9、和0)0(V知，存在0)(，使 得 当x时，rxV)(.设),(,)(tx 在域(1.10)上的右 行最大存在 区间为1tt.因为(1.11)是常负的，故当1tt 时，1d(,)(,)(,)0dniiiVVttfttx 从而1,)(),(ttrVtV由此，注意到记号r的定义就知 1,),(ttt根据延展定理，上式包含t1=.这就证明了结论(1).再证(2).按假设，式(8.14)是定负的，自然更是常负的，故由结论(1)知，方程组(8.12)的零解是稳定的.还要证明的是，存在00，使得当|0，使得当|0,t时，|(t,)|，根据式(8.14)的定负性，当tkt时有 ttVV,),()(由此，注意
10、到tk是递增的，令k+,取极限就得到(8.17)(,)(,)kVtVt 由于方程组(8.12)是自治的，根据唯一性定理，对任何k,(t+tk,)与t+,(tk,)必恒等（因为二者都是方程组(8.12)的解，而在t=0时取同样的初值）.特别就有 根据)(xV连续性 和),(t对初值的 连续 性，当k时上式右端趋于),1(V.故由(1.13)知，当k充分大时，有),(,1(),1(kktt从而(1,)(1,(,)kkVtVt )(),(,1(),1(VtVtVkk但这又与(1.14)矛盾.故必有0.最后证明(3).用反证法.假设零解是稳定的，即对任给的0，恒存在()0，使得 tt,)(,),(8.
11、18)任取0,|0，使得|(t,)|.据此，按式(8.14)的定正性，存在0，使得 d(,)dVtt 积分得 ttVtVtV,)()(),(),(由式(8.18)知，上式左端是有界的，而右端是无界的.这一矛盾表明结论(3)成立.当一个微分方程组的零解为稳定、渐近稳定或不稳定时，是否一定存在相应的李雅普诺夫函数？这便是著名的李雅普诺夫反问题.已有研究表明：对这个问题的回答是肯定的（见参考文献34）.但是理论上存在和实际上能否具体构造出来是两回事.如何构造李雅普诺夫函数，没有一般的方法可遵循，至今仍是一个吸引人的研究课题.例例8.6讨论方程组)(),(,xgyyxfyyx(8.19)零解的稳定性，
12、其中f(x,y)和g(x)连续，且在原点(0,0)附近f(x,y)0,xg(x)0(x0).解解取函数 20(,)()d2xyV x yg ss则它在原点附近是定正的，且 2(1.16)d(,)dVf x y yt 是常负的，故由定理8.4知方程组(8.19)的零解是稳定的.例例8.7讨论方程组 33,xyyx(8.20)零解的稳定性.解解取函数 44),(yxyxV则它在原点附近是定正的，且(1.17)d0dVt是常负的，从而(1.12)的 零 解 是 稳定 的.实际 上，该方 程 组 的 任何 解)(,)(tyytxx都满足ccyx,44是某一常数.可见零解只能是稳定的，而不可能是渐近稳定
13、的.例例8.8讨论方程组 3332xyyzxyxxzyzxyz (8.21)零解的稳定性.解解尝试选取函数 222),(czbyaxzyxV其中a,b,c0待定.注意到 444(1.18)d2(2)2()2()dVab xyabc xyzaxbyczt自 然 选 取cba,使 得0)(2,02cbaba.特 别 我 们 取2,1bca.对这样选取的),(,zyxVcba是定正的，而(1.18)ddVt是定负的，故(1.18)的零解是渐近稳定的.李雅普诺夫稳定性理论已经得到很大的发展，一些进一步的工作可参看34.这里我们顺便介绍关于零解全局渐近稳定的一个重要结果：假设aE)(中)(,2xfn 于
14、2R上连续可微，0)0(f.如果有 2,0,0detRxxftrxf则aE)(的零解是全局渐近稳定的，这里xfdet表示xf的行列式，xftr表示xf的迹.例例8.9假设常系数线性方程组dd,ddxyaxbycxdytt和系数矩阵的特征值都具有负的实部，试找一个二次型V(x,y)使其按方程组对t的全导数 22d()dVxyt 并从V的性质讨论方程组的零解的稳定性.解解设，则 222121),(CyBxyAxyxVd()()()()dVAxBy axbyBxCy cxdyt22)()()(ydCbBxyCcBdaBbAxBcaA)(22yx 由此得代数方程组 10)(1dCbBCcBdabABc
15、aA解得)()()(22bcaddadcbcadA)(bcaddabdacB)()()(22bcaddababcadC所以)()()()(2222bcaddacbdaBAC由于原方程组的特征方程 0)()(2bcaddadcba的根都具有负的实部，即有 0,0bcadda于是=(a+d)(ad-bc)0,AC-B20.因此二次型 是正定的，则是负定的，所以方程组的零解是渐近稳定的.222121),(CyBxyAxyxVddVt 8.2一般定性理论的概念一般定性理论的概念 假设一个运动质点M在时刻t的空间坐标为x=(x1,xn)，并且已知它在x点的运动速度为v(x)=(v1(x),vn(x)，它
16、只与空间坐标x有关.则我们推得质点M的运动方程为 d()dxv xt(8.22)它是一个自治微分方程.如果函数v(x)满足微分方程解的存在和唯一性定理的条件，则对于任何初值条件 00)(xtx(8.23)方程(8.22)存在唯一的满足初值条件(8.23)的解),(00 xttx(8.24)它描述了质点M在t0时刻经过x0点的运动.我们称x取值的空间Rn为相空间，而称(t,x)取值的空间R1Rn为增广相空间.按照微分方程的几何解释，方程(8.22)在增广相空间中定义了一个线素场，而解式(8.24)在增广相空间中的图像是一条通过点(t0,x0)与线素场吻合的光滑曲线（亦即积分曲线）.现在我们从运动
17、的观点给出另一种几何解释：方程(8.22)在相空间中的每一点x，给出了一个速度向量)(,),()(1xvxvxvn(8.25)因而它在相空间中定义了一个速度场(或称向量场)；而解的表达式(8.24)在相空间中给出了一条与速度场(8.25)吻合的光滑曲线（称它为轨线），其中时间t为参数，且参数t0对应于轨线上的点x0.随着时间t的演变，质点的坐标x(t)在相空间中沿着轨线变动，通常用箭头在轨线上标明相应于时间t增大时质点的运动方向.须注意，积分曲线是增广相空间中的曲线，而轨线则是相空间中的曲线.容易看出，积分曲线沿t轴向相空间的投影就是相应的轨线.而且轨线有明显的力学意义：它是质点M运动的轨迹.
18、由于在一般情形下得不出解式(8.24)的明显表达式，因此我们面临的任务是：从向量场式(8.25)的特性出发，去获取轨线的几何特征，或者更进一步，去弄清轨线族的拓扑结构图（称为相图）.因此，微分方程的定性理论又称做几何理论.如果x0是速度场(8.25)的零点，即v(x0)=0，则方程(8.22)有一个定常解x=x0.换句话说，点x0就是一条（退化的）轨线.这时我们称点x0为方程(8.22)的一个平衡点,它表示了运动的一种平衡态.今后我们会看到，在平衡点附近的轨线可能出现各种奇怪的分布，而且当t（或-）时，其他轨线有可能趋向（或远离）平衡点.通常，把方程(8.22)的平衡点叫做奇点.如果解式(8.
19、24)是一个非定常的周期运动，即存在T0，使得),(),(0000 xttxtTt则它在相空间中的轨线是一条闭曲线，亦即闭轨.随着t，质点M在闭轨上作周而复始的运动.在定性理论中，对奇点和闭轨的分析是一个基本的问题.例例8.10设质点M(x,y)在oxy平面上运动，已知它在(x,y)点的速度v(x,y)具有如下的水平与垂直分量：)1(,)1(2222yxyxvyxxyvyx则质点的运动方程为 2222d(1),dd(1).dxyx xytyxy xyt (8.26)应用极坐标，令x=rcos，y=rsin,可以把方程(8.26)转化为 2dd(1),1ddrr rtt然后由此积分得 221,1
20、1CteCrt设初值00)0(,)0(rr(相应于00)0(,)0(yyxx)，则20201/)1(rrC.因此，当),(00yx点位于单位圆周之内时，01C；当),(00yx点位于单位圆周之外时，01C；而当),(00yx点位于单位圆周之上时，01C.依初值),(00yx的不同，系统(2.5)的轨线有如下四种不同的类型：(1)当(x0,y0)=(0,0)时，轨线就是奇点(0,0).此时，(0,0)是系统式(8.26)的唯一平衡点.(2)当(x0,y0)点在单位圆周之上时，相应的轨线就是闭轨，它以逆时针方向为正向.(3)当(x0,y0)点在之内并且不同于点(0,0)时，相应的轨线是内的非闭曲线
21、.当t+时，它逆时针盘旋趋向于平衡点(0,0)；当t-时，它顺时针盘旋趋于闭轨.(4)当(x0,y0)点在之外时,相应的轨线就是外部的非闭曲线，而且当t-时，它顺时针盘旋趋于.图8.1 图8.2 下面是动力系统的几个基本性质.（1）积分曲线的平移不变性：即系统式(8.22)的积分曲线在增广相空间中沿t轴任意平移后还是系统式(8.22)的积分曲线.事实上，设x=(t)是系统式(8.22)的一个解，则由方程的自治性可以直接验证：对任意的常数C，x=(t+C)也是系统式(8.22)的解.(2）过相空间每一点轨线的唯一性：即过相空间中的任一点，系统式(8.22)存在唯一的轨线通过此点.事实上，轨线的存
22、在性是显然的.因此，下面只证轨线的唯一性.假设在相空间的0 x点附近有两条不同的轨线段1l和2l都通过0 x点.则在增广相空间中至少存在两条不同的积分曲线段1和2(它们有可能属于同一条积分曲线)，使得它们在相空间中的投影分别是1l和2l(见图 8-3。这里不妨设21tt).现在把1所在的积分曲线沿t轴向右平移12tt，则由性质01知道，平移后得到的1仍是系统(2.1)的积分曲线，并且它与2至少有一个公共点.因此，利用解的唯一性，1和2应完全重合，从而它们在相空间中有相同的投影.另一方面，1与1在相空间显然也有相同的投影.这蕴含1和2在相空间中的0 x点附近有相同的投影，而这与上面的假设相矛盾.
23、因此，唯一性得证.图8.3 性质（1）和性质（2）说明，每条轨线都是增广相空间中沿t轴可平移重合的一族积分曲线在相空间中的投影，而且只是这族积分曲线的投影.此外，由性质（1）还可知道，系统式(8.22)的解式(8.24)的一个平移(t-t0,0,x0)也是系统式(8.22)的解，并且容易看出它与解式(8.24)一样满足相同的初值条件式(8.23),从而由解的唯一性得知它们应该恒等，即),(),0,(0000 xttxtt因此，在系统式(8.22)的解族中我们只需考虑相应于初始时刻t0=0的解，并简记为 def00(,)=(,0,)t xtx(3）群的性质：系统式(8.22)的解(t,x0)满足
24、关系式:),(),(,(012012xttxtt(8.27)此式的含义是：在相空间中，如果从0 x出发的运动沿轨线经过时间1t到达),(011xtx，再经过时间2t到达),(,(0122xttx，那么从0 x出发的运动沿轨线经过时间21tt 也到达2x.事实上，由性质01可知),(01xtt 是系统(2.1)的解，而且易知它与解),(,(01xtt在0t时的初值都等于),(01xt.由此，由解的唯一性得知它们应恒等：),(),(,(0101xttxtt.特别，取2tt，就得到(2.6)式.注注8.2假设对于任意的x0Rn，系统式(8.22)的解(t,x0)都在-t0.当 时，方程组(8.31)
25、的轨线除了y轴上的两条轨线外，其他轨线均在原点与x轴相切；当 时，除了x轴上的两条轨线外，其他轨线均在原点与y轴相切.当、0时，零解(0,0)是不稳定的.我们称此种奇点(0,0)为两向结点或正常结点.相图如图8.5所示.11图8.5 0时，曲线族式(8.33)都不通过点(0,0).由式(8.32)的第二式知，的符号决定了轨线的盘旋方向.确切地说，0时，沿逆时针方向；0时，沿顺时针方向.相图依的不同符号分为三种：0时，曲线族式(8.33)仍为螺线族，只是当t-时盘旋地趋于点(0,0)，这时我们称(0,0)为不稳定焦点；=0时，曲线族式(8.33)成为以(0,0)为心的同心圆族，因而奇点(0,0)
26、是稳定的，但不是渐近稳定的.它称为中心点.相图如图8.8所示.图8.8 综合上面的讨论，我们有如下判定初等奇点类型的结果.定理定理8.5设p=-trA,q=detA.则有:(1)当q0,p2=4q时，(0,0)为单向结点或星型结点；(2)当q0，p24q时，（0，0）为两向结点；(3)当q0，0p20,p=0时，(0,0)为中心点.此外，在情形(1)、(2)、(4)中，奇点(0,0)的稳定性由p的符号来决定：当p0时，(0,0)是稳定的；而当p0，都有 0),(lim10ryxRr(8.34)则(0,0)也是方程组(8.30)的单向结点，并且稳定性相同；(4)如果(0,0)是方程组(8.31)
27、的星型结点，又R(x,y)满足条件式(8.34),则(0,0)也是方程组(8.30)的星型结点，并且稳定性相同.还可以证明：如果(0,0)是方程组(8.31)的双曲奇点，即矩阵A的特征值的实部都异于零，则只要R(x,y)及其导数足够小，方程组(8.30)就局部拓扑等价于方程组(8.31)，即在(0,0)的一个小邻域内，存在一个同胚变换（即本身及其逆都连续的变换）将方程组(8.30)的轨线变到方程组(8.31)的轨线，并且还保持轨线的方向.这时我们称方程组(8.31)在(0,0)附近是局部结构稳定的.这样的结果对高维动力系统同样成立.8.3.2极限环极限环下面研究系统式(8.29)的极限环，即孤
28、立闭轨的性质.我们将通过研究极限环来考察平面动力系统式(8.29)的轨线分布.所谓孤立的闭轨,是指存在闭轨的一个邻域，使得在此邻域内系统别无其他轨线.极限环的稳定性，习惯上是指通常意义下的闭轨的渐近稳定性,设是系统式(8.29)的一个极限环.如果存在的一个邻域，使得从这个邻域内点出发的轨线在t+(t-)时都盘旋趋于，则称是稳定（不稳定）的.如果存在的一侧(内侧或外侧)邻域，使得从这个邻域内点出发的轨线在t+(t-)时都盘旋趋于，则称是单侧稳定(不稳定)的.有时也称一侧稳定而另一侧不稳定的极限环为半稳定极限环.例例8.11考虑方程组 22d(1)dxyxxyt22d(1)dyxyxyt 作极坐标
29、变换x=rcos，y=r sin,这时方程组变为 2d(1)drrrtd1dt 由此容易推出x2+y2=1是极限环，并且是稳定的.定理8.7设x=(t)是系统式(8.29)的一条轨线，它的极限集+非空，有界且不含奇点,则+恰是系统式(8.29)的一条闭轨.这个定理是平面定性理论的基础，它的证明完全依赖于平面上的若尔当曲线分离定理.这个定理的证明可在相关微分方程定性理论的专著中找到.由定理8.7可推出如下简明而有用的定理.定理定理8.8（庞加莱（庞加莱-本迪克松环域定理）本迪克松环域定理）设D是由两条简单闭曲线1和2所围成的环域，并且在D=1D2上，系统式(8.29)无奇点.如果从1和2上出发的
30、轨线都离不开（或都不进入）D，而1和2均不是系统式(8.29)的闭轨，则D内至少存在一条闭轨(见图8.9).图8.9 这个定理的物理意义是很明显的.设系统式(8.29)描述了平面流体运动,如果流体都从边界流入D，D中又没有源或汇，那么在D内就有环流存在.这里源指不稳定的结点和焦点，而汇则指稳定的结点和焦点.通常2称为外境界线，1称为内境界线.定理8.8虽然肯定了D内有闭轨，但没有说明闭轨是否是极限环.可以证明:如果系统式(8.29)是解析向量场，即X(x,y)和Y(x,y)在D上解析，则D内的闭轨都是极限环.应该指出，在一般情形下，作这种环域本身就是很复杂的问题，没有方法可遵循.然而对某些特殊
31、类型的方程，如李纳(Linard)方程0)()(xgxxfx定理定理8.9（本迪克松准则）（本迪克松准则）设X(x,y)、Y(x,y)在单连通区域D上是连续的.若在D的任何子区域中散度 div(,)XYX Yxy不恒为零，并且不变号，则(8.29)在D中无闭轨.证明证明 假若不然，设)0()(,)(:Tttyytxx是(8.29)在D中的闭轨，T为周期.以D表示由所围成的区域.由于D是单连通的，我们有DD.根据格林(Green,1793-1844)公式，(,)d dd dDDXYdiv X Yxyxyxy0dd(dd)dddTyxXyYxXYtttTtytxYtytxX0)(),()(),()
32、,()(),()d0Y x ty tX x ty tt这仅当),(YXdiv在D上恒为零或变号时才可能.定理证完.判别系统(8.29)的极限环的个数及其相对位置是一个非常困难的问题，即使对多项式系统，即和是二元多项式（甚至是二次多项式）的情形，极限环个数的上界问题也未获得完全解决，后者是1901年希尔伯特(Hilbert,1862-1943)提出的著名的23个数学难题中第16问题的后半部分.许多数学家对这一问题的研究作出了不懈的努力，其间充满反复和曲折.一个重要的结果是：定理定理8.10（有限性定理）任何多项式系统式(8.29)的极限环的个数在R2中都是有限的.关于这方面的研究状况可参看参考文
33、献14、16、33.例例8.12证明方程组 22dd,(1)ddxyyxyxytt 有唯一的闭轨C:x2+y2=1，并证明它是稳定的极限环.证明证明作变换x=rcos，y=rsin,原方程组化为 2222d(1)sindd1(1)sincosdrrrtrt 所以1r，即122 yx是唯一的闭轨，且当1r时，d0drt，即1r内部轨线当t时，盘旋趋于1r.当1r时d0drt，即1r外部轨线当t时，盘旋趋于1r.所以极限环C是稳定的.例例8.13设方程组 dd(,),(,)ddxyP x yQ x ytt),(,),(yxQyxP在单连通域D内存在一阶连续偏导数并满足条件：yQxP保持常号，且不在
34、D的任何子区域中恒等于零，求证方程组在D内无闭轨线，因而更没有极限环.证明证明用反证法.假设原方程组有一条闭轨线C,C连同其内部区域G全部被包含在D内，因为D是单连通的，于是由Green公式有 ddddCGPQPyQxxyxy上式左边为(dd)()d0CCPyQxPQQPt，而右边被积函数在G中保持常号且不恒等于零，故二重积分不等于零，得矛盾.因此原方程组在D内不存在闭轨线.例 8.14 设函数),(,),(,),(yxQyxPyxB在环状区域D内有一阶连续的偏导数，且0)()(yBQxBP.试证明方程组 dd(,),(,)ddxyP x yQ x ytt在区域D内最多有一条闭轨线.证明用反证
35、法.假设方程组在D内有两条闭轨线C1和C2.C1和C2所围区域记作G，则由Green公式有 12()()ddd dCCGBPBQBPyBQxxyxy由于0)()(yBQxBP，不妨设0)()(yBQxBP，则上式右端大于零，而左端 1212d()d()d0CCCCBPdyBQxBPQBQPtBPQBQPt 得矛盾，因而结论成立.8.4结构稳定性、分支与混沌结构稳定性、分支与混沌 8.4.1结构稳定性与分支现象结构稳定性与分支现象我们曾在8.3节中介绍过动力系统在其奇点附近的局部结构稳定性.结构稳定的概念是由安德洛诺夫(Andronov,1901-1952)和庞特里亚金(Pontryagin,1
36、908-1988)于1937年对平面系统引进的.几十年来，关于结构稳定性的研究有了很大的发展.可以说近三十年来，动力系统的研究中所发生的重大变化，主要来源于结构稳定性的研究.结构稳定的概念除了理论上的意义之外，对于实际应用也有着重要意义.这是因为从实际问题中提出微分方程模型，往往经历了近似与简化过程.为使对数学模型进行研究所得出的结论能真实地反映实际，就要求在小扰动下仍能保持某种程度的不变结构，即要求这一数学模型具有一定的结构稳定性.设G为Rn中一有界闭域，X(x)C1(G)，即X(x)为连续可微的n维向量场.考虑自治系统 d()dxX xt(8.35)如果存在0，使得对G上任何n维的C1向量
37、场Y(x)，有 niiixXxYXYXY11则系统d()dxY xt(8.36)在G上拓扑等价于系统式(8.35),即存在一个同胚变换P:GG，将系统式(8.36)的每条轨线变到系统式(8.35)的相应轨线，并且保持轨线的方向不变，就称系统式(8.35)在G上是结构稳定的.由定义可知，在C1小扰动下结构稳定的系统的奇点的稳定性保持不变.当n=2时，系统式(8.35)为结构稳定的充要条件是：(1)系统在G上只有有限个奇点和闭轨，且奇点都是双曲的，而闭轨都是单重的；(2)在鞍点之间无轨线连接.系统式(8.35)的奇点是双曲的，是指系统式(8.35)在奇点处线性部分的矩阵的特征根的实部不为零.设是二
38、维动力系统(8.35)的闭轨，P为上一点，过P作的法线NM，方向指向的外部.在NM上引入坐标s，它表示NM上点0P到点P的有向距离，NM称为无切线段.由解对初值的连续性可知，当0P充分靠近P时，从0P出发的轨线必再次与NM相交.设第一个交点为1P，它在NM上的坐标为1s.我们称映射10PP 为庞加莱映射，并称函数1)(ssh为后继函数（见图 8.10），1P称为0P的后继点.令sshs)()(.根据解对初值的可微性定理，)(s于0s附近可微.如果0d0dss，则称是单重的；否则称是多重的.根据)(s的变化，人们可以推断的稳定性及其随参数变化的规律(当所考虑的系统含有适当的参数时).图8.10
39、结构不稳定的系统，称之为分支系统.分支系统由于不具有结构稳定性，因此对它加上适当的扰动，轨线分布就会发生定性变化，表现出一些复杂的现象.下面介绍平面动力系统几种常见的分支模式.考虑带有一个参数的系统 dd(,),(,)ddxyX x yY x ytt(8.37)其中参数0,1,X(x,y,)和Y(x,y,)关于(x,y,)在G0,1上是两次连续可微的，G是R2中一有界闭域.设系统式(8.37)在=0时是结构不稳定的，此时，称=0是一个分支值.（1）霍普夫(Hopf,1902-1983)分支.设(0,0)是系统式(8.37)在=0时的奇点，并且矩阵)0,0,0(yYxYyXxXA的特征根是一对共
40、轭纯虚数，这时(0,0)是系统式(8.37)在此点处的线性部分的中心点.当从零增大时，有可能从原点分出周期解分支，称为霍普夫分支，而(0,0,0)则称为霍普夫分支点.定理定理8.11（霍普夫分支定理）（霍普夫分支定理）假设X(0,0,)0,Y(0,0,)0，并且含参数的矩阵),0,0()(yYxYyXxXA有特征根()i()，满足 d(0)0,(0)0,(0)0d(8.39)则(0,0,0)是系统式(8.38)的霍普夫分支点.证明证明不妨设)()()()()(A因为经过适当的坐标变换，可以化成这种情形.这样，引进极坐标(,)就可在原点附近将系统式(8.38)写成如下的形式：),()(),()(
41、8.40)其中),(和),(关于都是2周期函数，,0),0,(),0,(0),0,(,0.以),0,(,),0,(00tt表示(8.40)具有初值0)0(，0)0(的解.如我们在 8.2 中所指出，不妨认为它们对所有t有定义.注意到0)0(，我们可从(8.40)消去t(至少当充分小时)而得到 d()(,)d()(8.41)其 中),(关 于是2周 期 函 数，并 且0),0,(,0),0,(.以),(0表示系统(8.41)具初值0)0(的解.利用常数变易公式，我们有()()()()()0000(,)(,(,),)dseesss 由此知，(,0,)为系统式(8.41)的周期解，当且仅当()()2
42、(2)2()()000(1)(,(,),)dee 对上式两边除以0，得),(1)(0)()(2reh其中()(2)2()00001(,)(,(,),)dre 不难看出r*(0,0)=0,r*(0,0)=0，并且由条件式(8.39)，得0)0()0(2)0(,0)0(hh于是由隐函数定理知，对小正数0，存在连续函数(0),使得 0)0(,)(,()(000rh对任何小正数)(,(,000都是当)(0时(8.41)的2周期解.考虑函数 000000(,0,(),(,0,(),0,()tt (8.42)对任何小正数0，它都是当)(,00时(8.40)的解，具有初值0)0(,0)0(.由解的唯一性定理
43、，必有)(,0,()(,0,),(,0,(000000tt显然)(,0,(00t是t的周期函数.因此，对小正数0，我们得到(8.37)的一族周期)(,0,(cos)(,0,(0000ttx)(,0,(sin)(,0,(0000tty 设)(0T为 与0对 应 的 周 期 解 的 周 期.则2)(,0,),(000T.在(8.40)的第一式中令)(0，同时将(8.42)代入，然后从0到)(0T积分，便得到 0()000002()()(,()dTTt 当00时，上式右端的积分趋于0，故)0(2)(0T（2）同宿轨分支和异宿轨分支.当t时趋于同一个奇点的轨线称为同宿轨(见图8.11).当t+和t-时
44、分别趋于两个奇点的轨线称为异宿轨(见图8.12).可以构造单参数的系统族式(8.38)，使得当=0时存在一条同宿轨，而当0时，这条轨线“破裂”为两条轨线，其中每一条都有一端趋于所论奇点(见图8.11).这种由于同宿轨“破裂”而产生的分支，称为同宿轨分支.同样可以构造这样的系统族式(8.38)，使得当=0时存在一条异宿轨，而当0时，这条轨线“破裂”为两条轨线，分别趋于所论的两个奇点(见图8.12).这种由异宿轨“破裂”而产生的分支，称为异宿轨分支.图8.11 图8.128.4.2动力系统的混沌动力系统的混沌我们知道，一个动力系统的平衡解、周期解和概周期解，都对应着比较规则的运动.早在20世纪60
45、年代，人们就发现：某些动力系统有非常复杂的、不规则的轨线.为了描述动力系统的这种不规则的行为，1975年，李天岩和约克(Yorke)在研究从区间到区间的某些映射的性质时，提出了混沌这一概念.从此，混沌就逐渐成为许多学科分支研究的主要课题之一.下面我们就二维动力系统简单地介绍混沌现象及判别混沌的基本数学方法.设(t)是R2到R2的Cr(r1)同胚映射，p0是它的一个不动点，即(p0)=p0.如果雅可比矩阵 不具有模为1的特征根，则称不动点p0为双曲的.一个点p0R2的稳定流行和不稳定流行分别定义为集合0pppnppRppWns,)(:)(020和nppRppWnu,)(:)(020其 中)()(
46、1ppnn.一 般 称Znpn:)(我 们 规 定)()(,)(10pppp)为在p点 的 轨 道.称000)()(ppWpWus中的点为关于0p的同宿点，这种点的轨道称为同宿轨.可以证明：此时)(0pWs和)(0pWu是2R中的两条光滑曲线(r次连续可微).设0q是关于0p的同宿点.如果稳定流行和不稳定流行所产生的两条光滑曲线在0q点的切线不共线，就称它们于0q点横截相交，也称点0q为横截同宿点.定理定理8.12设:R2R2是微分同胚，且具有双曲不动点p0和关于p0的横截同宿点q0,则存在的不变集，这个不变集包含:(1)可数多个周期轨道，包括任意大周期的轨道；(2)不可数多个非周期轨道，包括
47、可数多个同宿轨和异宿轨；(3)一条稠密轨道.下面对定理叙述中的一些概念作简单的说明.所谓可数，是指像整数一样多；所谓不可数，是指像实数一样多.假如有两个不同的双曲不动点p1、p2，则称Ws(p1)Wu(p2)中的点为异宿点，由异宿点所产生的轨道称为异宿轨.一个点pR2称为的k(1)周期点，如果k(p)=p,i(p)p(1ik-1)不动点也称为1周期点.k周期点产生的轨道称为周期轨，k称为周期.从不变集的结构我们看出，中的轨道呈现非常复杂的行为.特别地，在周期点附近初值的微小偏差，可引起相应轨道的不可预见的偏差，或者说，轨道对初始条件具有敏感依赖性.正是由于这个原因，数学家们才称产生了混沌.伯克
48、霍夫曾阐述了这种复杂性的一部分，他证明了同宿点的任一邻域内存在可数多个周期轨道.1963年，斯梅尔(Smale)证明了上述定理.因此这个定理也称为斯梅尔伯克霍夫定理.为了应用这个定理，首先要判断一个微分同胚是否存在双曲不动点以及关于这个不动点的横截同宿点.应该指出，如何判断一个微分同胚是否存在横截同宿点，并不是容易的事.1963年，梅利尼科夫(Melnikov)建立了一种非常重要的方法，它使我们能对某些特殊的周期性受扰系统证明它们的庞加莱映射存在着横截同宿点，从而应用斯梅尔伯克霍夫定理，便可证明混沌的存在性.考虑二维周期系统d()(,)dxf xg t xt(8.43)其 中),(,)(,xt
49、gxfx是 二 维 列 向 量，1,1，对),(,)(,2xtgxfRtRx连 续 可 微，且 对 某 正 数),(),(,xtgxTtgT.此外，假定当0时，(8.39)存在鞍点0p，以及与0p相连的同宿轨线).(:0txx 对 22121,Rbbbaaa记ab=a1b2-a2b1.对系统式(8.43)定义梅利尼科夫函数如下：000000()()()(,()expddtx xsfM tf x tg ttx ttrstx(8.44)我们有如下重要结果.定理 8.13(梅利尼科夫定理)若)(0tM存在简单零点，即存在,01Tt，使得0)(,0)(11tMtM，则当0充分小时，系统(8.39)的庞
50、加莱映射),()(00ptTtxp例例8.15考虑系统 3dd,cos()ddxyyxxtytt(8.45)其中,都是正常数，充分小.这一系统可看作一些实际物理系统的模型，例如肌型血管模型.当0时，(8.45)变成 3dd,ddxyyxxtt(8.46)（0，0）是它的鞍点，即其线性近似的鞍点，并且存在与它相连的同宿轨,tanhsec2)(,sec2)(:00tthtyythtxx其中,是系统式(8.46)的解，可直接验算.沿着的梅利尼科夫函数为)(,)(.tanh,2sec00tytxeeeeteethtttttt3000000()(),()()(0,cos()()dM ty tx tx t
