1、类型八 二次函数与平行四边形有关的问题（专题训练）1（2023四川自贡统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点(1)求抛物线解析式及，两点坐标；(2)以，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)抛物线解析式为，；(2)或或；(3)【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令，即可求得两点的坐标；（2）分三种情况讨论，当，为对角线时，根据中点坐标即可求解；（3）根据题意，作出图形，作交于点，为的中点，连接，则在上，根据等弧所对的圆周角相等，得出在上，进而勾股定理，根据
2、建立方程，求得点的坐标，进而得出的解析式，即可求解【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，解得：，抛物线解析式为，当时，当时，解得：，（2），设，以，为顶点的四边形是平行四边形当为对角线时，解得：，；当为对角线时，解得：当为对角线时，解得：综上所述，以，为顶点的四边形是平行四边形，或或（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，是等腰直角三角形，在上，在上，设，则解得：（舍去）点设直线的解析式为解得：. 直线的解析式，抛物线对称轴为直线，当时，【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键2（20
3、23山东枣庄统考中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可；（3）分，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可
4、【详解】（1）解：抛物线经过两点，解得：，；（2），设直线，则：，解得：，当时，；作点关于轴的对称点，连接，则：，当三点共线时，有最小值为的长，即：的最小值为：；（3）解：存在；，对称轴为直线，设，当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：为对角线时：，当时，；当为对角线时：，当时，；当为对角线时：，当时，；综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键3（2023山东聊城统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，
5、连接AC，BC.点P是x轴上任意一点(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D当m为何值时，面积最大，并求出最大值【答案】(1)；(2)点Q坐标，或或；(3)时，有最大值，最大值为【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式；（2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解；（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F
6、，可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，则，运用解直角三角形，中，中，可得，；中，可得，于是，从而确定时，最大值为【详解】（1）将，代入，得，解得抛物线解析式为：（2）二次函数，当时，点设点，点，当为边，为对角线时，四边形为平行四边形，互相平分解得，（舍去）或点Q坐标；当为边，为对角线时，同理得，解得，或，点Q坐标或综上，点Q坐标，或或；（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，同理可得设直线的解析式为：则，解得直线：同理由点，可求得直线 ：设点，则，中，中，解得，；中，解得，即时，有最大值，最大值为【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程
7、求解，解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键4（2023山东统考中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点(1)求抛物线的解析式；(2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？(3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)；(3)存在，【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解；（3）根据，确定点坐标，从而利用一次函数图象
8、上点的特征计算求解【详解】（1）解：在直线中，当时，当时，点，点，设抛物线的解析式为，把点，点代入可得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：由题意，当四边形是平行四边形时，设直线的解析式为，把代入可得，解得，直线的解析式为，又过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，解得（不合题意，舍去），；（3）解：存在，理由如下：，点E为线段的中点，点E的横坐标为，点E在直线上，把代入中，可得，解得（不合题意，舍去），【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键5（2023四川南充统考中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴
9、交于点(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由【答案】(1)；(2)或或；(3)定值，理由见详解【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解；（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，即可求解；当为平行四边形的对角线时，在
10、中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是中的坐标；（3）可设直线的解析式为，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，解得，故抛物线的解析式为（2）解：如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，四边形是平行四边形，解得：，；如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，四边形是平行四边形，在和中，()，解得：，；如上图，根据对称性：，当为平行四边形的对角线时，由知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；综上所述：的坐标为或或（3）解：是定值，理由：如图，直线经过，可设直线的
11、解析式为，、在抛物线上，可设，整理得：，当时，设直线的解析式为，则有，解得，直线的解析式为，当时，解得：，同理可求：，；当与对调位置后，同理可求；故的定值为【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键6.（2021四川南充市中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点
12、（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0x4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点
13、Q作QMy轴，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，B（4，0），C（0，4），设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，抛物线的解析式为：；（2）B（4，0），C（0，4），直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0x4），PQ=-x+4-()=，当x=2时，线段PQ长度最大=4，此时，PQ=CO，又PQCO，四边形OCPQ是平行四边形；（3）过点Q作QMy轴，过点Q作QNy轴，过点E作E
14、Nx轴，交于点N，由（2）得：Q（2，-2），D是OC的中点，D（0，2），QNy轴，又，即：，设E（x，），则，解得：，（舍去），E（5，4），设F（0，y），则，当BF=EF时，解得：，当BF=BE时，解得：或，当EF=BE时，无解，综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1） 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键7.（2021重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C （1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，
15、点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，过程见解析【分析】（1）将，的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（2）先得出抛物线的对称轴，作PEy轴交直线AD于E，设P（m，m2-3m-4），用m表示出APD的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个
16、单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分DE为对角线、EG为对角线、EF为对角线三种情况进行讨论即可【详解】解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得，解得：，该抛物线的解析式为y=x2-3x-4，（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，C（0，-4），抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为点D与点C关于直线l对称，D（3，-4），A（-1，0），设直线AD的解析式为y=kx+b；，解得：，直线AD的函数关系式为：y=-x-1，设P（m，m2-3m-4），作PEy轴交直线AD于E，E（m，-m-1），PE=-m-1-（m2-
17、3m-4）=-m2+2m+3，当m=1时，的面积最大，最大值为：8（3）直线AD的函数关系式为：y=-x-1，直线AD与x轴正方向夹角为45，抛物线沿射线AD方向平移平移个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），设平移后的抛物线的解析式为则，解得：，平移后y1=x2-11x+20，抛物线y1的对称轴为：，P（1，-6），E（5，-10），以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：设G（n，n2-11n+20），F（，y），当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分，当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分，当
18、EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分，或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想8.（2022四川眉山）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为(1)求点的坐标；(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)最大为(3)存在，的坐标为或（3，-16）或【分
19、析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可；（2）过作于点，过点作轴交于点，证明 是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；（3）分当AC为平行四边形ANMC的边，当AC为平行四边形AMNC的边，当AC为对角线三种情况讨论求解即可(1)（1）点在抛物线的图象上，点的坐标为；(2)过作于点，过点作轴交于点，如图：，是等腰直角三角形，轴，是等腰直角三角形，当最大时，最大，设直线解析式为，将代入得，直线解析式为，设，则，当时，最大为，此时最大为，即点到直线的距离值最大；(3)存在 抛物线的对称轴为直线，设点N的坐标为（-2，m
20、），点M的坐标为（x，）分三种情况：当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，A（-5，0），C（0，5），即 解得，x=3.点M的坐标为（3，-16）当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，方法同可得，点M的坐标为（-7，-16）；当AC为对角线时，如图，A（-5，0），C（0，5），线段AC的中点H的坐标为，即H（），解得，。点M的坐标为（-3，8）综上，点的坐标为：或（3，-16）或【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键9.（2021重庆中考真题）如图，在
21、平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，1），B（4，1）直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点过点P作PDAB，垂足为D，PEx轴，交AB于点E（1）求抛物线的函数表达式；（2）当PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和PDE周长的最大值；（3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点PM是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来【答案】（1）；（2）t=2时，PDE周长取得最大值，最大值为， 点P的坐标为（2，4）；（3）满足条件的点M的坐标有（2，4），
22、（6，12），（2，12），过程见解析【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设P，其中0t4，则E，证明PDEAOC，根据周长之比等于相似比可得，根据二次函数求最值的方法求解即可；（3）分以下情况若AB是平行四边形的对角线；若AB是平行四边形的边，1）当 MNAB时；2）当 NMAB时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可【详解】解（1）抛物线经过点A（0，1），点B（4，1），解得，该抛物线的函数表达式为；（2）A（0，-1），B（4，1），直线AB的函数表达式为，C（2，0），设P，其中0t4，点E在直线上，PEx轴，E，OCA=DEP，
23、PE=，PDAB，EDP=COA，PDEAOC，AO=1，OC=2，AC=，AOC的周长为3+，令PDE的周长为l，则，当t=2时，PDE周长取得最大值，最大值为， 此时点P的坐标为（2，4），（3）如图所示，满足条件的点M的坐标有（2，4），（6，12），（2，12）由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线若AB是平行四边形的对角线，当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，即MN经过AB的中点C（2，0），点N的横坐标为2，点M的横坐标为2，点M的坐标为（2，-4）；若AB是平行四边形的边，1）MNAB时，四边形ABNM是平行四边形，A（0，-1），B（4，1），点N
24、的横坐标为2，点M的横坐标为24=2，点M的坐标为（2，12）；2）当 NMAB时，四边形ABMN是平行四边形，A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2，点M的横坐标为2+4=6，点M的坐标为（6，12），综上，满足条件的点M的坐标有（2，4），（6，12），（2，12）【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算10.（2021广东中考真题）已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有（1）求该二次函数的解析式；（
25、2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，或或或【分析】（1）令，解得，可得函数 必过 ，再结合 必过 得出，即可得到，再根据，可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方，可得，有两个相等的实数根，再根据，可解得的值，即可求出二次函数解析式（2）结合（1）求出点C的坐标，设，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案【详
26、解】解：（1）令，解得，当时， 必过 ，又 必过 ，即，即可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方，有两个相等的实数根，（2）由（1）可知：，设，当为对角线时，解得（舍），即当为对角线时，解得（舍），即当为对角线时，解得，或，综上所述：N点坐标为或或或【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键11.（2021四川中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大求出点P的坐标（3）在（2）的结论
27、下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）（，）；（3）（，）或（，）或（，）【分析】（1）根据OB=OC=3OA，AC=，利用勾股定理求出OA，可得OB和OC，得到A，B，C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）判断出四边形BACP的面积最大时，BPC的最大面积，过点P作y轴的平行线交BC于点H，求出直线BC的表达式，设点P（x，-x2-2x+3），利用三角形面积公式SBPC=，即可求出SBPC面积最小时点P的坐标；（3）分类讨论，一是当BP为平行四边形对角线时，
28、二是当BP为平行四边形一边时，利用平移规律即可求出点Q的坐标【详解】解：（1）OB=OC=3OA，AC=，即，解得：OA=1，OC=OB=3，A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入中，则，解得：，抛物线的解析式为；（2）如图，四边形PBAC的面积=BCA的面积+PBC的面积，而ABC的面积是定值，故四边形PBAC的面积最大，只需要BPC的最大面积即可，过点P作y轴的平行线交BC于点H，B（-3，0），C（0，3），设直线BC的表达式为y=mx+n，则，解得：，直线BC的表达式为y=x+3，设点P（x，-x2-2x+3），则点H（x，x+3），SBPC=，故S有最大值，即四边形PBAC
29、的面积有最大值，此时x=，代入得，P（，）；（3）若BP为平行四边形的对角线，则PQBM，PQ=BM，则P、Q关于直线x=-1对称，Q（，）；若BP为平行四边形的边，如图，QPBM，QP=BM，同上可得：Q（，）；如图，BQPM，BQ=PM，点Q的纵坐标为，代入中，解得：或（舍），点Q的坐标为（，）；如图，BPQM，BP=QM，点Q的纵坐标为，代入中，解得：（舍）或，点Q的坐标为（，）；综上：点Q的坐标为（，）或（，）或（，）【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键12.（2021湖南中考真题）将抛物线向左平移
30、1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线抛物线与轴交于点，与轴交于点已知，点是抛物线上的一个动点（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点作，垂足为，求的面积的最大值；（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）的面积最大值为；（3）点的坐标为或或【分析】（1）由题意易得平移后的抛物线的表达式为，然后把点A的坐标代入求解即可；（2）由（1）及题意易得，则有AOC是等腰直角三角形，CAO=ACO=
31、45，进而可得直线AC的解析式为，设点，则，然后可得AED和PEF都为等腰直角三角形，过点F作FTPD于点，则有，由三角形面积公式可得，要使面积最大则PE的值为最大即可，最后问题可求解；（3）由题意可知当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分当以AC为平行四边形的边时，当以AC为平行四边形的对角线时，然后利用等腰直角三角形、平行四边形的性质及中点坐标公式分类进行求解即可【详解】解：（1）由题意得：平移后的抛物线的表达式为，则把点代入得：，解得：，抛物线的表达式为，即为；（2）由（1）可得抛物线的表达式为，则有，AOC是等腰直角三角形，CAO=ACO=45，AED=CAO=45，
32、AED=PEF=45，PEF是等腰直角三角形，过点F作FTPD于点，如图所示：，要使面积最大则PE的值为最大即可，设直线AC的解析式为，代入点A、C的坐标得：，解得：，直线AC的解析式为，设点，则，-10，开口向下，当时，PE有最大值，即为，PEF面积的最大值为；（3）存在以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）可得，CAO=ACO=45，抛物线的对称轴为直线，CAO=ADQ=45，当以AC为平行四边形的边时，如图所示：过点P作PGl于点G，四边形APQC是平行四边形，ACPQ，ADQ=PQG=45，PQG是等腰直角三角形，点P的横坐标为-4，；当以AC为平行四边形的边
33、时，如图所示：同理可得点P的横坐标为2，；当以AC为平行四边形的对角线时，如图所示：四边形AQCP是平行四边形，设点，由中点坐标公式可得：，；综上所述：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键13.（2021海南中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为、点C的坐标为（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求的面积；（3）如图2，有两动点在的边上运动，速度均为每秒
34、1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线按方向向终点B运动，点E沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动时间为t秒，请解答下列问题：当t为何值时，的面积等于；在点运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接得到的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标【答案】（1）；（2）的面积为；（3）当或时，；点F的坐标为或【分析】（1）直接将两点坐标代入解析式中求出a和c的值即可；（2）先求出顶点和B点坐标，再利用割补法，将所求三角形面积转化为与其相关的图形的面积的和差关系即可，如图，；（3）先求出BC的长和E点坐标，再分两种情况讨论，当
35、点D在线段上运动时的情况和当点D在线段上运动情况，利用面积已知得到关于t的一元二次方程，解t即可；分别讨论当点D在线段上运动时的情况和当点D在线段上的情况，利用平行四边形的性质和平移的知识表示出F点的坐标，再代入抛物线解析式中计算即可【详解】（1）抛物线经过两点， 解得 该地物线的函数表达式为 （2）抛物线，抛物线的顶点P的坐标为 ，令，解得：，点的坐标为如图4-1，连接，则 的面积为 （3）在中，当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动，在中，当运动时间为t秒时，如图4-2，过点E作轴，垂足为N，则点E的坐标为 下面分两种情形讨论：i当点D在线段上运动时，此时，点D的坐标为 当时，解得
36、（舍去）， ii如图4-3，当点D在线段上运动时，当时，解得又，综上所述，当或时， 如图4-4，当点D在线段上运动时，；，当四边形ADFE为平行四边形时，AE可通过平移得到EF，A到D横坐标加1，纵坐标加，化简得：，;如图4-5，当点D在线段上运动时，AE可通过平移得到EF，A到D横坐标加，纵坐标不变，因为，综上可得，F点的坐标为或 【点睛】本题综合考查了抛物线的图像与性质、相似三角形的判定与性质、已知顶点坐标求三角形面积、平行四边形的判定与性质、平移的性质、勾股定理等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，本题对学生的综合思维能力、分析能力以及对学生的计算能力都要求较高，考查了学生利用平面
37、直角坐标系解决问题的能力，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等14.（2020齐齐哈尔）综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OAOB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图（1） 求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为），cosABO；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为；（3）在y轴上找一点Q，使得AMQ的周长最小具体作法如图，作点A关于y轴的对称点A，连接MA交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时AMQ的周长最小请求出点Q的坐
38、标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）点A（4，0），OBOA4，故点B（0，4），即可求出AB的表达式；OP将AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或23AC，即可求解；（3）AMQ的周长AM+AQ+MQAM+AM最小，即可求解；（4）分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可【解析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：12164b+c=0124+2b+c=6，解得b=2c=0，故直线AB的表达式为：y=12x2+2
39、x；（2）点A（4，0），OBOA4，故点B（0，4），由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：yx+4；则ABO45，故cosABO=22；对于y=12x2+2x，函数的对称轴为x2，故点M（2，2）；OP将AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或23AC，则yPyC=13或23，即yP6=13或23，解得：yP2或4，故点P（2，2）或（0，4）；故答案为：yx+4；（2，2）；22；（2，2）或（0，4）；（3）AMQ的周长AM+AQ+MQAM+AM最小，点A（4，0），设直线AM的表达式为：ykx+b，则4k+b=02k+b=2，解得k=13b=43，故直线AM的表达式为：y
40、=13x43，令x0，则y=43，故点Q（0，43）；（4）存在，理由：设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（4，0）、（2，6）、（0，0），当AC是边时，点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），即06m，06n，解得：mn6，故点N（6，6）或（6，6）；当AC是对角线时，由中点公式得：4+2m+0，6+0n+0，解得：m2，n6，故点N（2，6）；综上，点N的坐标为（6，6）或（6，6）或（2，6）15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+2（a0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧
41、），且A点坐标为（2，0），直线BC的解析式为y=23x+2（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作ADBC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线yax2+bx+2（a0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线yax2+bx+2（a0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，则yax2+bx+2a（x+2）（x32）ax222a6a，即6a2，解得：a=13，即可求解；（2）四边形BECD的面积SSBCE+SBCD=12EFOB+12（xDxC）BH，即可求解；（3）分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可【解析】（1）直线BC的解析式为y=23x+2，令y0，则x32，令x0，则y2，故点B、C的坐标分别为（32，0）、（0，2）；则yax2+bx+2a（x+2）（x32）a（x222x6）ax222a6a，即6a2，解得：a=13，故抛物线的表达式为：y=1
