1、专题13 二次函数解答压轴题（62题）一、解答题1（2023浙江绍兴统考中考真题）已知二次函数(1)当时，求该函数图象的顶点坐标当时，求的取值范围(2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式2（2023浙江统考中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上(1)当时，求和的值；(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；(3)求证：3（2023浙江嘉兴统考中考真题）在二次函数中，(1)若它的图象过点，则t的值为多少？(2)当时，y的最小值为，求出t的值：(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围4（2023浙江杭州统考中考真题）设二次函数，
2、（，是实数）已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：012311(1)若，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围5（2023湖南常德统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为DO为坐标原点，(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标6（2023山东烟台统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在
3、点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值7（2023江苏苏州统考中考真题）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为(1)求点的坐标；(2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围8（2023山东东营统考中考真题）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值
4、时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离9（2023内蒙古通辽统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接如图，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，请直接写出四边形的周长10（2023四川自贡统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点(1)求抛物线解析式及，两点坐标；(2)以
5、，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由11（2023四川达州统考中考真题）如图，抛物线过点(1)求抛物线的解析式；(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由12（2023四川泸州统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为(1)求该抛物线的解析式；(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与
6、轴，直线交于点，当时，求的长；若，的面积分别为，且满足，求点的坐标13（2023全国统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，(1)求此抛物线的解析式(2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值(3)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差(4)设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为当时，直接写出的值14（2023重庆统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，其中，(1)求该抛物线的表达式；(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作
7、于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来15（2023四川凉山统考中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点直线过抛物线的顶点(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点当取得最大值时，求的值和的最大值；当是等腰三角形时，求点的坐标16（2023四川成都统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点(1)求抛物线的函
8、数表达式；(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由17（2023安徽统考中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线(1)求的值；(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点（）当时，求与的面积之和；（）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由18（2023浙江金华统考中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于
9、点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为直线与直线相交于点(1)如图2，若抛物线经过原点求该抛物线的函数表达式；求的值(2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由19（2023湖南统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围20（2023四川遂宁统考中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，对称轴过点，直线过点，且垂直于轴过点的直线交抛
10、物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当时，求点的坐标；(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为求的最大值21（2023四川眉山统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D如图1当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；(3)过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标22（2023江西统考中考真
11、题）综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，D为上一点，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，当时，_S关于t的函数解析式为_(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长(3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等_；当时，求正方形的面积23（2023新疆统考中考真题）【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，垂足分别为
12、，求证：；【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点求点的坐标；求直线的解析式；【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，连接抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标24（2023甘肃武威统考中考真题）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止(1)求抛物线的表达式；(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由(3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停
13、止运动连接，求的最小值25（2023四川乐山统考中考真题）已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有(1)求b的值；(2)将抛物线平移后得到抛物线探究下列问题：若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围；设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等求长的取值范围26（2023内蒙古统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于两点（点在点的左侧），交轴于点，交轴于点(1)求点的坐标；(2)是线段上一点，连接，且求证：是直角三角形；的平分线交线段于点是直线
14、上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标27（2023上海统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B(1)求点A，B的坐标；(2)求b，c的值；(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式28（2023江苏扬州统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上(1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上_；如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的
15、图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由(2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式29（2023湖南岳阳统考中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点(1)请求出抛物线的表达式(2)如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛
16、物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由30（2023湖南永州统考中考真题）如图1，抛物线（，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线交于点，求的最大值；(3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标31（2023山东枣庄统考中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的
17、四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由32（2023湖北随州统考中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点(1)直接写出抛物线和直线的解析式；(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，为顶点的三角形与以，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由33（2023四川内江统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点与y轴交于点(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直
18、线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由34（2023湖南统考中考真题）已知二次函数(1)若，且该二次函数的图像过点，求的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图像与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，求证：当点在线段上，且的半径长为线段的长度的倍，若，求的值35（2023山西统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A
19、的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为当时，求的值；当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值36（2023湖北武汉统考中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点(1)直接写出三点的坐标；(2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接若与相似，求的值；(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于
20、点问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由37（2023湖北宜昌统考中考真题）如图，已知点E位于第二象限且在直线上，连接(1)直接判断的形状：是_三角形；(2)求证：；(3)直线EA交x轴于点将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线若直线与抛物线有唯一交点，求t的值；若抛物线的顶点P在直线上，求t的值；将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线若点D在抛物线上，求点D的坐标38（2023湖南郴州统考中考真题）已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；(3)如图2，取线段的中
21、点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由39（2023湖北黄冈统考中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接(1)直接写出结果；_，_，点A的坐标为_，_；(2)如图1，当时，求点P的坐标；(3)如图2，点D在y轴负半轴上，点Q为抛物线上一点，点E，F分别为的边上的动点，记的最小值为m求m的值；设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围40（2023湖南统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为(1)求抛物线的解析式(2)过点作轴的垂线，与拋
22、物线交于点若，求面积的最大值(3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标41（2023四川统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由42（2023山东聊城统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x
23、轴上任意一点(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D当m为何值时，面积最大，并求出最大值43（2023湖北荆州统考中考真题）已知：关于的函数(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是_；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，并与动直线交于点，连接，其中交轴于点，交于点设的面积为，的面积为当点为抛物线顶点时，求的面积；探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若
24、不存在，说明理由44（2023福建统考中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为(1)求抛物线的函数表达式；(2)若，且，求证：三点共线；(3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由45（2023山东统考中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点(1)求抛物线的解析式；(2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？
25、(3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由46（2023山东统考中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；(3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值47（2023辽宁大连统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点过作轴交抛物线另一点为点以长为边向上构造矩形(
26、1)求抛物线的解析式；(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；直线交抛物线于点，交抛物线于点当点为线段的中点时，求的值；抛物线与边分别相交于点，点在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标48（2023湖南张家界统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点点D为线段上的一动点(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求周长的最小值；(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值49（2023
27、黑龙江绥化统考中考真题）如图，抛物线的图象经过，三点，且一次函数的图象经过点(1)求抛物线和一次函数的解析式(2)点，为平面内两点，若以、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）点是抛物线上的一个动点且在直线下方已知点的横坐标为过点作于点求为何值时，有最大值，最大值是多少？50（2023四川南充统考中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C
28、，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由51（2023四川宜宾统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点、，且经过点(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线、分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为，求的面积；(3)点M是y轴上一动点，当最大时，求M的坐标52（2023四川广安统考中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴
29、，交直线于点，交抛物线于点(1)求这个二次函数的解析式(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由53（2023江苏连云港统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为(1)当时，求点的坐标；(2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方
30、形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由54（2023云南统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题同学们，请你结合所学的数学解决下列问题在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点设函数（实数为常数）的图象为图象(1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；(2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值
31、；若不存在，请说明理由55（2023湖南怀化统考中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；(3)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角56（2023湖南统考中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线(1)求a的值(2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不
32、存在，请说明理由(3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由57（2023天津统考中考真题）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为(1)若求点和点的坐标；当时，求点的坐标；(2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标58（2023湖北十堰统考中考真题）已知抛物线过点和点，与轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标；(3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线
33、段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围59（2023吉林长春统考中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为其中(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点在轴上时，求点的坐标；(3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值(4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为当以点、（或以点、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值60（2023湖
34、北统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接(1)抛物线的解析式为_；（直接写出结果）(2)在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数；(3)如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由61（2023黑龙江齐齐哈尔统考中考真题）综合与探究如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，当时，求点P的坐标；(3)点D是线段(包含点B，C)上的动点，过点D
35、作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标；(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为_，的最小值为_62（2023湖北鄂州统考中考真题）某数学兴趣小组运用几何画板软件探究型抛物线图象发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程准线l与y轴的交点为H其中原点O为的中点，例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中
36、，【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：_，_；【技能训练】(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；【能力提升】(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离请阅读上面的材料，探究下题：(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积
