1、题型一计算（实数运算、式的计算、方程、不等式）复习讲义【要点归纳|典例解析】考点01实数1数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.2相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.3倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.4绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.5（1）按照定义分类（2）按照正负分类 注意：0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如，等；（2）有特定意义的数
2、，如圆周率，或化简后含有的数，如等；（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1等；（4）某些三角函数，如sin60等.6科学记数法：科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数当原数绝对值大于10时，写成a10n的形式，其中1|a|10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a10n的形式，其中1|a|10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.7近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.8二次根式的性质（1） 0（0）；（2）； （3
3、）；（4）；（5）9二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式（2）二次根式的乘除乘法法则：；除法法则：（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用10数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.11实数的运算：（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、
4、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.12指数，负整数指数幂：a0，则a0=1；若a0，n为正整数，则.13数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等.14、特殊角的三角函数值sincostan30451601（2023四川达州统考中考真题）的倒数是（）AB2023CD2（2023重庆统考中考真题）8的相反数是（）AB8CD3（2022湖南邵阳）2022的绝对值是（）ABC2022D20224（2023浙江嘉兴统考中考真题）8的立方根是（）A2B2C2D不存在
5、5.（2022江西）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）ABCD6（2023年安徽省滁州市南片五校中考二模数学试卷）的倒数是（）ABCD7.（2022山东泰安）的倒数是（）ABC5D8（2023江西统考中考真题）下列各数中，正整数是（）ABCD9（2023江苏扬州统考中考真题）已知，则a、b、c的大小关系是()ABCD10.（2022湖南邵阳）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（）A0.11B1.1C11D1100011.（2022四川自贡）下列运算正确的是（）A B C
6、 D12（2023四川凉山统考中考真题）下列各数中，为有理数的是（）ABCD13（2023浙江台州统考中考真题）下列各数中，最小的是（）A2B1CD14.（2022四川凉山）化简：（）A2B2C4D215（2023四川泸州统考中考真题）8的立方根为_16（2023四川广安统考中考真题）的平方根是_17（2023重庆统考中考真题）计算：_18（2023江苏连云港统考中考真题）如图，数轴上的点分别对应实数，则_0.(用“”“”或“”填空)19（2023浙江金华统考中考真题）计算：20.（2022新疆）计算：21（2023四川泸州统考中考真题）计算：22.（2022四川泸州）计算：23（2023四川
7、广安统考中考真题）计算：24.（2022湖南邵阳）计算：25（2023江苏连云港统考中考真题）计算26.（2022湖南株洲）计算：27（2023云南统考中考真题）计算：28（2023湖南怀化统考中考真题）计算：29（2023上海统考中考真题）计算：30（2023四川遂宁统考中考真题）计算：31.（2022四川德阳）计算：考点02整式1单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.注：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项
8、式的次数。如是6次单项式。2多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.3整式：单项式和多项式统称为整式.4同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.5整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6幂的运算：aman=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；aman=.7整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）
9、=ma+mb+mc.（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.8乘法公式：（1）平方差公式：. （2）完全平方公式：.9整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.10把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.11因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：.（2）公式法：运用平方差公式：.运用完全平方公式：.12分解因式的一般步骤：（1）如果多项式各项有公因式，应先提取
10、公因式;（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.1（2023四川眉山统考中考真题）下列运算中，正确的是（）ABCD2（2023江苏苏州统考中考真题）下列运算正确的是（）ABCD3（2023浙江杭州统考中考真题）分解因式：（）ABCD4.（2022江苏宿迁）下列运算正确的是（）A B C D5（2023山东滨州统考中考真题）下列计算，结果正确的是（）ABCD6.（2022四川眉山）下列运算中，正
11、确的是（）ABCD7（2023湖南常德统考中考真题）若，则()A5B1CD08.（2023山东统考中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）ABCD9.（2022浙江绍兴）下列计算正确的是（）A B C D10（2023甘肃武威统考中考真题）计算：（）A2BCD11（2023浙江温州统考中考真题）化简的结果是（）ABCD12.（2022四川成都）下列计算正确的是（）A B C D13（2023湖南岳阳统考中考真题）下列运算结果正确的是（）ABCD14（2023江苏扬州统考中考真题）若，则括号内应填的单项式是()AaBCD15（2023上海统考中考真题）下列运算正确的是（）ABCD1
12、6.（2022江苏苏州）下列运算正确的是（）ABCD17（2023湖南统考中考真题）计算的结果正确的是（）ABCD18（2023山东临沂统考中考真题）下列运算正确的是（）ABCD19.（2021内蒙古呼伦贝尔市中考真题）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）ABCD20（2023湖北宜昌统考中考真题）下列运算正确的是（）ABCD21（2023内蒙古赤峰统考中考真题）已知，则的值是（）A6BCD422（2023辽宁丹东校考二模）因式分解：_23（2022春浙江杭州七年级统考期末）分解因式：=_24（2023湖北十堰统考中考真题）若，则的值是_25.（2022四川乐山）已知，则_26（202
13、3广东深圳统考中考真题）已知实数a，b，满足，则的值为_27.（2022山东滨州）若，则的值为_28（2023湖南张家界统考中考真题）因式分解：_29（2023黑龙江绥化统考中考真题）因式分解：_30（2023甘肃武威统考中考真题）因式分解：_31（2023湖南常德统考中考真题）分解因式：_32（2023广东深圳统考中考真题）已知实数a，b，满足，则的值为_33（2023山东统考中考真题）已知实数满足，则_34（2023湖南统考中考真题）先化简，再求值：，其中35.（2022江苏苏州）已知，求的值35.（2022湖南衡阳）先化简，再求值：，其中，37（2021湖南永州市中考真题）先化简，再求值
14、：，其中考点03分式1分式的定义（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母【注】若B0，则有意义；若B=0，则无意义；若A=0且B0，则=02分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变用式子表示为或，其中A，B，C均为整式3约分及约分法则（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数如果分式的分子、分母是多项式，先
15、分解因式，然后约分【注】约分的根据是分式的基本性质约分的关键是找出分子和分母的公因式4最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式5通分及通分法则（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分（2）通分法则把两个或者几个分式通分：先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分
16、母的分式；若分母是多项式，则先分解因式，再通分【注】通分的根据是分式的基本性质通分的关键是确定几个分式的最简公分母6最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母7分式的运算（1）分式的加减 同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减用式子表示为：异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减用式子表示为：（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母用式子表示为：（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘用式子表示为：（4）分式的
17、乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方用式子表示为：为正整数，（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减有括号的，先算括号里的1（2023天津统考中考真题）计算的结果等于（）ABCD2.（2022湖南怀化）代数式x，x2，中，属于分式的有（）A2个B3个C4个D5个3（2023广东统考中考真题）计算的结果为（）ABCD4.（2022天津）计算的结果是（）A1BCD5（2023内蒙古赤峰统考中考真题）化简的结果是（）A1BCD6（2023湖北武汉统考中考真题）已知，计算的值是（）A1BC2D7.（2021黑龙江大
18、庆市中考真题）已知，则分式与的大小关系是（ ）ABCD不能确定8（2023上海统考中考真题）化简：的结果为_9（2023黑龙江绥化统考中考真题）化简：_10（2023辽宁大连统考中考真题）计算：11.（2022四川泸州）化简：12（2023广东深圳统考中考真题）先化简，再求值：，其中13.（2022新疆）先化简，再求值：，其中14（2023四川眉山统考中考真题）先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值15.（2022四川乐山）先化简，再求值：，其中16.（2022陕西）化简：17.（2022四川达州）化简求值：，其中考点04方程1等式的性质（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一
19、个整式，所得的结果仍是等式（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式2方程:含有未知数的等式叫做方程3方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程4一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程它的一般形式为 注意：x前面的系数不为05一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解6一元一次方程的求解步骤变形名称具体做法去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边合并
20、同类项把方程化成的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号7二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程8二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解9二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形
21、式为10解二元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程11二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程12一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程13一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数注意：（1）在一元二次方程的一般形
22、式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：必须是整式方程；必须只含有一个未知数；所含未知数的最高次数是214直接开平方法：适合于或形式的方程15配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；（5）运用直接开平方法解方程16公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可17因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或18根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二
23、次方程根的判别式19一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；（3）当时，方程没有实数根20根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，则，21分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母（2）解分式方程的步骤：找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；解整式方程；验根注意：解分式方程过程中，易错点有：去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；忘记验根，
24、最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解22增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解23不等式：一般地，用符号“”(或“”)连接的式子叫做不等式能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解24不等式的基本性质理论依据式子表示性质1不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变若，则性
25、质2不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变若，则或性质3不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变若，则或注意：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变25不等式的解集及表示方法（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集（2）不等式的解集的表示方法：用不等式表示；用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解26解一元一次不等式的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1（注意不
26、等号方向是否改变）27一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组28一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解29几种常见的不等式组的解集：设，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：不等式组（其中）数轴表示解集口诀同大取大同小取小大小、小大中间找无解大大、小小取不了考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：（1）一元一次不等式（组
27、）的解法及其解集在数轴上的表示；（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；（3）求一元一次不等式组的最小整数解；（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和1（2023四川南充统考中考真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（）A1B2C4D82（2023内蒙古通辽统考中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为_3（2023江苏连云港统考中考真题）解方程组4.（2022浙江台州）解方程组：5（2023湖南常德统考中考真题）解方程组：6（2023浙江统考中考真题）解一元一次不等式组：7（2023湖南永州统考中考真题）解关于x的不
28、等式组8（2023江苏扬州统考中考真题）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来9.（2021陕西中考真题）解不等式组：10.（2020陕西中考真题）解不等式组：11.解不等式组：12.解不等式组：5x32x，2x13x213（2023秋辽宁沈阳九年级统考期末）解方程：14.（2022四川凉山）解方程：x22x3015（2023湖北统考中考真题）已知关于x的一元二次方程(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值16（2023湖北荆州统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根(1)求的取值范围；(2)当时，用配方法解方程17.（2022四川南充）已知关于x的一元二次方程有实数根(1)求实数k的取值范围(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值
