1、类型二 与动点有关的探究题（专题训练）1（2023浙江绍兴统考中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且(1)如图1，求边上的高的长(2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点如图2，当点落在射线上时，求的长当是直角三角形时，求的长2.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；（2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角
2、形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合则点H所经过的路径长为_，点G所经过的路径长为_3（2023湖南郴州统考中考真题）已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点(1)如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，连接设，若，求四边形的面积4.（2021浙江中考真题）已知在中
3、，是的中点，是延长线上的一点，连结（1）如图1，若，求的长（2）过点作，交延长线于点，如图2所示若，求证：（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由5（2023辽宁大连统考中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点落在上时，”小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰中，由翻折得到（1）如图1，当点落在上时，求证：；（2）如图2，若点为
4、中点，求的长问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展问题2：如图3，在等腰中，若，则求的长6.（2021浙江中考真题）问题：如图，在中，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长答案：探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变当点E与点F重合时，求AB的长；当点E与点C重合时，求EF的长（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值7（2023重庆统考中考真题）在中，点为线段上一动点，连接(1)如图1，若，求线段的长(2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延
5、长，交的延长线于点 若，求证：(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值8.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB3cm，AD5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离9（2023四川成都
6、统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究在中，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F【初步感知】(1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程【深入探究】(2)如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接，设的中点为M若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）10.（2021山东中考真题）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将ABE
7、沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC（1）求证：AGGH；（2）若AB3，BE1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，BHC的大小是否变化？为什么？11.（2021湖南中考真题）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为，连接，（1）如图，若，证明：（2）如图，若，求的值（3）如图，若，是否存在点，使得若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由12.如图1和图2，在ABC中，ABAC，BC8，tanC=34点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AMCN2点P从点M
8、出发沿折线MBBN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQB（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0x3及3x9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ扫描APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒若AK=94，请直接写出点K被扫描到的总时长13.如图，点P、Q分别是等边ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发（1）如图1，连接AQ
9、、CP求证：ABQCAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数14.如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰ABC的底边BC在x轴上，BC8，顶点A在y的正半轴上，OA2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH
10、，使正方形EFGH和ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t0）（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S=9136？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒25个单位的速度沿ODDCCDDO运动，到达点O停止运动请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由15.已知：如图，在四边形ABCD和RtEBF中，ABCD，CDAB，点C在EB上，ABCEB
11、F90，ABBE8cm，BCBF6cm，延长DC交EF于点M点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s过点P作GHAB于点H，交CD于点G设运动时间为t（s）（0t5）解答下列问题：（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？（2）连接PQ，作QNAF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由16.如图，菱形ABCD的边长为1，
12、ABC60，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N（1）求证：AFEF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，CEF的大小是否变化？为什么？17.如图1，在矩形ABCD中，AB6，BC8，动点P，Q分别从C点，A点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边CA，AB上沿CA，AB的方向运动，当点Q运动到点B时，P，Q两点同时停止运动设点P运动的时间为t（s），连接PQ，过点P作PEPQ，PE与边BC相交于点E，连接QE（1）如图2，当t5s时，延长EP交边AD于点F求证：AFCE；（2）在（1）的条件下，试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）如图3，当t94s时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分AFP，求AFCE的值
