1、19.1.2 第1课时 矩形的判定（1）学 习 目 标经历矩形判定定理的猜想与证明过程，经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定理解并掌握矩形的判定定理（重点）定理（重点）复 习 导 入问题问题1 1 矩形的定义是什么？矩形的定义是什么？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.问题问题2 2 矩形有哪些性质？矩形有哪些性质？矩形矩形边：边：角：角：对角线：对角线：对边平行且相等对边平行且相等四个角都是直角四个角都是直角对角线互相平分且相等对角线互相平分且相等讲 授 新 课知识点知识点1 1 由矩形的定义判定一个四边形是由矩形的定义判定一个四边形是矩形
2、矩形 我们已经知道，我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是否是矩形这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是否是矩形.几何语言：几何语言：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，且是平行四边形，且A=90A=90，四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.A BA BD CD C讲 授 新 课除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢？除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢？矩形是特殊的平行四边形，具有如下性质：矩形是特殊的平行四边形，具有如下性质：1.1.四个角都是直角；四个角都是直角；2.2.两条
3、对角线相等两条对角线相等.这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？思 考 让我们先思考有关的角让我们先思考有关的角.由矩形的性质由矩形的性质“四个角都是直四个角都是直角角”，你可能会想到，如果一个四边形的四个角都是直角，你可能会想到，如果一个四边形的四个角都是直角，那它肯定是一个矩形那它肯定是一个矩形.的确如此，但是，条件能否再减少一的确如此，但是，条件能否再减少一些，三个角是直角的四边形是矩形吗？两些，三个角是直角的四边形是矩形吗？两个角是直角的四边个角是直角的四边形是矩形吗？一个角是直角的四边形是矩形吗？形是矩形吗？一个角是直角的四边形是
4、矩形吗？合 作 探 究问题问题 至少有几个角是直角的四边形是矩形至少有几个角是直角的四边形是矩形？A AB BD DC C(有一个角是直角有一个角是直角)A AB BD DC C(有二个角是直角有二个角是直角)A AB BD DC C(有三个角是直角有三个角是直角)猜测：有三个角是直角的四边形是矩形猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.讲 授 新 课知识点知识点2 2 有三个角是直角的有三个角是直角的四边形是四边形是矩形矩形已知：如图已知：如图,在四边形在四边形ABCDABCD中中,A=,A=B=C=90B=C=90.求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形是矩形.证明证明:A=:A=B=
5、C=90B=C=90,A+B=180A+B=180,B+C=180B+C=180，ADBC,ABCD.ADBC,ABCD.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.A AB BC CD D新 知 小 结矩形的判定定理矩形的判定定理1 1：有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.几何语言描述：几何语言描述：在四边形在四边形ABCDABCD中，中，A=A=B=C=90B=C=90,四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.A AB BC CD D典 例 精 析例例1 1 如图，如图，ABCDABCD的四个内角的平分线分别相交
6、于的四个内角的平分线分别相交于E E、F F、G G、H H，求证：四边形，求证：四边形 EFGHEFGH为矩形为矩形证明：在证明：在ABCDABCD中，中，ADBC,ADBC,DAB+ABC=180DAB+ABC=180.AEAE与与BGBG分别为分别为DABDAB、ABCABC的平分线的平分线,A AB BD DC CH HE EF FG G四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形同理可证同理可证AEDAED=EHGEHG=90=90,AFB=90AFB=90，GFE=90GFE=90.思 考 现在让我们再思考有关的线段现在让我们再思考有关的线段.“对角线相等对角线相等”是矩是矩形所特有的
7、性质形所特有的性质.那么从对角线的角度，你可以得到关于那么从对角线的角度，你可以得到关于矩形判定的什么猜想？与你的同伴交流一下，看看你们矩形判定的什么猜想？与你的同伴交流一下，看看你们的想法是否一致、可行的想法是否一致、可行.由此，我们可以得到一个猜想：由此，我们可以得到一个猜想：“如果一个平行四边如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是矩形形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是矩形.”.”讲 授 新 课知识点知识点3 3 对角线相等的对角线相等的平行四边形是平行四边形是矩形矩形已知：如图已知：如图,在在ABCDABCD中中,AC,DB,AC,DB是它的两条对角线是它的两条对
8、角线,AC=DB.AC=DB.求证：求证：ABCDABCD是矩形是矩形.证明：证明：AB=DC,AB=DC,BC=CB,BC=CB,AC=DB,AC=DB,ABCABCDCB,DCB,ABC=DCB.ABC=DCB.ABCD,ABCD,ABC+DCB=180ABC+DCB=180,ABC=90ABC=90,ABCDABCD是矩形（矩形的定义）是矩形（矩形的定义）.ABCD新 知 小 结矩形的判定定理矩形的判定定理2 2：对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.几何语言描述：几何语言描述：在在 ABCDABCD中，中，AC=BDAC=BD，ABCDABCD是矩形是矩形.A AB
9、 BC CD D思 考数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等两组对边相等的四的四边形窗框是否成矩形，边形窗框是否成矩形，有一种方法是量一量这个四边形的两条有一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长度，如果对角线长相等对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？知道为什么了吗？对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.典 例 精 析例例2 2 如图如图,矩形矩形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，E E、F F、G G、H H分分别是别是AO
10、AO、BOBO、COCO、DODO上的一点上的一点,且且AE=BF=AE=BF=CG=DH.CG=DH.求证求证:四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形.B BC CD DE EF FG GH HO OA A证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，AO=BOAO=BO=CO=DO=CO=DO，AE=BF AE=BF=CG=DH=CG=DH，OE=OFOE=OF=OG=OH=OG=OH，四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形，是平行四边形，EO+OG=FO+OHEO+OG=FO+OH，即即EG=FHEG=FH，四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形.针 对 练 习在判断在判
11、断“一个四边形门框是否为矩形一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个的数学活动课上，一个合作学习小组的合作学习小组的4 4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是是 （）（）A A测量对角线是否相等测量对角线是否相等 B B测量两组对边是否分别相等测量两组对边是否分别相等 C C测量一组对角是否都为直角测量一组对角是否都为直角 D D测量其中三个角是否都为直角测量其中三个角是否都为直角 D随 堂 检 测1.1.如图，在如图，在 ABCDABCD中，中，ACAC和和BDBD相交于点相交于点O O，则，则下面条件能判定下面条件能判定 ABCDABCD是矩
12、形的是是矩形的是 （）（）A AAC=BDAC=BD B BAC=BCAC=BCC CAD=BCAD=BC D DAB=AD AB=AD A A2.2.如图如图,直线直线EFMN,PQEFMN,PQ交交EFEF、MNMN于于A A、C C两点两点,ABAB、CBCB、CDCD、ADAD分别是分别是EACEAC、MCAMCA、ACNACN、CAFCAF的平分线的平分线,则四边形则四边形ABCDABCD是（是（）A.A.梯梯形形 B.B.平行四边形平行四边形 C.C.矩形矩形 D.D.不能确定不能确定D DE EF FM MN NQ QP PA AB BC CC C随 堂 检 测3.3.如图，在四
13、边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，ABABCDCD，BAD=90BAD=90，AB=5AB=5，BC=12BC=12，AC=13AC=13求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形是矩形证明：四边形证明：四边形ABCDABCD中，中，ABABCDCD，BAD=90BAD=90，ADC=90ADC=90.又又ABCABC中，中，AB=5AB=5，BC=12BC=12，AC=13AC=13，满足满足13132 2=5=52 2+12+122 2，ABCABC是直角三角形，且是直角三角形，且B=90B=90，四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形A AB BC CD D随 堂 检 测4
14、.4.如图，在如图，在 ABCDABCD中中,1=2,1=2中中.此时四边形此时四边形ABCDABCD是矩形吗？是矩形吗？为什么？为什么？A AB BC CD DO O1 12 2解：四边形解：四边形ABCDABCD是矩形是矩形.理由如下：理由如下：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 AO=CO,AO=CO,DO=BO.DO=BO.又又 1=2 1=2，AO=BOAO=BO，AC=BDAC=BD，ABCDABCD是矩形是矩形.随 堂 检 测5.5.如图，在如图，在 ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC，BDBD相交于点相交于点O O，且，且OA=ODOA=OD，OAD=50OAD=50求求OABOAB的度数的度数 A AB BC CD DO O 解：解：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，又又OA=ODOA=OD，AC=BDAC=BD，ABCDABCD是矩形，是矩形，BAD=90BAD=90.又又OAD=50OAD=50，OAB=40OAB=40.课 堂 总 结定 义定 义矩形矩形的判的判定定有一个角是直角的平行有一个角是直角的平行四边形是矩形四边形是矩形.有三个角是直角的四边形有三个角是直角的四边形是矩形是矩形.判 定判 定定理定理1 1判 定判 定定理定理2 2对角线相等的平行四边对角线相等的平行四边形是矩形形是矩形.
