1、第2章 实数2.1 平方根第1课时 平方根和算术平方根【教学目标】知识与技能1.了解平方根和算术平方根的概念； 2.会算出一个非负数的平方根及算术平方根；3.了解平方与开平方是互逆运算.过程与方法通过学习平方根的概念，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维.情感态度让学生体验到数学与生活息息相关，数学来源于生活又应用于生活，数学是有用的数学，是有价值的数学，所以要学好数学.【教学重点】理解开方与乘方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.【教学难点】了解平方根与算术平方根的区别与联系.【教学过程】一、情景导入，初步认知1.一个正方形桌面的边长是4m，求这个桌面的面积是
2、多少平方米？2.已知一个正方形的面积是25cm2，求它的边长. 3.如果一个正方形展厅的地面面积为55平方米，求它的边长.教学说明前两个问题学生能很快地回答出来，而第三个问题学生解答有困难，引发了学生的思维困惑，激发了学生的求知欲和学习兴趣.教师不直接告诉学生答案，表示学习了本节课的内容我们就可以解决这类问题，学生带着问题引入课堂.二、思考探究，获取新知1.动脑筋：某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2,刚好用去正方形的地垫30块，你能算出每块地垫的边长是多少吗？每块地垫的面积是：10.830=0.36m2即边长边长=0.36由于0.62=0.36因此面积为0.36m2的正方形地垫的边长是0
3、.6m.2.上面的问题实际上是：已知幂及乘方的指数求底数，这是什么运算？教学说明学生很容易想到是求乘方的逆运算，进而顺势引出平方根的概念.归纳结论如果一个数r，使得r2=a,那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.即：若r2=a，则r是a的一个平方根.如，由于22=4，因此2是4的一个平方根.3.探究：4的平方根除了2以外，还有其它的数吗？归纳结论如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”；把a的负平方根记作-，读作“负根号a”.这样正数a的平方根可以用“”来表示.例如： 2的平方根是“”.4.零的平
4、方根是多少？负数有平方根吗？归纳结论正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.教学说明形成“平方根”的概念.在列举一些具体数据的感性认识的基础上,由平方运算反推出平方根的概念和定义，让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化，并明白它们之间的互逆关系.5.一个数的平方根与算术平方根有什么区别和联系？归纳结论平方根与算术平方根的联系与区别：联系：包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.存在条件相同:只有非负数才有平方根和算术平方根.区别：个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.表示法不同：平方根表示为
5、，而算术平方根表示为.教学说明注重学生原有认知结构，与原有的概念进行了比较与辨析.因此，学生对平方根和算术平方根概念掌握得比较牢靠,突出本节课的重点.三、运用新知，深化理解1.教材P107例1、例2.2.下列五个命题：只有正数才有平方根；-2是4的平方根；5的平方根是 ；都是3的平方根；(-2)2的平方根是-2；其中正确的命题是（ D ）A BC D3.一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是（ D ）Aa+1 Ba2+1 Ca+1 D4.下列命题中，正确的个数有（ B ）1的平方根是1；1是1的算术平方根；(-1)2的平方根是-1；0的算术平方根是它本身A1个 B2个 C3个
6、 D4个5.下列计算正确的是（ A ）A =2 B.0.1=0.01C.5= D.6.（1）若m的平方根是3，则m = ；（2）若5x+4的平方根是1，则x = .答案：（1）9；（2）由5x+4 = 1得x =-7.在下列各数中，-2,(-3)2，-32,-()有平方根的数的个数为： .答案：2个8.若的算术平方根是3，则a = 答案：819.求下列各数的值：答案：.12；.；.0.25；.0.1；.4；.-；.5；.0.10.小刚同学的房间地板面积为16m2，恰好由64块正方形的地板砖铺成，求每块地板砖的边长是多少？解：设每块地板砖的边长为x米，由题意得64x2 = 16，即x2 =，所以
7、x = (负的舍去)，即x =答：边长为0.5米教学说明这个环节围绕本节课的内容设置一组由浅入深的练习，来检测学生的掌握情况.前部分习题较基础巩固知识点，后部分稍有拓展让学有余力的学生思维得到拓展.在这个过程中，充分发挥学生的主体作用，由学生自己完成这些练习，在练习中享受学习的乐趣.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业布置作业:教材“习题3.1”中第1、2、3 题.【教学后记】第2课时 无理数【教学目标】知识与技能1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的
8、思想.3.能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由. 过程与方法让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神.情感态度了解有关发现无理数的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.【教学重点】会判断一个数是否为无理数.【教学难点】正确理解无理数的意义.【教学过程】一、情景导入，初步认知讲故事： 早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示， 他认为在生活中还存
9、在除有理数之外的另一种数. 到底谁的观点正确呢？我们以前学的有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？这节课我们就共同来研究这个问题.教学说明以故事引入新课首先能激起学生的学习兴趣，同时让学生带着问题听讲新课会收到良好的效果.二、思考探究，获取新知1.做一做：如图，将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸片剪拼成一个正方形，最后得到的这个正方形的面积是多少？它的边长是整数吗？教学说明小组合作剪拼.小组合作，加强学生的合作意识.2.观察下列结果：2.82=7.84 2.92=8.412.822=7.9524 2.832=8.00892.8282=7.9975842.8292=8.003241从上述
10、数据，你能猜想出面积为8的正方形的边长是多少吗？归纳结论既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫作无理数.3.你能列举一些无理数吗？无理数有没有正负之分？ 教学说明通过探究、举例、交流让学生自己总结出什么是无理数，有利于培养学生自己解决问题的能力.三、运用新知，深化理解1.教材P110例3.2.填空题.（1）我们把能够写成分数形式(m、n是整数，n0)的数叫做 .（2）有限小数和 都可以化为分数，它们都是有理数.（3） 叫做无理数.（4）写出一个比-1大的负有理数 .答案：（1）有理数 （2）无限循环小数 （3）无限不循环小数 （4）答案不唯一，如
11、：-0.53.判断题.（1）无理数与有理数的差都是有理数；（2）无限小数都是无理数；（3）无理数都是无限小数；（4）两个无理数的和不一定是无理数.（5）有理数不一定是有限小数.答案：（1）错，如3-0=3.（2）错，如：0.333.（3）对，无理数的两个前提条件之一无限.（4）对，3+（-3）=0.（5）对，如：0.333.4.下列说法正确的是：（ B ）A.整数就是正整数和负整数B.分数包括正分数、负分数C.正有理数和负有理数统称有理数D.无限小数叫做无理数5.m，n分别是6-的整数部分和小数部分，那么2m-n的值是（ C ）A.3- B.4-C.6+ D.2+6.的整数部分为 ，小数部分为
12、 .答案：5；-5.7.满足x的整数x= 6 .8.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？-3；-；0.333；3.30303030；42；-3.1415926；0；3.101001000（相邻两个1之间0的个数逐个加1）；面积为的圆半径为r.答案：无理数有：，3.101001000，（相邻两个1之间0的个数逐个加1） 有理数有：-3，-，0.333，3.30303030，42，-3.1415926,0，面积为的圆半径为r.9.把下列各数填在相应的集合中：7，3.5，3.14，0，0.03%，3，10自然数集合： ；整数集合： ；负数集合： ；正分数集合： ；正有理数集合： ；无理数集合：
13、答案：0，10； 7，0，10； 7，3. 14，3；3.5，0.03%；3.5，0.03%，10；教学说明练习的目的既是检查又是巩固、深化，帮助学生对本节课所学的知识形成更为清晰和深刻的认识，同时可以让学生在探索与被肯定当中获得积极的情感体验.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业布置作业:教材“习题3.1”中第7、8、9 题. 【教学后记】2.2立方根【教学目标】知识与技能了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求一些数的立方根.过程与方法通过用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法
14、，并能自我总结出平方根与立方根的异同.情感态度通过探究活动，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情.【教学重点】立方根的概念.【教学难点】能用立方根解决一些简单的实际问题.【教学过程】一、情景导入，初步认知1.请同学们回忆上节课我们是怎样定义平方根的？它的符号怎么表示？2.我们还学习了一种新的运算，是什么运算呢？3.正数有两个平方根，它们是互为相反数.教学说明通过对平方根的复习，可以增加学生对平方根的印象.同时，教师也能通过学生复习过程的表现，间接了解学生对知识的掌握程度，也能让学生在学习完立方根的新知识后，更好地对这两个概念进行比较.二、思考探究，获取新知1.一个正方体的体积为8c
15、m3，它的棱长是多少？【分析】由于23=8，因此体积为8cm3的正方体，它的棱长为2cm.本题是已知一个数x的立方，求这个数的值，而平方根是已知一个数的平方，求这个数，从而学生可以类比平方根的概念归纳出立方根的概念.2.对比平方根的定义，你能归纳出立方根的定义是什么吗？归纳结论如果一个数b，是b3=a,那么我们把b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根.a的立方根叫作，读作“立方根号a”或“三次根号a”.例如：23=8，因此2是8的一个立方根，即=2.类似开平方的运算，我们也可以定义出开立方运算.归纳结论求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方也互为逆运算.3.学习了立方根的符号后，大家是
16、否有个疑问：立方根有根指数3,那么平方根有没有根指数呢？如果有，它的根指数是多少？4.我们已经学过平方根的符号中的a必须是非负数，那么立方根的符号中a的取值有什么限制吗？5.分别求下列各数的立方根： 1、0、-0.064.6.通过上面的计算，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？归纳结论正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.教学说明让学生动手计算，亲身感受任何一个数都有一个立方根，以及一个数的立方根的唯一性，并体会到立方根与立方互为逆运算，求一个数的立方根可以通过立方运算来求的道理.教学中，教师注意引导学生养成边做边总结的习惯，有利于学生明晰道理，学得明辨.7.实际上，很多
17、有理数的立方根是无限不循环小数.例如,等都是无限不循环小数.我们可以通过计算器来计算出它们的近似值.现在我们就来学习如何用计算器来计算一个数的立方根.一些计算器设有3键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）.用计算器求下列各数的立方根： 343、-1.331、教学说明强调:不同的计算器按键的顺序可能有所不同.三、运用新知，深化理解1.下列说法不正确的是（ C ）A.-1的立方根是-1B.-1的平方是1C.-1的平方根是-1D.1的平方根是12.下列说法中正确的是（ D ）A.-4没有立方根B.1的立方根是1C.的立方根是D.-5的立方根是3.在下列各式中：4.若m0，则m的立方根是（ A
18、）5.-的立方根是 ，125的立方根是 .答案：-,56.的立方根是 .答案：7.-3是 的平方根，-3是 的立方根.答案：9、-27.8.若x4，所以2；因为32=9，且59，所以1 D.x13.不用计算器，计算：（1）2+3-4解：原式=（2）2+3-解：原式（2+3-1）=4（3）3+5-7-2解：原式=-2（4）-+解：原式=6.已知实数x，y满足|x-5|+y+4=0，求代数式（x+y）2016的值.解：依题意当x=5,y=-4时，解得（x+y）2016=（5-4）2016=17.你还会比较+与的大小吗？解：用计算器求得+3.14626437，而 3.141592654，因此+8.已
19、知的整数部分是a，小数部分是b，求a-的值【分析】由于22=4532=9，估计的大小，可得a、b的值，将ab的值代入代数式可得答案解：22=4532=9，23，a=2，b=-2，原式=-教学说明结合有理数的运算，采用类比的方式得到实数的运算与有理数的运算是一样的.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业布置作业:教材“习题3.3”中第4、5、6、10 题.【教学后记】章末复习【教学目标】知识与技能1理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根； 2会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算；
20、3了解无理数的意义，会对实数进行分类，掌握实数的相反数和绝对值的意义；4理解实数与数轴上的点一一对应，理解有理数的运算律适用于实数范围过程与方法通过对本章知识的复习，进一步巩固实数的定义、性质及其运算规律.情感态度提高对知识的应用能力.【教学重点】重点是无理数、平方根、算术平方根、立方根及实数的定义与性质，以及实数的运算法则.【教学难点】难点是利用平方根、算术平方根、立方根及实数运算法则进行有关题目的计算，特别是平方根与算术平方根的不同之处.【教学过程】一、知识框图，整体把握 教学说明引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二、释疑解惑，加深理解1.平方根的概念：如果
21、一个数r，使得r2=a,那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.即：若r2=a，则r是a的一个平方根.2.算术平方根的概念：如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”.3.平方根与算术平方根的联系与区别：联系：包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.存在条件相同:只有非负数才有平方根和算术平方根.区别：个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.表示法不同：平方根表示为a，而算术平方根表示为a.4.无理数的概念：既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数
22、.我们把无限不循环小数叫作无理数.5.立方根的概念：如果一个数b，是b3=a,那么我们把b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根.a的立方根叫作，读作“立方根号a”或“三次根号a”.6.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.7.实数的分类：从概念分；从正负性分.8.实数的性质：实数和数轴上的点一一对应.每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;在实数范围内，负实数没有平方根；在实数范围内，每个实数a有且只有一个立方根.教学说明引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点.加深学生印象.三、运用新知，深化理解1.有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；
23、（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示.其中正确的说法的个数是（ C ）A1 B2 C3 D42.(0.7)2的平方根是（ B ）A-0.7 B0.7 C0.7 D0.493.若a2=25，|b|=3，则a+b=（ D ）A-8 B8 C2 D8或24.在-,，-，3.14，0,-1，|-1|中，其中：整数有 ；无理数有 ；有理数有 .解：整数有：0，|-1|；无理数有：，-1，有理数有：-，-，3.14，0，|-1|.5.计算（保留三位有效数字）.答案：(1)1.5; (2)7.006.化简：|-|+|-1|-|3-|答案：2-47.青云学府新建了一个面
24、积为16平方米的传达室，计划用100块正方形的地板砖来铺设地面，那么所需要的正方形的地板砖的边长是多少？答案：0.4米教学说明通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展.四、复习训练，巩固提高1.下列说法正确的是（ D ）；A.两个无理数的和一定是无理数 ；B.是分数；C.1和2之间的无理数只有；D.2是4的一个平方根.2.下列说法中，不正确的是（ C ）A.3是（-3）2的算术平方根B. 3是（-3）2的平方根C. 3是（-3）2的算术平方根D.3是（-3）3的立方根3.下列说法中，正确的有（ C ）无限小数是无理数；无理数是无限小
25、数；两个无理数的和是无理数；对于实数a、b,如果a2=b2，那么a=b；所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数.A. B. C. D.4.一组数,3.14,-, - ,2这几个数中，无理数的个数是（ B ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 55.求下列各式的值：6.求下列各式中的x值：（1）121x2=64（2）3x3-24=0（3）(5-x)2=(-7)2答案：（1）x=;（2）x=2;（3）x=12;x= -27.若a和b互为相反数，c与d互为倒数，m的倒数等于它本身，试化简：8.比较大小，并说理由.（1）与6；（2）-+1与-.答案：（1）6；（2）-+1-理由略.教学说明学生独立思考，教师适当提示.五、师生互动，课堂小结师生共同总结，对于本章的知识.你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流. 课后作业布置作业:教材“复习题”第1、6、7、10、11、13、16题.【教学后记】17
