1、 百师联盟 2021 届高三一轮复习联考（一）全国卷 文科数学试卷 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 考试时间为 120 分钟，满分 150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1设 2 31 i 22 z ，其中i是虚数单位，则z （ ） A 1 2 B2 C1 D2
2、 2已知集合|0Ax x，集合 2 ln2Bx yxx，则AB （ ） A1, B2,1 C0,1 D2, 3函数 2sin2cos2f xxx的最小正周期为（ ） A B2 C 2 D 4 4一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为 3 1 1 3 s tt，设其在时间段 1,2内的平均速 度为 1m/s v，在2t 时的瞬时速度为 2m/s v， 1 2 v v （ ） A 1 3 B 7 12 C 5 6 D 2 3 5已知 1 sin 4 ， 0, 2 ，则sin 2（ ） A 15 4 B 15 4 C 15 8 D 15 8 6已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是（
3、） Acos sinyx Bsin sinyx Ccos cosyx Dsin cosyx 7已知向量2, 1a，2,4b ，,1cx，若 2/bac，则a在c上的投影为（ ） A 3 2 2 B 3 2 2 C 2 2 D 2 2 8已知圆C： 222 0 xyrr，设p： 3 2 r；q：圆C上至少有3个点到直线320 xy的距 离为 1 2 ，则p是q的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是（ ） A该弹簧振子的振幅为2cm B该弹簧振子的振动周期为1.6s C该弹簧振子在0.2s和1
4、.0s时振动速度最大 D该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零 10已知函数 f x定义在2,2上，且满足 0f xfx，当2,0 x 时， 3 sinf xxx， 则不等式142f xfx的解集是（ ） A1,3 B 1 C3, 1 D3,3 11在ABC中，1ABAC，ABAC，点M，N为ABC所在平面内的一点，且满足 2AMACAB，1MN ，若ANABAC，则的最大值为（ ） A2 1 B2 1 C2 D1 12 设函数 2 2 log1 ,0 ,0 xx f x xx ， 若不等式lnlnf mxmf xxx对任意的1,3x都成立， 则实数m的取值范围是（ ） A,2 B0,2
5、C0,1 D,1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知复数 i 1 i i 1 za 的虚部为零，i为虚数单位，则实数a_ 14函数 cos0,| 2 f xx 的部分图象如图所示，则函数 f x的解析式 f x _为了得到一个奇函数的图象，只需将 f x的图象向左平移0m m个单位长度，则m的最小 值为_ （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 15 如图， 某校园内有一块圆形草坪， 其内接ABC区域内种植花卉 （阴影部分） ， 已知 20 6 m 3 AC ， ， 2 0 mBC ，45B， 现为了扩大花卉的种植面积， 欲在弧BAC上找一点M， 使得新的种植
6、区域MBC 的面积S（单位： 2 m）最大，则S的值为_ 16已知函数 f x的导函数为 fx，任意xR均有 exfxf x，且 10f，若函数 g xf xt在1,x 上有两个零点，则实数t的取值范围是_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分 17 （12 分） 在平面直角坐标系中，已知向量1,1a ，1b ，且25ab （1）求向量a，b的夹角； （2）设2ma ab，ntab，是否存在实数t，使/m n？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由 1
7、8 （12 分） 已知顶点在坐标原占，始边在x轴正半轴上的锐角的终边与单位圆交于点 13 , 22 A ，将角的终边绕 着原点O逆时针旋转 0 2 得到角的终边 （1）求 2 sin2 2cossin 的值； （2）求coscos的取值范围 19 （12 分） 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3 cossin3aCcAb （1）求角A； （2）若2 3a ，2c ，求ABC的面积 20 （12 分） 2020 年 5 月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力近日，多省市为流 动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济” ，但因其露天经营的特殊性，易受到天
8、气的影响，一些平台公 司纷纷推出帮扶措施， 赋能 “地摊经济” 某平台为某销售商 “地摊经济” 的发展和规范管理投入4,8x x 万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x万元赞助费后，商品的销售量 将增加到 2 10 2 y x 万件，0.6,1为气象相关系数，若该销售商出售y万件商品还需成本费 40530 xy万元 （1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p万元与平台投入的赞助费x万元的关系式； （注：总利润=赞助费+出售商品利润） （2）若对任意4,8x万元，当入满足什么条件时，该销售商才能不亏损？ 21 （12 分） 已知函数 2 exf xaxx，其中aR，
9、e2.71828为自然对数的底数 （1）当1a 时，求函数 f x的单调区间； （2）设 lng xxx，若对于任意0,x， 0f xg x恒成立，求a的取值范围 （二）选考题：10 分请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的 题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂，多涂，漏涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分 22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2cos 2sin x y （为参数） ，以原点O为极点，x轴正 半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin2 2 4
10、（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）点P为曲线C上一点，求点P到直线l距离的最小值 23 【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分） 已知函数 212f xxx （1）求不等式 2f xx的解集 （2）若 1 2 f xt对一切实数x均成立，求实数t的取值范围 百师联盟 2021 届高三一轮复习联考（一）全国卷 文科数学参考答案及评分意见 1C 解： 2 3113 ii 2222 z ，所以 2 2 13 1 22 z ，故选 C 2A 解：集合 2 |20|2Bx xxx x 或1x ，所以1,AB ，故选 A 3A 解：因为 2sin2cos25sin 2xxxf x，
11、其中 1 tan 2 ，所以函数 f x的最小正周 期 2 2 T ，故选 A 4B 解：由题意，该质点在时间段1,2内的平均速度 33 1 11 2111 733 m/s 2 13 s v t ，因 为 2 s tt，所以 24 s ，即该质点在2t 时的瞬时速度为 2 4m/sv ，所以 1 2 7 12 v v ，故选 B 5D 解：历为 1 sin 4 ， 0, 2 ， 22 sincos1，解得 15 cos 4 ，所以 sin 2sin 15 2sco 8 2ins，故选 D 6D 解：由图象知，该函数为偶数，排除 B 选项；当0 x 时，01y，而cos sin0cos01， 排
12、除 A 选项；令cos1,1tx ，所以cos cos0 x ，排除 C 选项，故选 D 7B 解： 因为 2/bac，26,6ba ，,1cx，即有66x，解得1x，所以1,1c ， 则a在c上的投影为 33 2 22 a c c ，故选 B 8C 解：圆C的圆心为0,0，其到直线320 xy的距离为1， 当 1 0 2 r时，圆上没有点到直线的距离为 1 2 ；当 1 2 r 时，圆上有1个点到直线的距离为 1 2 ； 当 13 22 r时，圆上有2上点到直线的距离为 1 2 ；当 3 2 r 时，圆上有3点到直线的距离为 1 2 ； 当 3 2 r 时， 圆上有4个点到直线的距离为 1
13、2 ； 要使圆C上至少有3个点到直线320 xy的距离为 1 2 ， 则 3 2 r，所以p是q的充要条件，故选 C 9C 解：由图象及简谐运动的有关知识知，设其振动周期为T，0.60.20.4 4 T ，解得1.6sT ， 振幅2cmA，当0.2st 或1.0s时，振动速度为零，故选 C 10B 解：当2,0 x 时， 3 sinxxxf， 2 3cos0fxxx，所以 f x单调递增；又因 为 0f xfx，所以 f x为奇函数，其在2,2上单调递增，则142f xfx等价于 21 2 2 422 142 x x xx 剟 剟，解得1x，故选 B 11A 解：由题意，以A原点，AB，AC所
14、直线为x轴，y轴建立直角坐标系，则0,0A，1,0B， 0,1C，21,2AMACAB ，因为1MN ，所以点N满足 22 121xy，设点 cos1,sin2N，则由ANABAC得， cos1,sin2, ，所以 sincos12sin121 4 ，故选 A 12A 解：由函数 f x解析式知， f x在R上单调递增，若不等式lnlnf mxmf xxx对 任意的1,3x都成立，等价于lnlnmxm xxx对任意的1,3x恒成立，令 1 lng xxxmxm， 1 ln1 x xxmg ，令 1 ln1h xx x ， 2 1 0 x h x x 1,3x，所以 h x在1,3x单调递增，因
15、为 12h xh，故当2m时， 0g x ， g x单 调递增；因为 10g，所以 0g x ，满足题意；当2m时，取3m，2x ， 3 8 1 ln3ln2633ln23ln0 e g xxxmxm ，不满足；综上：实数m的取值范围为 ,2，故选 A 131 2 解： i11 1 ii i122 zaa ， 因为其虚部为零， 所以 1 0 2 a， 1 2 a 故答案为 1 2 14 cos 46 x ； 4 3 解：设函数 f x的最小正周期为T，山上图知 42 2 433 T ，解得 2 8 4 T ，所以 cos 4 f x ， 2 cos1 36 f ，故 1 2 6 k， 1 2
16、6 k， 1 k Z，因为 2 ，当 1 0k 时满足条件， 6 ，所以 cos 46 xxf ，向左 平移0m m个单位长度得到 coscos 46446 yxmxm 为奇函数，故 2 462 mk， 2 k Z，当 2 0k ， 4 3 m 时满足条件故答案为 cos 46 x ； 4 3 15100 3 解：在ABC中，由正弦定理得， sinsin BCAC AB ，即 20 6 20 3 sinsin45A ，解得60A，由 “同弧所对圆周角相等” 知60MA ， 设mB M x ，mCMy， 则 13 sin 24 MBC SxyMxy ， 在MBC中，由余弦定理得， 22222 4
17、 ,202cos 3 MBC xyxyMxyxy xyS ，故 100 3 MBC S， 当且仅当20 xy时等号成立， 所以新的种植区域MBC的面积S最大为100 3 故 答案为100 3 16 2 2, e 解： 设函数 ex f x h x ， 则 ex f xf x h x ， 因为 exfxf x ， 则 1h x ， 设 h xxC，则 1 110 e f hC ，所以1C ，即 1h xx， 1 exf xx， exfxx ，则 f x在1,0单调递减，在0,单调递增， min 01f xf， 2 1 e f ， 要使函数 g xf xt有两个零点，等价于曲线 yf x与yt有两
18、个交点，所以实数t的取值范围 为 2 1, e 故答案为 2 1, e 17 解： （1） 因为1b ，25ab， 2 24ab， 22 45aa bb ， 结合2a 解得1a b ， 4 分 即 2 cos2 1 cos1cos 2 a ba b ，又因为0,，所以 4 6 分 （2）要使/m n成立，则mn，R，0，即 2abtab，10 分 因为a，b不共线，故 2 1 t ，解得 2 1 t ，即存在2t 使/m n12 分 18解： （1）由题意得 3 sin 2 ， 1 cos 2 ，4 分 所以 222 31 2 sin22sincos 22 2 3 2cossin2cossin
19、 13 2 22 6 分 （2） 13 coscoscoscoscossincos 322 ，8 分 化简得coscos3sin 3 ，10 分 因为0 2 ，所以 633 ， 13 sin 232 ， 3 3 coscos, 22 12 分 19解： （1）因为3 cossin3aCcAb，由正弦定理得3sincossinsin3sinACCAB， 1 分 又因为sinsinsincoscossinBA CACAC，2 分 所以sinsin3cossinACAC，3 分 又0,A，所以 3 A 6 分 （2）由（1）知 3 A ，结合余弦定理， 2222 4 121 cos 242 bcab
20、 A bcb ，解得4b，8 分 所以 113 sin4 22 3 222 ABC SbcA 12 分 20解： （1）由题意得 2020200 40104053010100440 222 pxxx xxx ， 4,8x5 分 （2）要使对任意4,8x（万元）时，该销售商才能不亏损，即有0p，变形得 102 25 xx x 在 4,8x上恒成立，7 分 而 2 102122020 12 xx x x xx xx ，设 20 12f xx x ， 2 20 1fx x ，令 0fx 解得2 5x ，所以函数 f x在4,2 5 单调递减，在2 5,8 单调递增，9 分 max max4 ,8f
21、xff， 因为 421822.5ff， 所以有2522.5， 解得0.9， 即当 满足0.9,1地，该销售商才能不亏损12 分 21解： （1）当1a 时， 22 ef xxx，所以 e21 x fxx，1 分 易和 fx单调递增且 00 f ，所以函数 f x在,0上单调递减；在0,上单调递增，即函数 f x的单调递增区间为0,，单调递减区间为,05 分 （2）要证对于任意0,x， 0f xg x恒成立，即 2 ln ex xxxx a 恒成立，6 分 令 2 ln ex xxxx m x ， 则 l n1 ee xx xx m x ， 令 ex x h x ， 1 ex x h x ， 所
22、以当 0,1x时， 0h x ， h x单调递增；当1,x时， 0h x ， h x单调递减； max 1 1 e h xh，所以 1 0, e h x ，8 分 令 h xt，所以ln1ln ee xx xx ttt ，令 lnu tttt， ln2u tt，所以当 2 1 0, e t 时， 0u t ， u t单调递减；当 2 11 , ee t 时， 0u t， u t单调递增； min 22 11 ee uu t ， 10 分 所以 2 ln ex xxxx m x 的最小值为 2 1 e ，即有 2 1 e a ，11 分 综上：a取值范围为 2 1 , e 12 分 22解： （
23、1）因为曲线C的参数方程为 2 2cos 2sin x y ，所以 22 2 2 22 2cos2 2sinxy 22 8 sincos8，整理得 22 1 82 xy ；2 分 因为直线l的极坐标方程为sin2 2 4 ， 22 sincos2 2 22 ，整理得 sincos4，即40 xy4 分 （2）由（1）得直线l的直角坐标方程为40 xy，则设点 2 2cos , 2sinP， 0,2 ，5 分 则点P到直线40 xy的距离 2 2cos2sin410sin4 22 d ，其中 tan2，8 分 当sin1时， min 104 2 25 2 d 10 分 23解： （1） 1 3, 2 1 31,2 2 3,2 xx f xxx xx 剟，3 分 当 1 2 x 时，32xx ，解得 5 2 x，所以 5 2 x；4 分 1 2 2 x剟时，312xx，解得 3 2 x，所以 3 2 2 x剟；5 分 2x时，32xx，解得xR，所以2x；6 分 综上：不等式 2f xx的解集为 53 , 22 7 分 （2）由（1）知， min 15 22 f xf ，8 分 因为 1 2 f xt对一切实数x均成立，即有 51 22 t，解得3t或2t，9 分 所以t的取值范围为 , 23, 10 分
