1、 科目：数学科目：数学 （试题卷试题卷） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓 名、准考证号和科目 2学生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作答无效考生在答题卡上按答题卡 中注意事项的要求答题 3考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回 4本试题卷共 5 页如缺页，考生须声明，否则后果自负 姓名_ 准考证号_ 郴州市郴州市 2021 届高三第一次教学质量监测试卷届高三第一次教学质量监测试卷 数学数学 （命题人：安仁一中 李金辉 汝城一中 宋孝军 宜章一中 夏群华 审题人：郴州市二中 曾小丽 桂阳一中 李民忠
2、郴州市教科院 汪昌华） 一、单项选择题一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1 已知全集UR， 集合 2 0MxR xx， 集合sin ,NyR yx xR， 则MN （ ） A0,1 B0,1 C1,0 D 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足11 2zii ，则复数 z 在复平面上所对应点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3下列函数中，在0,上是减函数且是偶函数的是（ ） A 2 1f xx B 3 f xx C 1 lgf x x D 2 x f x 4已知角的终边经过点2,4，则
3、cos2（ ） A 3 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 5“02a”是“xR ， 2 10 xax ”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 易经是中国传统文化中的精髓图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成（ “”表示一根阳线， “”表示一根阴线） ，现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为（ ） A 1 14 B 1 7 C 3 14 D 3 28 7已知 P 是边长为 3 的正方形 ABCD 内（包含边界）的一点，则AP AB的最大值是（ ） A6 B3 C9 D8 8若实数 x，y 满足1x xy y，则点, x y到直线
4、1xy 的距离的取值范围是（ ） A0,1 B1,2 C 22 ,1 22 D1,2 二、多项选择题二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分） 9定义：若函数 f x的图像经过变换后所得图像对应的函数的值域与 f x的值域相同，则称变换 是 f x的 “同值变换” ， 下面给出四个函数及其对应的变换， 其中属于 f x的 “同值变换” 的是 （ ） A 2 2f xxx，:将函数 f x的图像关于 y 轴对称 B 21 x f x ，:将函数 f x的图像关于 x
5、轴对称 C 2 logf xx，:将函数 f x的图像关于yx直线对称 D cos 3 f xx ，:将函数 f x的图像关于点2,0对称 10若将函数 sin2f xx的图象向左平移 6 个单位长度，得到函数 g x的图象，则下列说法正确的是 （ ） A g x的最小正周期为 B sin 2 6 g xx C 5 12 x 是函数 g x图象的一条对称轴 D g x在, 6 6 上的最大值为 1 2 11已知0a，0b，且 22 2ab，则下列不等式中一定成立的是（ ） A1ab B 11 2 ab Clglg0ab D2ab 12已知函数 yf x在 R 上可导且 01f，其导函数 fx满
6、足 10 xfxf x ，对于 函数 x f x g x e ，下列结论正确的是（ ） A函数 g x在, 1 上为增函数 B1x是函数 g x的极小值点 C函数 g x必有 2 个零点 D 2 2 e e f ee f 三、填空题三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知2 n xy展开式的二项式系数和为 64，则其展开式中含 42 x y项的系数是_ 14设数列 n a的前 n 项和为 n S，且12 nn Sa ，则 n a _ 15 已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F， 直线 l 过点 2 F交双曲线右
7、支于 P， Q 两点，若 12 3PFPF， 2 3PQPF，则双曲线 C 的离心率为_ 16四棱锥PABCD各顶点都在球心为 O 的球面上，且PA 平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形， 2PAAB，4AD ，则球 O 的体积是_；设 E、F 分别是 PB、BC 中点，则平面 AEF 被球 O 所截得的截面面积为_ 四、解答题四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答 6AB AC 2 13bci，i 为虚数单位 ABC的面积为3 15 在ABC中，内角 A，B，
8、C 所对的边分别为 a，b，c，已知2b c ， 1 cos 4 A ，_ （）求 a； （）求sin 6 C 的值 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （本小题满分 12 分）已知公差不等于零的等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且满足 4 16S ， 1 a， 2 a， 5 a成等比数列 （）求数列 n a的通项公式； （）求数列 22 1 8 nn n aa 的前 n 项和 n T 19 （本小题满分 12 分） 如图， 四棱锥PABCD中，PAB是边长为2的正三角形， 底面ABCD为菱形， 且平面PAB 平面ABCD， 60ABC，E 为 PD 上一点，满足 1
9、2 PEED （）证明：ABPC； （）求二面角PACE的余弦值 20 （本小题满分 12 分）某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否 有雨相互独立，无雨的概率都为 0.8现有两种方案可以选择： 方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为 2 万元，只有一天有雨 收益为 1 万元，两天都有雨收益为 0.75 万元 方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘当天无雨收益为 2 万元，有雨收益为 1 万元额 外聘请工人的成本为 a 万元 问： （）若不额外聘请工人，写出基地收益 X 的分布列及基地的预期收益； （）该基地是否应该外
10、聘工人？请说明理由 21 （本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 2 2 ，且右焦点 ,00F cc 到直线 2 : a l x c 的距离为 3 （）求椭圆 C 的方程； （） 过点 F 的直线与椭圆交于 A， B 两点， 线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P， C， 当PAC 取得最小值时，求直线 AB 的方程 22 （本小题满分 12 分）已知函数 1 x f xea x （）若 0f x ，求 a 的取值范围； （）证明： 1 1 ln1 n k k enn 参考答案参考答案 一、单项
11、选择题一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1-5 BBCAA 6-8 CCC 8当0 x，0y 时； 22 1xy；当0 x时，0y 时， 22 1xy；当0 x，0y 时，无意义； 当0 x，0y 时， 22 1yx，故方程1x xy y表示的曲线如图所示，0 xy为双曲线 22 1yx 的一条渐近线，平行线0 xy与1xy 间的距离为 2 2 二、多项选择题二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有
12、选错的得 0 分） 9AD 10AC 11AD 12BD 11 22 1 2 ab ab ， 2 222 2242ababababab，A，D 都成立 又当 1 2 a ， 7 2 b 时， 11 2 ab ，此时 B 不成立 又lglglg0abab，C 不成立 12 x fxf x gx e ，当1x， 0g x ， g x递增；当1x， 0g x ， g x递减； 易知 BD 成立 三、填空题三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 1360 14 1 2n 15 21 3 168 6 14 3 16由题设知球心 O 为 PC 中点，球 O 直径 222 22242
13、66RR ， 8 6V 球 设球心 O 到平面 AEF 的距离为 d，截面圆半径为 r，由题设球心 O 到平面 AEF 的距离等于点 B 到平面 AEF 的距离，在三棱锥BAEF中，由等体积法容易求得 2 3 3 d ， 222 414 6 33 rRd，故截面面 积为14 3 （第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17解：方案一：选择条件： （）c s6oAB ACbcA，cos 1 4 A ； 24bc （2 分） 由 24 2 bc bc 解得 6 4 b c 或 4 6 b c （舍去) （3
14、分） 222 1 236 162 6 46cos4 4 abcbcA 8a （5 分） （） 222 6436 167 cos 22 8 68 abc C ab ， 4915 sin1 648 C （7 分） 3 57 sinsincoscossin 66616 CCC （10 分） 方案二：选择条件： （）由 22 52 2 bc bc 解得： 6 4 b c 或 4 6 b c （舍去) （3 分） 222 1 236 162 6 46cos4 4 abcbcA 8a （5 分） （）同方案一 方案三：选择条件： （） 1 cos 4 A ， 1 sin 5 4 A 又 sin 115 3
15、 15 28 ABC ASbcbc，24bc （2 分） 由 24 2 bc bc 解得： 6 4 b c 或 4 6 b c （舍) （3 分） 222 co 1 236 162 6 464s 4 Aabcbc 8a （5 分） （）同方案一 注意：方案二、方案三评分标准参照方案一 18解析： （）设公差为 d 由题得 1 4 22 152 111 4616 16 4 ad S a aaa adad （3 分） 11 1 2381 22 ada dad （5 分） 所以21 n an （6 分） （）由（）得到 222222 1 8811 21212121 nn nn aa nnnn （9
16、分） 所以 222222 111111 1335 2121 n T nn （11 分） 2 22 144 1 2121 nn nn （12 分） 19证明： （）设 O 为 AB 中点，连接 OP，OC， PAPB，ABPO （1 分） 又底面四边形 ABCD 为菱形，60ABC， ABC为等边三角形 ABOC （3 分） 又OCPOO，OC，PO平面 POC， AB平面 POC， 而PC 平面 POC，ABPC （5 分） 解析： （）平面PAB 平面 ABCD，平面PAB平面ABCDAB，POAB PO平面 ABCD （6 分） 以 O 为原点，OB，OC，OP 分别为 x，y，z 轴建立
17、空间直角坐标系，则 0,0, 3P，1,0,0A ，1,0,0B， 0, 3,0C， 2, 3,0D ， 2, 3,3PD ， 由 111 ,32, 3,3 233 EEE PEEDPEPDxyz 2 3 E x ， 3 3 E y ， 2 3 3 E z ，即 23 2 3 , 333 E （8 分） 13 2 3 , 333 AE ， 1, 3,0AC ， 1,0, 3AP 设 1111 ,nx y z为平面 ACE 的法向量，则由 1111 111 032 30 030 nAExyz nACxy 令 1 3x ，得 1 1y ， 1 0z ， 1 3, 1,0n （10 分） 设 222
18、2 ,nxy z为平面 ACP 的法向量，则由 222 222 030 030 nAPxz nACxy 令 2 3x ，得 2 1y ， 2 1z ， 2 3, 1, 1n ， （11 分） 设二面角PACE的平面角为， 则 12 12 3 12 5 cos 525 n n nn 二面角PACE的余弦值为 2 5 5 （12 分） 20解析： （）基地收益 X 的可能值为 2，1，0.75，则 20.64P X ，10.32P X ，0.750.04P X 故 X 的分布列为 （4 分） X 2 1 0.75 P 0.64 0.32 0.04 则2 0.64 1 0.320.75 0.041.
19、63E X （6 分） （）设基地额外聘请工人时的收益为 Y 万元，则其预期收益 2 0.8 1 0.21.8E Yaa （8 分） 0.17E YE Xa （9 分） 综上可得，当额外聘请工人的成本高于 0.17 万元时，不外聘工人 （10 分） 当成本低于 0.17 万元时，外聘工人 （11 分） 当成本恰为 0.17 万元时，是否外聘工人均可以 （12 分） 21解析： （）由题意 2 2 2 3 c a a c c 得 2 1 a b （3 分） 2 2 1 2 x y （4 分） （）设直线 AB 方程为1xmy，与椭圆联立得 22 22 1 2210 22 xmy mymy xy
20、则 2 2 C m y m ， 2 2 1 2 CC xmy m ，即点 22 2 , 22 m C mm （6 分） 则 PC 方程为 22 2 22 m ym x mm ， 令2x得 3 2 25 2 mm y m ，即 3 2 25 2, 2 mm P m （7 分） 则 2 22 2 3 222 231 226 2 222 mm mm PC mmm （8 分） 又 2 2 2 2 21 1 2 AB m ABmyy m （9 分） 则 2 2 22 23 2 tan214 1 11 | 2 m PC PACm mm AB 当且仅当1m时取等号 （10 分） 则当PAC取得最小值时，直线
21、 AB 方程为10 xy （12 分） 22解析： （） x fxea 1当0a时， 0fx，则 f x在 R 上单调递增 由于 11 11 11 11 110 aa feae aa ，故 0f x 不成立， （2 分） 2当0a时， 0 x f xe，成立 （3 分） 3当0a时，令 0 x fxea，则lnxa 则 f x在,lna单调递减，ln,a单调递增 （5 分） 于是 ln lnln1ln0 a f xfaeaaaa ，即10a 综上所述1,0a （7 分） （）由（）可知，当1a时， 10 x xefx，即1 x ex （8 分） 由于待证目标式中含有ln1x的形式 用ln1x代上式的 x 得ln1xx （9 分） 结合可得：ln(1) 1 x ex，0 x时取等号 （10 分） 则 1 1 1 lnln11 ln1 k ek k k （11 分） 于是 1 1 1 ln2ln11 ln1lnln1 n k k ennnn （12 分）
