1、 广东省潮州市广东省潮州市 20182018- -20192019 学年高二上学期期末教学质量检测数学 （理）学年高二上学期期末教学质量检测数学 （理） 试题（解析版）试题（解析版） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.在中，则边 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知利用三角形内角和定理可求角 ，再根据正弦定理可求 的值即可 【详解】， ， 由正弦定理，可得：,故选 C 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，意在考查对基 础知识的掌握情况，属于基础题 2.已知命题，命题，则
2、 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】因为若时，必有成立， 而时，不一定成立， 即成立，反之不成立 所以 是 的充分不必要条件，故选 A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于简单题判断充分条件与必要条件 应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试. 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原 命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题
3、；对于范围问题也可 以转化为包含关系来处理. 3.已知数列是等比数列，且，则 A. 15 B. 24 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】 由，利用等比数列的通项公式可得公比，由此能求出 【详解】因为， 所以，即， 可得公比， 故,故选 C 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式基本量运算，是基础题等比数列基本量的运算是 等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列 方程组所求问题可以迎刃而解. 4.已知实数，则以下不等式中恒成立的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据幂函数的单调性判断 ；令，判断，根据指数函数的单调性判断
4、 【详解】因为是增函数，所以由可得，选项 正确； 当，时，不成立，选项 错误； 因为是减函数,由可得，选项 错误， ，时，不成立，选项 错误，故选 A 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于中档题利用条件判断不等式是否成 立主要从以下几个方面着手： （1）利用不等式的性质直接判断； （2）利用函数式的单调性判 断； （3）利用特殊值判断. 5.将给定的 9 个数排成如图所示的数表，若每行 3 个数按从左至右的顺序构成等差数列，每 列的 3 个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数，则表中所有数之和 为 A. 2 B. 18 C. 20 D. 512 【答案】B 【解析】
5、【分析】 根据每行数的和等于第二个数的 3 倍，每列数的和等于第 2 个数的 3 倍，可得表中所有数之 和为，据此即可求出表中所有数之和 【详解】每行 3 个数按从左至右的顺序构成等差数列， ， ， ， 每列的 3 个数按从上到下的顺序也构成等差数列， ， 表中所有数之和为，故选 B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于 基础题 6.已知，则函数取最小值为 A. B. 2 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 试题分析：，则原式变形为（当且仅 当“”即“”时取“”） ，所以原函数的最小值为 D. 考点：1.配凑法；2.均值不等式求最值. 7.设满
6、足约束条件，则的最大值是 A. 0 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程 组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图： 由得， 平移直线，由图象可知当直线，经过点 时， 直线的截距最大，此时 最大 由，解得， 即，此时，故选 D 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数 最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ； （2）找到目标函数对应的最优解对应点（
7、在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最 后通过的顶点就是最优解） ； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 8.设是空间不共面的四点，且满足，则是 A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 由，可得，是锐角，同 理可得，都是锐角，从而可得结果 【详解】因为， 所以， ，故是锐角， 同理，可得，都是锐角， 故是锐角三角形，故选 B 【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算以及向量运算的三角形法则，属于中档题判断 三角形的形状有两种基本的方法：看三角形的角；看三角形的边 9.两灯塔与海洋观察站 的距离都等于， 灯塔 在 北偏东，
8、 在 南偏东， 则 之间的距离为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据方位角的定义，由已知的和，求出的度数，在三角形中，再由 ，利用余弦定理即可表示出的值 【详解】 根据图形可知， 在中， 根据余弦定理得：， 所以, 即之间的距离为 ,故选 A 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，涉及的知识有方位角的定义，余弦定理，考查了数 形结合的思想，属于中档题对余弦定理一定要熟记两种形式： （1）； （2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有 关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 10.在棱长为 1 的正方体中，M
9、和 N 分别为和的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据作平行线的方法作出两直线所成的角，然后通过余弦定理求得两直线所成角的余弦值 【详解】过点 N 作 AM 的平行线交 AB 于点 E，则 AE3EB，连接 EC， 设 AB4，在NEC 中有， 由余弦定理得， 直线 AM 和 CN 所成的角的余弦值是 故选 D 【点睛】利用几何法求异面直线所成角的步骤： 作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同 时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上 证：证明作出的角为所求角 求：把这个平面角
10、置于一个三角形中，通过解三角形求空间角 11.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点 到双曲线的 两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由椭圆的焦点求出，再根据焦点 到双曲线的两条渐近线的距离之和为，求出， 即可求出，根据离心率公式计算即可. 【详解】椭圆与双曲线有共同的焦点， ，可得, 双曲线的焦点坐标为， 设,双曲线渐近线方程为， 焦点 到双曲线的两条渐近线的距离之和为， ， ， ， ， ，故选 A 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质以及椭圆的简单性质，考查双曲线的离心率，属于基 础题. 离心率的求解在圆锥曲线的
11、考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情 况：直接求出，从而求出 ;构造的齐次式，求出 ;采用离心率的定义以及圆锥曲 线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解 12.设数列是首项为 1，公比为的等比数列，若是等差数列，则 A. 4036 B. 4038 C. 4030 D. 4032 【答案】D 【解析】 【分析】 由为等比数列且是等差数列可得数列是常数数列，公比，可得 ，从而可得结果 【详解】数列是首项为 1，公比为的等比数列， 可得， 则为公比为 的等比数列， 又因为是等差数列，所以是常数列，可得， 故， 共 4032 项，故答案为 4032 ,故选 D 【点睛】本题主要考查等
12、比数列的通项公式与性质以及等差数列的性质，意在考查综合应用 所学知识解答问题的能力，属于基础题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.已知双曲线的左支上一点 到左焦点的距离为 10，则点 到右焦点的距离为 _ 【答案】18 【解析】 【分析】 由双曲线的方程可得，根据双曲线的定义可求出点 到右焦点的距离 【详解】由双曲线的方程可得， 由双曲线的定义可得点 到右焦点的距离等于加上点 到左焦点的距离， 故点 到右焦点的距离为，故答案为 18 【点睛】本题主要考查双曲线的定义和标准方程，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于 基础题 14
13、.在等比数列中， 、 是方程的两个根，则_ 【答案】-5 【解析】 【分析】 由、是方程的两个根，利用韦达定理，以及等比数列的性质，即可得到结论 【详解】因为 、 是方程的两个根， 所以可得， 由等比数列的性质可知， 故答案为 【点睛】本题主要考查韦达定理的运用，考查等比数列的性质，属于基础题解与等比数列 有关的问题，要注意应用等比数列的性质（）. 15.若函数的两个零点是和 3，则不等式的解集是_ 【答案】 【解析】 若函数的两个零点是2 和 3，则，即. ，即. . 即,，得. 等式的解集是. 16.已知抛物线， 是焦点，点，若点 在抛物线上，且的值最小，则 点 的坐标为_ 【答案】 【解
14、析】 【分析】 当点 在过 且与准线垂直的线段与抛物线 的交点处时，的值最小，此时， 代入抛物线方程可得 【详解】 过点 向抛物线的准线作垂线，则， ， 当三点共线时，的值最小， 显然 点横坐标为，代入抛物线方程可得 故答案为 【点睛】本题考查了抛物线的定义与简单性质，属于基础题与抛物线的定义有关的最值问 题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该 点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的 距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共
15、6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.给定命题 关于 的方程无实根；命题 函数在上单调递减 已 知是真命题，是假命题，求实数 的取值范围 【答案】 【解析】 【分析】 化简命题 可得，化简命题 可得，由为真命题，为假命题，可得一真 一假，分两种情况讨论，对于 真 假以及 假 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并 集即可求得实数 的取值范围. 【详解】由方程无实根， 可得解得，即命题p：； 由函数在上单调递减， 可得，解得，即命题q： 是真命题，是假命题, 、q两个命题真假性相反 , 或解得或, 实数a的取值范围为. 【点睛】本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查
16、函数的单调性以及方程根的问题， 属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意： （1）原命题与其非命 题真假相反； （2）或命题“一真则真”； （3）且命题“一假则假”. 18.已知等差数列的前 项和为，且， 求数列的通项公式； 求的值 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 根 据 等 差 数 列 的 性 质 求 得， 可 得；由 （ 1 ） 可 得 ，利用裂项相消可求的值 【详解】因为是等差数列, 所以当时，则， 所以， 由， 所以数列的通项公式是 由得 , 所以 , 的值是 【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的通项公式、裂项相消法求和，属于中 档题裂
17、项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这 一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)； （2） ； （3）； （4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导 致计算结果错误. 19.在中角所对的边分别是， 求的值； 求的面积 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 )利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理可得的值；由，可得 为锐 角， 由可得， 利用两角和的正弦函数公式可求的值， 利用三角形面积公式即可得解 【详解】， ， 由正弦定理可得： ，C为锐角， 由可得：， ， 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系
18、式，正弦定理的应用，两角和的正弦函数公 式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题正弦定理是解三角形的有力工 具，其常见用法有以下三种： （1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨 论钝角与锐角） ； （2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边； （3）证明化简过程中边 角互化； （4）求三角形外接圆半径. 20.已知函数 求方程的实根； 若对于任意，不等式恒成立，求实数 m 的最大值 【答案】 （1）x=0； （2）4 【解析】 【分析】 (1)由题得,再解即得.(2)先化简得，再 利用基本不等式求右边函数的最小值即得解. 【详解】 （1） 由条件知 所以 而.
19、当且仅当 f(x)=,即 f(x)=2,x=0 时取得最小值. 所以, 所以实数 m 的最大值为 4. 【点睛】(1)本题主要考查指数方程的解法，考查不等式的恒成立问题，意在考察学生对这些 知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)处理参数问题常用的方法有分离参数和分类讨论. 本题利用的是分离参数法. 21.如图所示，四棱锥中，底面 ABCD 为平行四边形， 底面 ABCD 证明：平面平面 PBD； 若二面角的大小为 ，求 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值 【答案】 （1）见解析； （2）. 【解析】 试题分析： （1）先利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定 理进
20、行证明； （2）先利用前一步结论得到垂直关系，进而找出二面角的平面角，以垂直关系 建立适当的空间直角坐标系，将线面角转化为空间向量进行求解. 试题解析： （1）， 又底面，底面， 又，平面. 而平面，平面平面.（2）由（1）所证，平面，所以即 为二面角的平面角，即， 而，所以. 因为底面为平行四边形， 分别以为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则 与平面所成角的正弦值为. 22.已知圆 O：与直线 ：相切，设点 A 为圆上一动点，轴 于 B，且动点 N 满足，设动点 N 的轨迹为曲线 C 求曲线 C 的方程； 直线 l 与直线垂直且与曲线 C
21、交于 B，D 两点，求面积的最大值 【答案】 （1）； （2） 【解析】 试题分析： （1）先利用直线和圆相切求出圆的方程，再利用平面向量共线和“相关点法”求 曲线 的方程； （2）利用两直线间的垂直关系设出直线方程，再联立直线和椭圆的方程，得到 关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系和三角形的面积公式得到表达式，再利用基本不 等式求其最值. 试题解析： （1）设动点，因为轴于 ，所以， 由题意得：， 所以圆的方程为. 由题意，所以， 所以，即 将代入圆，得动点 的轨迹方程. （2）由题意可设直线，设直线 与椭圆交于， 联立方程，得， ，解得， ， 又因为点 到直线 的距离， . （当且仅当，即时取到最大值） 面积的最大值为
