1、 20182018- -20192019 学年湖北省武汉市四校联合体高二（上）期末数学试卷（理科）学年湖北省武汉市四校联合体高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.设某高中的男生体重 （单位：）与身高 （单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样 本数据， 用最小二乘法建立的回归方程为， 则下 列结论中不正确的是（ ） A. 与 有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 C. 若该高中某男生身高增加，则其体重约增加 D. 若该高中某男生身高为，则可断定其体重必为 【答案】D 【解析】 【分析】
2、根据线性回归方程的意义，判断选项中的命题是否正确即可. 【详解】根据 与 的线性回归方程为可得，因此 与 有正的线 性相关关系， 故 A 正确； 回归直线过样本点的中心， B 正确； 该高中某男生身高增加， 预测其体重约增加，故 C 正确；若该高中某男生身高为，则预测其体重约为 ，故 D 错误. 故选 D 【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记线性回归方程的定义以及回归分析的相关概念即 可，属于基础题型. 2.命题“使得”的否定是（ ） A. 使得 B. ，使得 C. 使得 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】 根据含有一个量词的命题的否定，直接可写出结果. 【详解】命题“使得”的否定
3、是“，使得”. 故选 B 【点睛】本题主要考查特称命题的否定，只需改量词和结论即可，属于基础题型. 3.如图是一个边长为 4 的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随 机投掷 800 个点，其中落入黑色部分的有 453 个点，据此可估计黑色部分的面积约为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 计算正方形二维码的面积，利用面积比等于对应的点数比，即可求出黑色部分的面积. 【详解】因为边长为 4 的正方形二维码面积为，设图中黑色部分的面积为 ， 则，所以. 故选 C 【点睛】本题主要考查模拟方法估计概率，熟记模拟估计方法即可，属于基础
4、题型. 4.抛物线 y=4x 2的焦点坐标是（ ） A. （0，1） B. （1，0） C. D. 【答案】C 【解析】 抛物线标准方程为，开口向上，故焦点坐标为，故选 C. 5.已知，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由 与 的坐标，表示出与，再由向量共线的坐标表示即可求出结果. 【详解】因为，所以， ； 又， 所以，解得，因此. 故选 B 【点睛】本题主要考查由向量共线的问题，根据向量的坐标运算求解即可，属于基础题型. 6.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的 的值为（ ） A. 27 B. 56 C. 113 D. 226 【答案】C 【解析
5、】 【分析】 按照程序框图，逐步只需即可得出结果. 【详解】初始值为， 第一步：，进入循环； 第二步：，进入循环； 第三步：，进入循环； 第四步：，进入循环； 第五步：，结束循环，输出. 故选 C 【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题型. 7.若且，则实数 的值为（ ） A. 1 或 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 分别令和，即可结合题中条件，即可求出结果. 【详解】因为 令，则； 令则， 又，所以，即，因此， 解得或 . 故选 A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理即可求解，属于基础题型. 8.当双曲线的焦距取得最小值
6、时，其渐近线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由题意求出 范围，再表示出焦距，进而可得出结果. 【详解】因为表示双曲线，所以，解得； 又焦距为， 当且仅当时，取最小值， 此时双曲线方程为，因此渐近线的斜率为. 故选 B 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，熟记双曲线性质即可，属于基础题型. 9.下列说法中正确的是（ ） A. 若事件A与事件B是互斥事件，则 B. 若事件A与事件B满足条件：，则事件A与事件B是对立事件 C. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对 立事件 D. 把红、橙、黄 3 张纸牌随机分给甲、
7、乙、丙 3 人，每人分得 1 张，则事件“甲分得红牌” 与事件“乙分得红牌”是互斥事件 【答案】D 【解析】 【分析】 由互斥事件的概念可判断 A，D；根据对立事件的概念可判断 B，C. 【详解】不能同时发生的事件称为互斥事件，故 D 正确；互斥的两个事件的并事件不一定包 含所有情况，因此若事件A与事件B是互斥事件，则概率之和不一定等于 1，所有 A 错；交事 件为不可能事件，并事件为必然事件的两个事件互为对立事件；对于 B 选项，事件A与事件B 满足条件：，但A与B的交事件不一定为不可能事件，所有 B 错；C 中事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”都包含“有一次中靶”，交事件不是
8、不可能事件，所有 C 错. 故选 D 【点睛】本题主要考查互斥事件，熟记概念即可，属于基础题型. 10.设抛物线与椭圆相交于两点，若 为抛物线的焦点， 则的面积 为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由抛物线与椭圆方程联立，求出两点坐标，得出长度，进而可求出结果. 【详解】 由得， 解得(舍)或， 所以， 即， ，因此， 又 为抛物线的焦点，所以，所以. 故选 B 【点睛】本题主要考查圆锥曲线的性质，联立抛物线与椭圆方程，即可求解，属于基础题型. 11.空间四点共面， 但任意三点不共线， 若 为该平面外一点且， 则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】
9、A 【解析】 【分析】 根据空间中四点共面的充要条件，即可求出结果. 【详解】因为空间四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点 都有 ，所以，解得. 故选 A 【点睛】本题主要考查空间向量，熟记四点共面的充要条件，即可求出结果，属于常考题型. 12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第 一象限的交点为 ，是以为底边的等腰三角形若，椭圆与双曲线的离心 率分别为、，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先设椭圆与双曲线的方程为，再由题意求出 与 的关系，以及求出 的范围，进而可求出结果. 【详解】设椭圆与双曲线的标准方
10、程为， 因为是以为底边的等腰三角形， 所以，即， 再由三角形的两边之和大于第三边可得，即，所以有； 因此，由离心率公式可得， , 又因为，所以，因此； 令，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增，因此. 故选 B 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线离心率的问题，熟记椭圆与双曲线的性质即可，属于常 考题型. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.甲、乙两位同学的 5 次考试成绩如茎叶图所示，则成绩较稳定的那位学生成绩的方差为 _ 【答案】2 【解析】 【分析】 分别求出甲乙两位同学的方差，即可得出结果. 【详解】由茎叶图可得：甲的
11、平均成绩为， 所以方差为； 乙的平均成绩为， 所以方差为； 因此，所以甲稳定，方差为 2. 故答案为 2 【点睛】本题主要考查方差的计算，熟记公式即可，属于基础题型. 14.已知 为坐标原点， 椭圆上的点 到左焦点的距离为 4， 为的中点， 则 的值等于_ 【答案】3 【解析】 【分析】 连结，易得为三角形的中位线，进而可求出结果. 【详解】如图所示，连结，因为 为的中点，且 为坐标原点，所以， 由椭圆定义可得，又，所以，因此. 故答案为 3 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，熟记定义即可求解，属于常考题型. 15.甲、乙、丙 人站到共有 级的台阶上，若每级台阶最多站 人，同一级台阶上的人不区分
12、 站的位置，则不同的站法种数是_（用数字作答） 【答案】 【解析】 试题分析：对于 6 个台阶上每一个只站一人，有种；若有一个台阶有 2 人，另一个是 1 人，则共有种，所以不同的站法种数是种 考点：排列组合的应用 16.在棱长为 的正方体中， 是棱的中点， 是侧面内的动点，且 平面，则点 形成的轨迹的长度为_ 【答案】 【解析】 【分析】 取中点，连结，先由面面平行的判定定理证明平面 平面，进而即可求出结果. 【详解】如图所示，取中点，连结， 则有，又正方体中，所以；因为平面，平面， 所以平面； 又 是棱的中点，所以，因为平面，平面， 所以平面；又平面，平面且， 所以平面平面；因为平面，所以
13、 点轨迹为线段， 由题意易得. 故答案为 【点睛】本题主要考查立体几何的问题，熟记面面平行的判定即可求解，属于常考题型. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.已知命题；命题函数在区间上为减函数 （1）若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数 的取值集合； （2）若集合，是的充分不 必要条件，求实数 的取值范围 【答案】 （1）0，1 ； （2）1，+） 【解析】 【分析】 （1）根据命题“（p）q”为真命题，“（p）q”为假命题得到 p，q 命题真假性相 同，然后进行求解即可 （2）求出结合 A，B 的等价条件，结合充分条件和必
14、要条件的定义转化为集合的子集关系进 行求解即可 【详解】解： （1）若命题“”为真命题，“”为假命题， 则， 一个为真命题，一个为假命题， 即 ， 同时为真命题或同时为假命题， 若 ， 同时为真命题， 则当时，不等式等价为，不满足条件 当时，要使不等式恒成立，则，得，即； 若函数在区间上为减函数，则，即， 若 ， 同时为真命题，则，此时 无解 若 ， 同时为假命题，则，得 即实数 的取值范围是 （2）， ， 若是的充分不必要条件， 则 AB, 即或（舍） 即实数 的取值范围是 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的应用，根据条件 转化为集合关系是解决本题的关键 18
15、.我国是一个严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出某市政府为了节约生活用水，计划 在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准 ，使得的居民生活用水 不超过这个标准在本市居民中随机抽取的户家庭某年的月均用水量（单位：吨） ，通过 数据分析得到如图所示的频率分布直方图： （1）求的值，并估计全市所有家庭的月平均用水量； （2）如果我们称 为这组数据中分位数，那么这组数据中分位数是多少？ （3）在用水量位于区间的四类家庭中按照分层抽样的方法抽取人参加由政府组织的 一个听证会（每个家庭有 个代表参会） ，在听证会上又在这个人中任选两人发言，其中至 少有一人的家庭用水量超过两吨的概率是多少？
16、 【答案】 （1），；平均用水量约为； （2）； （3） . 【解析】 【分析】 （1）由频率分布直方图的性质能求出 a；由频率分布直方图得：区间在内的频率为 ，由此能求出 根据求平均数公式求得平均用水量. （2） 区间在的频率为， 区间在的频率为， 由此能求出这组数据中 分位数 （3）家庭用水量超过两吨的抽取 ，在听证会上又在这个人中任选两人发言，基本事件总 数， 其中至少有一人的家庭用水量超过两吨的对立事件是两人的家庭用水量都不 超过两吨，由此能求出其中至少有一人的家庭用水量超过两吨的概率 【详解】解： （1）由频率分布直方图得： ， 解得 由频率分布直方图得： 区间在内的频率为：， 计划
17、在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准 ， 使得的居民生活用水不超过这个标准， 全市所有家庭的月平均用水量约为 . （2）区间在的频率为：， 区间在的频率为， 这组数据中分位数是： （3）在用水量位于区间的四类家庭中按照分层抽样的方法 抽取人参加由政府组织的一个听证会（每个家庭有 个代表参会） ， 家庭用水量超过两吨的抽取：， 在听证会上又在这个人中任选两人发言， 基本事件总数， 其中至少有一人的家庭用水量超过两吨的对立事件是两人的家庭用水量都不超过两吨， 其中至少有一人的家庭用水量超过两吨的概率是： 【点睛】本题考查频率分布直方图、分层抽样，概率等基础知识，考查运算求解能力
18、，是基 础题 19.如图所示的三角形表，最早出现在我国南宋数学家杨辉在年所著的详解九章算术 一书中，我们称之为“杨辉三角”若等比数列的首项是 1，公比是，将杨辉三角 的第行的第 1 个数乘以，第 2 个数乘以，第个数乘以后，这一行的 所有数字之和记作 （1）求的值； （2）当时，求展开式中含x项的系数 【答案】 （1）266； （2）-768. 【解析】 【分析】 （1）由题意写出）计算公式，求出即可； （2）把代入的计算公式，利用二项式展开式的定义求展开式中含 的系 数 【详解】解： （1）由题意知，； （2）当时， ， 展开式中含x项的系数为 【点睛】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，
19、也考查了等比数列的应用问题，是中档 题 20.已知抛物线上不同的三点， 为抛物线的焦点，且成等差数 列，则当的垂真平分线与 轴交于点时，求 点的坐标 【答案】或 【解析】 【分析】 设出点，根据，成等差数列得出， 利用定义求出直线的斜率 ，再求出的中点，写出的垂直平分线方程，从而求得点 的 坐标 【详解】解：设点， 由|，|，|成等差数列，则， 即， 直线的斜率为， ； 设中点为， 则线段的垂直平分线方程为， 令，得， ，代入得， 则点 的坐标为或 【点睛】本题考查了抛物线的定义，也考查了等差数列的应用问题，属于常考题型 21. （本小题满分 13 分） 如图，圆柱 OO1内有一个三棱柱 AB
20、C-A1B1C1， 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 AB 是圆 O 的直径。 （）证明：平面 A1ACC1平面 B1BCC1； （）设 AB=AA1。在圆柱 OO1内随机选取一点，记该点取自于 三棱柱 ABC-A1B1C1内的概率为 P。 （i） 当点 C 在圆周上运动时，求 P 的最大值； 记平面 A1ACC1与平面 B1OC 所成的角为 （0 90） 。当 P 取最大值时，求 cos 的值。 【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的 体积几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结 合思想、化归与转化思想、必然
21、与或然思想。满分 13 分。 解法一 ： （I）平面，平面， 是圆 O 的直径， 又，平面 而平面， 所以平面平面。 （II） （i）设圆柱的底面半径为 r，则 故三棱柱的体积 又 当且仅当时等号成立。 从而， 而圆柱的体积， 故，当且仅当 ，即时等号成立。 所以，的最大值等于 （ii）由（i）可知，取最大值时， 于是，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图） ， 则， 平面，是平面的一个法向量 设平面的法向量， 取，得平面的一个法向量为 ， 解法二： （I）同解法一 （II） （i）设圆柱的底面半径为 r，则， 故三棱柱的体积 设， 则， 由于，当且仅当即时等号 成立，故 而圆柱的体积
22、， 故，当且仅当即时等号成立。 所以，的最大值等于 （ii）同解法一 解法三： （I）同解法一 （II） （i）设圆柱的底面半径，则，故圆柱的体积 因为，所以当取得最大值时，取得最大值。 又因为点 C 在圆周上运动，所以当时，的面积最大。进而，三棱柱 的体积最大，且其最大值为 故的最大值等于 （ii）同解法一 【解析】 22.已知椭圆C：的长轴长为 4，点在椭圆C上 （1）求椭圆 的方程； （2）设点，过点的直线 交椭圆 于两点，求证： 【答案】 （1）+=1； （2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）由题意可得，解得即可求出椭圆的方程， （2）设，设过点的直线方程为，代入椭圆方程 ，根据韦达定理和向量的运算可得到，即可证明 【详解】解： （1）由题意可得，解得， 椭圆 的方程为+=1， 证明： （2）设， 设过点的直线方程为，代入椭圆方程， 消 可得， ， ， ， 【点睛】本题考查了椭圆的方程以及直线和椭圆的位置关系，考查了韦达定理，向量的运算 等知识，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题
