1、 浙江省十校联盟浙江省十校联盟 2020 年年 10 月高三联考月高三联考 数学试题卷数学试题卷 一、选择题 1已知集合1,0,1,2,3U ，集合0,1,2P ，集合1,0Q ，则 UP Q（ ） A 3 B 1 C1,1,2,3 D1,0,3 2已知复数 2 1 i z i ，其中i为虚数单位，则z等于（ ） A 1 2 B2 C1 D2 3双曲线 2 2 1 3 y x的焦点坐标是（ ） A2,0，2,0 B 2,0， 2,0 C 0,2， 0,2 D0,2，0, 2 4已知数列 n a为等比数列，则“ 1 0a ，1q ”是“ n a为递减数列”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分
2、条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 已知ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知1b， 4 C ，ABC的面积2S ， 则ABC的外接圆的直径为（ ） A4 5 B5 C5 2 D6 2 6若实数x，y满足条件 0 1 1 x y xy ，则2xy的取值范围为（ ） A1,3 B1, C1, DR 7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积的最大值为（ ） A 1 2 B 3 2 C 5 2 D 10 2 8已知 1 1,0F ， 2 1,0F，M是第一象限内的点，且满足 12 4MFMF，若I是 12 MFF的内心， G是 12 MFF的重心，记 12
3、 IFF与 1 GFM的面积分别为 1 S， 2 S，则（ ） A 12 SS B 12 SS C 12 SS D 1 S与 2 S大小不确定 9已知R，函数 2 6cosf xxx，若存在实数a，使得函数yf xa为奇函数，则的 值可能为（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 10设 x为不超过x的最大整数，定义集合 * 1, ,N ij aaijn i j 的元素个数为有限集合 12 , n Aa aa的“容量” ，记为 L A，则使函数 f xx x ，,1xn n的值域A满足 1997L A 的正整数n的值为（ ） A1000 B1024 C2020 D2021 二、填空题 11化简：
4、 （1） 2 222 1 log 54log 54log 5 _； （2）若0a，0b， 533 523 ab ba _ 12已知多项式 55 432 43210 21xxa xa xa xa xa，则 0 a _； 2 a _ 13已知正四面体ABCD的棱长为 1，M为棱CD的中点，则二面角MABD的余弦值为_；平 面MAB截此正四面体的外接球所得截面的面积为_ 14在浙江省新高考选考科目报名中，甲、乙、丙、丁四位同学均已选择物理、化学作为选考科目，现要 从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有_种（用 数字作答） ；若每位同学选报这五门学科中的任意
5、一门是等可能的，则这四位同学恰好同时选报了其中的两 门课程的概率为_ 15 已知ABCD是边长为 3 的正方形， 其所在的平面内的点P，Q满足2PAPB，2QBQA， 则P QA D PQAD 的最小值为_ 16已知x，yR，22xy，则 33 1 1 8 xy 的最大值为_ 17已知函数 2 21f xxax，若存在 0 x R，使得 0 1 1 2 f x 及 0 1 1 2 f x 同时成立，则实 数a的取值范围为_ 三、解答题 18已知向量sin ,cosamxx，cos , cosbx nx， f xa b，且 f x的图像过点 33 , 124 和点 1 , 8 2 （）求m，n的
6、值及 f x的最小正周期； （）若将函数 yf x的图像向左平移 8 个单位长度，得到函数 yg x的图像，求 g x在 , 6 3 x 时的值域和单调递减区间 19 如图是一个正三棱柱ABCDEF和三棱锥PABC的组合体， 其中P平面BCFE，2ABAD， 2PBPC （）求证：/PA平面CDE； （）求直线PC与平面CDE所成角的正弦值 20已知数列 n a满足 1 2 3 a ， 121 2 2 n n a aa a ，2n， * Nn （） （i）证明：数列 1 1 n a 是等差数列； （ii）求数列 n a的通项公式； （）记 12 1 2 nn Ta aa， * Nn， 222
7、12nn STTT，证明：当 * Nn时， 1 22 35 nnn aSa 21已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左右两个焦点分别为 1 F， 2 F，以坐标原点为圆心，过 1 F， 2 F的 圆的内接正三角形的面积为3 3，以 2 F为焦点的抛物线 2 :20M ypx p的准线与椭圆C的一个公共 点为P，且 2 3 2PF （）求椭圆C和抛物线M的方程； （） 过 2 F作相互垂直的两条直线， 其中一条交椭圆C于A，B两点， 另一条交抛物线M于G，H两点， 求四边形AGBH面积的最小值 22已知函数 2 1lnf xxmx ，其中mR （）若 f x在1x 处的切线与圆
8、22 :210C xyx 相切，求m的值； （）若 1 11 1, x x f x xe ，求实数m的最大值 2021 届浙江十校届浙江十校 10 月联考全解析版月联考全解析版 一、选择题 DDDAC BBBCA 二、填空题 112，a 1233，90 14第（1）问：每个同学有 5 种选法，故 4 位学生共有 4 5625种 第（2）问：首先第一步，以这五门学科中选 2 科有 2 5 C种 第 2 步：间接法，4 名学生均选这 2 门，且 2 门均有，共有224 故所求概率为： 2 5 1428 625125 C P 15由阿氏圆知，P、Q均为圆，且半径均为 2，圆心分别为 1 F， 2 F
9、 122 PQPAFFFQ又 12 FFAD 12112212 coscos66PQ ADPF ADF Q ADPF ADF Q AD 显然题意中P、Q两点独立 1 1,1 2 cos1,1 12,12PQ AD ，本题应填：12 16构造奇偶函数 22xy 3 3 33 1 21 1 1 88 xy xy 令1x ，21y 33 33 1111 1 1 88 tt xyg t ，tR下求 g t最大值 显然 g t为偶函数，只需求0t 时， g t最大值 42 6 21 8 t g ttt g t在 0, 12在 12, max 12g tg对 g t整理： 2 12 3 3 332 2 2
10、362 236 12 1111 94 2 8888 t tt g t 故本题答案为： 94 2 8 17常规去绝对值处理 2 21f xxax， 0 1 1 2 f x 及 0 1 1 2 f x 即 22 0 22 0 1131 11211 2222 1131 11211 2222 f xxxax f xxxax 如下图所示： （即只需 1 21yxa在 2 2 3 1 2 yx 和 2 3 1 1 2 yx 之间） 根据对称性，只需求如图的 1 K值与 2 K值 如求 2 k如下： 23 1 2 yx ，22yx 的切点为 00 ,P x y 过P切线方程为： 000 22yyxxx 又
11、2 00 3 1 2 yx 把1,0B代入，且结合整理得： 2 00 1 20 2 xx 0 266 1 22 x （正值舍去） 10 6 2222 126 2 kax 同理：可求得 2 210Ka根据对称性知： 要满足题意有： 106610 , 2222 a 三、解答题 18解： （） 2 sin coscossin21 cos2 22 mn f xa bmxxnxxx 把 33 , 124 和 1 , 8 2 代入上式，得： 23 33 1 444 1 22 21 442 n m m n n m 21 sin 2 242 f xx f x的最小正周期为 （）由已知得 21 sin 2 82
12、22 g xfxx 21 cos2 22 x当, 6 3 x 时， g x的值域为 22 12 , 42 g x的单调递减区间为0, 3 19解： （）证明：由已知/AB DE，又在平面PBEFC内， 45PBCBCE，/PB CE显然，AB，PB 面PAB， ABPBB，DE，CE 平面CDE，DECEE， 平面/PAB平面CDE又PA平面PAB，/PA平面CDE （）设P在平面CDE内的射影为Q，连结CQ， 则PCQ就是PC与平面CDE所成的角， PQ等于B到平面CDE的距离，也是F到平面CDE的距离 取DE中点M，易证DE 平面CMF过F作FHCM于H， 则DEFH，FH 平面CDE易知
13、2CF ，3FM ， 2 3 7 FH 42 sin 7 PQFH PCQ PCPC （建系和等体积法也酌情给分） 20 （） （i）当2n时， 121 2 2 n n a aa a 12 1 2 2 n n a aa a 相除得 11 11 11 1 1 111 1 nn n nnn n aa a aaa a 1 11 12 11 nn n aa 又 1 2 3 a ，故 2 3 4 a ，故 21 11 1 11aa 也成立 * 1 11 1 11 nn nN aa 1 1 n a 为等差数列 （ii）由（i）得 * 11 2 12 n n n nanN an （） 12 11 22 nn
14、 Ta aa n 2 2 1111 2323 2 n T nnnn n 222 121 1112222 1 3333333 nnn n STTTa nnn 又 2 2 2 11111 13535 2 2 42222 n T n nnnnn 2222222212 1 5 52555252525 5 2 nn nn Sa nnnn n 21 （）圆O半径为c，故内接正三角形的面积为 2 3 33 32 4 cc 2 2 p ，即 2 :8Myx又 2 3 2PF ， 12 4FF ，故 2 2PF 12 24 22 2aPFPFa 222 4bac椭圆 22 :1 84 xy C （）由已知得直线
15、AB的斜率存在，记为k （i）当0k 时，4 2AB ，8GH ，故16 2 AGBH S 四边形 （ii）当0k 时，设:2AB yk x，代入 22 28xy， 得： 2222 128880kxk xk 422 2 2 22 644 1288 1 14 2 1212 kkk k ABk kk 此时， 1 :2GHyx k ，代入 2 8yx得： 22 8440 xkx 2 22 2 1 184168 1GHkk k 2 2 4 22 1 1 16 216 2 116 2 21212 AGBH k k SAB GH kk 四边形 综上，min16 2 AGBH S 四边形 22解： （）1m
16、或3m （）由题知： 2 1 11 1ln x xmx xe （*）在1,上恒成立 若0m，ln0 x ln0mx 22 11 1111 1ln1 xx xmxx xexe 令 2 1 11 1 x g xx xe ，1x 21 11 2 x gxx xe 1x 1 1 1 x e 2 1 210gxx x g x单调递增 10g xg 即当0m时， 2 1 11 1ln0 x xmx xe 在1,上恒成立 若0m，易知 1x ex ，又1x ，则 1 11 0 x xe 要使得（*）式成立，首先应有 2 1ln0f xxmx 在1,上恒成立 2 22 2 mm xx m fxx xx f x在0, 2 m 上单调递减， , 2 m 上单调递增又 10f1 2 m ，即02m 此时， 22 11 1111 1ln1 2ln xx xmxxx xexe 记 2 1 11 1 2ln x p xxx xe ，1x 2 3 212 1 221 211211231 220 x xxx xx p xxx xxexxxxx p x在1,上单调递增 10p xp恒成立 综上，m的最大值为 2
