1、 四川省内江市四川省内江市 20182018- -20192019 学年高二数学上学期期末检测试题学年高二数学上学期期末检测试题 理 （含解理 （含解 析）析） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.在空间直角坐标系中，点 A（1，-1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 1， 【答案】D 【解析】 【分析】 根据空间坐标的对称性进行求解即可 【详解】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数， 即点 A关于坐标原点对称的点的坐标为， 故选：D 【点睛】本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空
2、间坐标的对称性是解决本题的关键比 较基础 2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为 3：5：7，现用分层抽样的方法抽 出容量为 n 的样本，其中甲种产品有 18 件，则样本容量 n=（ ） A. 45 B. 54 C. 90 D. 126 【答案】C 【解析】 【分析】 由分层抽样的特点，用 A 种型号产品的样本数除以 A 种型号产品所占的比例，即得样本的容 量 n 【详解】解：A 种型号产品所占的比例为， ，故样本容量 n=90 故选：C 【点睛】本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比， 属于基础题 3.某高校调查了 200 名学生每周的自习时间
3、(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方 图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20)，20，22.5)，22.5， 25)，25，27.5)，27.5，30根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 A. 56 B. 60 C. 120 D. 140 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于 22.5 小时的频率，进而可得自习时 间不少于 22.5 小时的频数 【详解】根据频率分布直方图，200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的频率为(0.16 0.080.04)2.50.
4、7， 故 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数为 2000.7140. 故选：D 【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目 4.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A. 32 B. C. 48 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的表面积 【详解】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面边长为 4，高为 2 的正四棱锥， 所以该四棱锥的斜高为； 所以该四棱锥的侧面积为 4 42=16， 底面积为 44=16， 所以几何体的表面积为 16+16 故选：B 【点
5、睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目 5.右图的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,异面直线 A1B 与 B1C 所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 连接，由正方体的几何特征可得，则即为异面直线与所成的角，连 接，易得，为正三角形，故，异面直线与所成的 角是，故选 C. 【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及正方体的性质，属于中档题. 求异面直线 所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分 别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四 边形、三角形中位线等
6、方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 6.已知 a、b、c 是直线， 是平面，给出下列命题： 若 ab，bc 则 ac； 若 ab，bc 则 ac； 若 a，b ，则 ab； 若 a 与 b 异面，且 a 则 b 与 相交； 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 利用正方体的棱的位置关系即可得出； 若 ab，bc，利用“等角定理”可得 ac； 若 a，b ，利用线面平行的性质可得：a 与平面 内的直线可以平行或为异面直线； 由 a 与 b 异面，且 a，则 b 与 相交，平行或 b ，即可判断出 【详解】解：利用正方体的棱的
7、位置关系可得：a 与 c 可以平行、相交或为异面直线，故不 正确； 若 ab，bc，利用“等角定理”可得 ac，故正确； 若 a，b ，则 a 与平面 内的直线可以平行或为异面直线，不正确； a 与 b 异面，且 a，则 b 与 相交，平行或 b ，故不正确 综上可知：只有正确 故选：A 【点睛】熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键 7.直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设所求直线上任一点（x，y） ，关于 x=1 的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直 线方程 【详解】解：解法一（利
8、用相关点法）设所求直线上任一点（x，y） ，则它关于对称点为 在直线上，化简得故选答案 D 解法二：根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案 A 或 D，再 根据两直线交点在直线选答案 D 故选：D 【点睛】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法本题 还有点斜式、两点式等方法 8.已知直线 ，直线 ，其中 ，则直线 与 的 交点位于第一象限的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：的斜率小于斜率时，直线与的交点位于第一象限，此时共有六种： 因式概率为，选 A 考点：古典概型概率 【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）
9、列举法 （2） 树状图法： 适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求 对于基本事件有“有序”与“无 序”区别的题目，常采用树状图法 （3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题 目具体化 （4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目 9.若变量 x，y 满足，则 x 2+y2的最大值是（ ） A. 18 B. 20 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z=x 2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方， 利用数形结合进行求解即可 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设 z=x 2+y2，则
10、 z 的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方， 由图象知，C 点到原点的距离最大， 由得， 即 C（， ） ，此时 x 2+y2= ， 故选：C 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用两点间距离的几何意义，以及数形结合是解决 本题的关键 10.与圆和圆都相切的直线条数是（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 圆的圆心为(2,2),半径为 1,圆心是(2,5)， 半径为 4 故两圆相外切 与圆和都相切的直线共有 3 条。 故选：C. 11.如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别 是 AB、BC 的中点，将ADE，EBF， FCD 分别沿 DE
11、，EF，FD 折起，使得 A、B、C 三点重合于点 A，若四面体 AEFD 的四个顶 点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可 求球的表面积 【详解】解：由题意可知AEF 是等腰直角三角形，且 AD平面 AEF 三棱锥的底面 AEF 扩展为边长为 1 的正方形， 然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为： 球的半径为， 球的表面积为. 故选：B 【点睛】本题考查几何体的折叠问题，几何体的
12、外接球的半径的求法，考查球的表面积，考 查空间想象能力 12.已知圆 O：x 2+y2=1，直线 l：y=ax+2，在直线 l 上存在点 M，过点 M 作圆 O 的两条切线，切 点为 A、B，且四边形 OAMB 为正方形，则实数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，由正方形的性质可得|OM|=，分析可得 M 的轨迹为以 O 为圆心，为半径为圆， 其方程为 x 2+y2=2，进而可得若在直线 l 上存在点 M，则直线 l 与圆 x2+y2=2 有交点，则有 d=，解可得 a 的取值范围，即可得答案 【详解】解：根据题意，圆 O：x 2+y2=
13、1，圆心为 O（0，0） ，半径 r=1， 若过点 M 作圆 O 的两条切线，切点为 A、B，且四边形 OAMB 为正方形，则|OM|=， 则 M 的轨迹为以 O 为圆心，为半径为圆，其方程为 x 2+y2=2， 若在直线 l 上存在点 M，则直线 l 与圆 x 2+y2=2 有交点， 则有 d=， 解可得：a-1 或 a1， 即 a 的取值范围为（-，-11，+） ； 故选：B 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及与圆有关的轨迹问题，关键是分析 M 的轨迹， 属于基础题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.如图茎叶图记录了
14、甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知 甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为_，_ 【答案】 (1). 5 (2). 8 【解析】 【分析】 根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值 【详解】根据茎叶图中的数据，得： 甲组数据的中位数为 15，x5； 又乙组数据的平均数为 16.8， 16.8， 解得：y8； 综上，x、y的值分别为 5、8 故答案为：(1). 5 (2). 8 【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题 14.执行如图所示的程序框图若输人 x 的值为 3，则输出 y 的
15、值为_ 【答案】63 【解析】 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 y 的值，模拟程序 的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【详解】解：模拟程序的运行，可得 x=3 y=7 不满足条件|x-y|31，执行循环体，x=7，y=15 不满足条件|x-y|31，执行循环体，x=15，y=31 不满足条件|x-y|31，执行循环体，x=31，y=63 此时，满足条件|x-y|31，退出循环，输出 y 的值为 63 故答案为：63 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正 确的结论，是基础题 15.在平面直角
16、坐标系 xOy 中，以点（2，0）为圆心，且与直线 ax-y-4a-2=0（aR）相切的 所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_ 【答案】 （x-2） 2+y2=8 【解析】 【分析】 根据题意，将直线的方程变形，分析可得其恒过点（4，-2） ，结合直线与圆的位置关系可得 以点（2，0）为圆心，且与直线 ax-y-4a-2=0（aR）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径 为 CP，求出圆的半径，结合圆的标准方程分析可得答案 【详解】解：根据题意，直线 ax-y-4a-2=0，即 y+2=a（x-4） ，恒过定点（4，-2） ，设 P 为（4， -2） 设要求圆的半径为 r，其圆心 C 的坐标为（2
17、，0） ， 分析可得：以点（2，0）为圆心，且与直线 ax-y-4a-2=0（aR）相切的所有圆中，半径最大 为 CP， 此时 r 2=|CP|2=（4-2）2+（-2-0）2=8， 则要求圆的方程为（x-2） 2+y2=8， 故答案为： （x-2） 2+y2=8 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，注意分析直线所过的定点， 属于基础题 16.正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S-ABCD 的底面边长为 4，高 为 4，点 E、F、G 分别为 SD，CD，BC 的中点，动点 P 在正四棱锥的表面上运动，并且总保持 PG平面 AEF，则动点 P 的轨迹的周
18、长为_ 【答案】2+ 【解析】 【分析】 过 G 做一个平面与面 AEF 平行，且与正四棱锥的表面相交，交线之和即为动点 P 的轨迹的周 长 【详解】解：取 SB，AB 中点 H，P，连接 HG，PC，取 PB 中点 Q，连接 HQ，GQ， 因为 E、F 分别为 SD，CD 中点，所以 EFSC，SCHG，所以 HGEF，HG 不在面 AEF 内，所以 HG面 AEF 因为 QG 是中位线所以 QGPC，PCAF，所以 QGAF，因为 QG 不在面 AEF 内，所以 QG面 AEF，因为 HGQG=G，所以面 HQG面 AEF 动点 P 在正四棱锥的表面上运动，并且总保持 PG平面 AEF，则
19、动点 P 的轨迹的周长为HQG 的周长 正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 4，高为 4，所以 QG=，HG=，SP=2，HQ=，所以动点 P 的轨迹的周长为 2+ 【点睛】本题考查面面平行的位置关系，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.（1）求经过直线 3x+4y-2=0 与直线 x-y+4=0 的交点 P，且垂直于直线 x-2y-1=0 的直线方 程； （2）求过点 P（-1，3） ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 【答案】 （1）2x+y+2=0； （2）3x+y=0 或 x+y-2=0 【解析】 【分
20、析】 （1）联立直线方程求出点的坐标，再求出所求直线的斜率，代入直线方程点斜式得答案； （2）当直线过原点时，直线方程为 y=-3x；当直线不过原点时，设直线方程为 x+y=a，把点 的坐标代入求得 a，则直线方程可求 【详解】解： （1）联立，解得， 两直线的焦点坐标为（-2，2） ， 直线 x-2y-1=0 斜率为 ，则所求直线的斜率为-2 直线方程为 y-2=-2（x+2） ， 即 2x+y+2=0； （2）当直线过原点时，直线方程为 y=-3x； 当直线不过原点时，设直线方程为 x+y=a，则-1+3=a，即 a=2 是求直线方程为 x+y=2 所求直线方程为 3x+y=0 或 x+y
21、-2=0 【点睛】本题考查直线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题 18.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，已知 ACBC，BC=CC1，设 AB1的中点为 D，B1CBC1=E求 证： （1）DE平面 AA1C1C； （2）BC1平面 AB1C 【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）由正方形性质得 E 为 B1C 的中点，从而 DEAC，由此能证明 DE平面 AA1C1C （2）由线面垂直得 ACCC1，由 ACBC，得 AC平面 BCC1B1，由此能证明 BC1平面 AB1C 【详解】证明： （1）因为四边形 BB1C1C 为正方形，
22、B1CBC1=E，所以 E 为 B1C 的中点， 又 D 为 AB1的中点，因此 DEAC 又因为 DE平面 AA1C1C，AC 平面 AA1C1C， 所以 DE平面 AA1C1C （2）因为棱柱 ABC-A1B1C1是直三棱柱，AA1底面 ABC 所以 CC1平面 ABC因为 AC 平面 ABC，所以 ACCC1 又因为 ACBC，CC1 平面 BCC1B1，BC 平面 BCC1B1，BCCC1=C， 所以 AC平面 BCC1B1又因为 BC1 平面 BCC1B1，所以 B1CAC 因为 BC=CC1，所以矩形 BCC1B1是正方形，因此 BC1B1C 因为 AC，B1C 平面 B1AC，A
23、CB1C=C，所以 BC1平面 AB1C 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题， 注意空间思维能力的培养 19.已知一圆经过点，,且它的圆心在直线上. （I）求此圆的方程； （II）若点 为所求圆上任意一点，且点,求线段的中点的轨迹方程. 【答案】 （1） （x2） 2+（y4）2=10 （2） （x ）2+（y2）2= 【解析】 试题分析： （1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参 数值，从而确定其方程； （2）首先设出点 M 的坐标，利用中点得到点 D 坐标，代入圆的方程 整理化简得到的中点 M 的轨迹方程 试题解析
24、： （）由已知可设圆心 N（a，3a2） ，又由已知得|NA|=|NB|， 从而有 ，解得：a=2 于是圆 N 的圆心 N（2，4） ，半径 所以，圆 N 的方程为（x2） 2+（y4）2=10 （6 分） （2）设 M（x，y） ，D（x1，y1） ，则由 C（3，0）及 M 为线段 CD 的中点得：，解得： 又点 D 在圆 N： （x2） 2+（y4）2=10 上，所以有（2x32）2+（2y4） 2=10，化简得： 故所求的轨迹方程为 考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系 20.某地区 2012 年至 2018 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表： 年份 2012 201
25、3 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收 入 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求 y 关于 t 的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析 2012 年至 2018 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变 化情况，并预测该地区 2020 年农村居民家庭人均纯收入 附：参考公式： =， = = 【答案】 （1） =0.5x+2.3； （2）预测该地区 2020 年农村居民家庭人均纯收入为 6.3 千元. 【解析】 【分析】 （1）根据公式计算可得： =0.5x+2.3 （2）t=8 代入计算可得
26、【详解】解： （1） =4， =4.3， =0.5， = - =4.3-0.54=2.3， y 关于 t 的线性回归方程为： =0.5x+2.3 （2）2012 年至 2018 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐步提高，翻了一番 当 t=8 时，y=0.58+2.3=6.3 千元 预测该地区 2020 年农村居民家庭人均纯收入为 6.3 千元 【点睛】本题考查了线性回归方程，属于基础题 21.如图：高为 1 的等腰梯形 ABCD 中，AM=CD=1，AB=3，现将AMD 沿 MD 折起，使平面 AMD 平面 MBCD，连接 AB、AC （1）在 AB 边上是否存在点 P，使 AD平面 MPC？
27、（2）当点 P 为 AB 边中点时，求点 B 到平面 MPC 的距离 【答案】 （1）在 AB 边上存在点 P，满足 PB=2PA，使 AD平面 MPC； （2） 【解析】 【分析】 （1）在 AB 边上存在点 P，满足 PB=2PA，使 AD平面 MPC，证明 ADOP，即可证明 AD平面 MPC, （2）当点 P 为 AB 边中点时，利用等体积方法，即可求点 B 到平面 MPC 的距离 【详解】解： （1）在 AB 边上存在点 P，满足 PB=2PA，使 AD平面 MPC 连接 BD，交 MC 于 O，连接 OP，则由题意，DC=1，MB=2， 又DCMB，MOBCOD， OB：OD=MB
28、：DC，OB=2OD， PB=2PA， OPAD， AD平面 MPC，OP 平面 MPC， AD平面 MPC； （2）由题意，AMMD，平面 AMD平面 MBCD，AM平面 MBCD， P 到平面 MBC 的距离为 ， MBC 中，MC=BC=，MB=2，MCBC， SMBC= =1， MPC 中，MP=CP，MC=， SMPC= = 设点 B 到平面 MPC 的距离为 h， 则由等体积可得， h= 【点睛】本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是 中档题 22.已知圆 O：x 2
29、+y2=2，直线l：y=kx-2 （1）若直线 l 与圆 O 相切，求 k 的值； （2）若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A，B，当AOB 为锐角时，求 k 的取值范围； （3）若，P 是直线 l 上的动点，过 P 作圆 O 的两条切线 PC，PD，切点为 C，D，探究：直 线 CD 是否过定点 【答案】 （1）k=1； （2） （-）（1，） ； （3）直线 CD 过定点（） 【解析】 【分析】 （1）由直线 l 与圆 O 相切，得圆心 O（0，0）到直线 l 的距离等于半径 r=，由此能求出 k （2）设 A，B 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，将直线 l：y=kx
30、-2 代入 x 2+y2=2，得（1+k2） x 2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出 k 的取值范围 （3）由题意知 O，P，C，D 四点共圆且在以 OP 为直径的圆上，设 P（t，） ，其方程为 ，C，D 在圆 O：x 2+y2=2 上，求出直线 CD： （x+ ）t-2y-2=0，联立方程 组能求出直线 CD 过定点（） 【详解】解： （1）圆 O：x 2+y2=2，直线 l：y=kx-2直线 l 与圆 O 相切， 圆心 O（0，0）到直线 l 的距离等于半径 r=， 即 d=， 解得 k=1 （2）设 A，B 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，
31、 将直线 l：y=kx-2 代入 x 2+y2=2，整理，得（1+k2）x2-4kx+2=0， ， =（-4k） 2-8（1+k2）0，即 k21， 当AOB 为锐角时， =x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2） （kx2-2） = =0， 解得 k 23， 又 k 21，- 或 1k 故 k 的取值范围为（-）（1，） （3）由题意知 O，P，C，D 四点共圆且在以 OP 为直径的圆上， 设 P（t，） ，其方程为 x（x-t）+y（y）=0， ， 又 C，D 在圆 O：x 2+y2=2 上， 两圆作差得 lCD：tx+，即（x+ ）t-2y-2=0， 由，得， 直线 CD 过定点（） 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论 证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题
