1、 20172017 年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试 高一数学试卷高一数学试卷 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. . 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为全集，所以 ，故选 C. 2. 下列各组函数中两个函数相等的是（ ） ，； ，； ，； ， . A. B. C. D. 【答案
2、】D 【解析】组的两个函数定义域不同，故排除选项，组中的函数化简即为,定义域、 值域都相等，故正确，组两个函数是同一个函数的不同形式，所以两个函数相等，故选 D 3. 若函数的定义域为，值域为，则的图像可能 是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由图象知，选项中定义域不是，排除，选项 中，出现一个 对 应三个 ，所以不是函数，故排除 ，故选 B. 4. 已知函数，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】因为，,故选 B. 【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题. 对于分段函数 解析式的考查是命题的动向之一，这类
3、问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这 类题一定要层次清出，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值. 5. 下列四个函数中，具有性质“对任意的实数，函数满足”的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】对于 ,； 对于 ， ； 对于 ,； 对于 ，故选 A. 6. 某天早上，小明骑车上学，出发时感到时间较紧，然后加速前进，后来发现时间还比较充裕， 于是放慢了速度，与以上事件吻合得最好的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为选项 第一段都是匀速前进，不合题意，故排除选项，首先加速前进，然后放 慢速度，说明图象上升的速度先快
4、后慢，故选 C. 7. 设是函数的零点，且，则 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B . 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为， 所以 ，故选 A. 【 方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 解 答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ） ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综 合应用. 9. 已知函数（其中 是圆周率，） ，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数，且 B. 是奇函数，且 C. 是偶函数，且
5、 D. 是奇函数，且 【答案】B 【解析】， 故函数是奇函数； 又是减函数， 则 是增函数，所以是增函数， 故，选 B. 10. 已知函数在区间上的最大值为 3， 最小值为 2， 则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】,说明在顶点处取得最小值，故；又，得 或 ，故，所以，实数 的取值范围是，故选 A. 11. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万 元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（ ） （参考数据：，） A. 2018 年
6、 B. 2019 年 C. 2020 年 D. 2021 年 【答案】B 【解析】设 年开始超过万元，则，化为 ， ，因此开始超过万元的年份是 年，故选 B. 12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、 牛顿并列为世界三大数学家， 用其名字命名的“高斯函数”为： 设， 用表示不超过 的最大整数， 则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，为奇函数，函数化简得 出：， ，当时，当时， 当时，函数的值域为，故选 D. 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题
7、5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 函数的图像恒过定点 ，且点 在幂函数的图像上，则_ 【答案】9 【解析】当，即时，点定点 的坐标是，幂函数图象 过点，解得，幂函数为，则，故答案为 . 14. 已知函数是定义在 上的奇函数，当时，则_ 【答案】1 【解析】当时，又函数是定义在 上的奇函数，故答案为 . 15. 定义在 上的偶函数满足：对任意的（） ，有，且 ，则不等式的解集是_ 【答案】 【解析】 因为对任意的（） ， 有， 所以在区间上， 是减函数，又是偶函数，则在区间上， 是增函数，由，则或 ，又，所以或或，故解集是，故 答案为.
8、 16. 某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第 82 页第 8 题的函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下： 同学甲发现：函数的定义域为； 同学乙发现：函数是偶函数； 同学丙发现：对于任意的都有； 同学丁发现：对于任意的，都有； 同学戊发现：对于函数定义域中任意的两个不同实数，总满足. 其中所有正确研究成果的序号是_ 【答案】 【解析】，故正确； ，奇函数，故错误； 对于任意的， ，故 正确；对于任意的，有，而 ，故正确；对于函数定义域 中任意的两个不同实数，总满足，即说明是 增函数，但是减函数，故错误，综上 正确，故答案为. 【
9、方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的定义域、单调性、函数 的奇偶性以及对数式的运算，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为 某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中 的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 计算： （1）； （2）已知，求的值. 【答案】 （1）； （
10、2）. 【解析】试题分析： （1）直接利用幂指数的运算法则以及对数的运算法则求解即可，化简过程中 注意避免出现计算错误； （2）先将平方后化简，可得的值，再将平方后化简， 可得的值，分别代入化简即可的结果. 试题解析： （1）原式= （2）由已知可得： 原式= 18. 已知集合，. （1）求集合 ； （2）若，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）； （2）. 【解析】试题分析： （1）利用指数函数的单调性解不等式即可求出集合 ； （2）先对集合 分 与两种情况讨论，再利用列出关于 的不等式组求解即可求出实数 的取值范围. 试题解析： （1）由已知：，. （2）若时符合题意； 若时有， 即；
11、综上可得：的取值范围为. 19. 已知函数. （1）用定义证明函数在 上是增函数； （2）探究是否存在实数 ，使得函数为奇函数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，解不等式. 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）. 【解析】试题分析： （1）任取 ，作差、化简利用指数函数的单调性可得 ，从而 可得结论； （2）利用 ，根据指数幂的运算法则化简可得 ，从而可 求得 的值； （3）利用函数的奇偶性化简原不等式可得，利用函数的单调性 化简可得，解不等式即可的结果. 试题解析： （1）任取且， 则 在 R 上是增函数，且， ，即函数在上是增函数. （2）是奇
12、函数，则， 即 ，故. 当时，是奇函数. （3）在（2）的条件下，是奇函数，则由可得： ， 又在上是增函数，则得，. 故原不等式的解集为：. 【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的 单调性的一般步骤是： （1）在已知区间上任取； （2）作差； （3）判断的符号， 可得在已知区间上是增函数， 可得 在已知区间上是减函数. 20. 已知函数. （1）证明：函数是偶函数； （2）记，求的值； （3）若实数满足，求证：. 【答案】 （1）见解析； （2）2017； （3）见解析. 【解析】试题分析： （1）根据奇偶性的定义化简 ，可得 ，从而可得结论；
13、（2）先 证明,则可得,从而可得结果； （3） 用综合法证明，可得 ,化简后结合放缩法可得结论. 试题解析： （1）对任意实数，有， 故函数是偶函数. （2）当时， =2017 （3）由 . 21. 某种新产品投放市场的 100 天中，前 40 天价格呈直线上升，而后 60 天其价格呈直线下降， 现统计出其中 4 天的价格如下表： 时间 第 4 天 第 32 天 第 60 天 第 90 天 价格（千元） 23 30 22 7 （1）写出价格关于时间 的函数关系式； （ 表示投放市场的第 （）天） （2）若销售量与时间 的函数关系：（，） ，则该产品投放市场 第几天销售额最高？最高为多少千元？
14、【答案】 （1）； （2）销售额最高在第 10 天或第 11 天，最高销售 额为 808.5 千元. 【解析】试题分析： （1）直线上升或直线下降都是直线方程，利用直线方程两点式求出两段函数 的解析式； （2）价格乘以销售量等于销售额，销售额是二次函数，利用二次函数的对称轴求出最大值. 试题解析： （1）由题意，设 同样设 (2) 设该产品的日销售额为 此时当 此时 综上，销售额最高在第 10 天和第 11 天，最高销售额为 808.5（千元） 考点：函数应用问题. 【方法点晴】对函数应用问题的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题 为主要形式出现.对一次函数、二次函数模型的
15、考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数 或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数.应用问题首要问 题是阅读问题，将实际问题转化为函数问题来求最优解. 22. 已知函数是定义在 上的偶函数，当时，. （1）直接写出函数的增区间（不需要证明） ； （2）求出函数，的解析式； （3）若函数，求函数的最小值. 【答案】（1） 增区间为；（2）；（3）. 【解析】试题分析： （1）根据奇偶性，结合函数简图可得函数的增区间； （2）因为， 所以根据函数是定义在 上的偶函数，, 且当时, 时函数的解析 式，综合可得函数的解析式； （3）根据（1）可得函数的解析
16、式，结合二次函数的图象和性质， 对 进行分类讨论，进而可得函数的最小值的表达式. 试题解析： （1）的增区间为 . （2）设，则， 由已知，当时，故函数的解析式为： . （3）由（2）可得：，对称轴为：， 当时，此时函数在区间上单调递增，故的最小值为 ， 当时，此时函数在对称轴处取得最小值，故的最小 值为， 当时，此时函数在区间上单调递减，故的最小值为 . 综上：所求最小值为 . 【方法点睛】 本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及二次函数在闭区间上的最值， 属于难题. 二 次函数 在区间上的最小值的讨论方法：(1) 当时， (2) 当时， (3) 时，.本题讨论的最小值时就是按这种思路进行的.
