1、 2016-2017 学年湖北省宜昌一中高一（上）期中数学试卷学年湖北省宜昌一中高一（上）期中数学试卷 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的.） 1函数 y=的定义域是（ ） A （1，2 B （1，2） C （2，+） D （，2） 2函数 y=的定义域是（，1）2，5） ，则其值域是（ ） A （，0）（，2 B （，2 C （，）2，+） D （0，+） 3下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是（
2、 ） Ay=x+1 By=x3 Cy= Dy=x|x| 4已知函数 f（x）=，则 f（f（） ）=（ ） A B C D 5已知 a=，b=20.3，c=0.30.2，则 a，b，c 三者的大小关系是（ ） Abca Bbac Cabc Dcba 6已知 f（x）=log（x22x）的单调递增区间是（ ） A （1，+） B （2，+） C （，0） D （，1） 7关于 x 的方程 3x=a2+2a 在（，1上有解，则实数 a 的取值范围是（ ） A2，1）（0，1 B3，2）0，1 C3，2）（0，1 D 2， 1） 0，1 8函数 f（x）对任意正整数 m、n 满足条件 f（m+n）=
3、f（m）f（n） ，且 f（1）=2，则 =（ ） A4032 B2016 C1008 D21008 9f（x）=3x+3x8，且 f（1）0，f（1.5）0，f（1.25）0，f（2）0，则函数 f（x）的零 点落在区间（ ） A （1，1.25） B （1.25，1.5） C （1.5，2） D不能确定 10已知函数 f（x）=，函数 g（x）=f（x）k 有 3 个零点，则实数 k 的取值范围 为（ ） A （0，+） B1，+） C （0，2） D （1，2 11若不等式 3x2logax0 对任意恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A B C D 12已知函数 y=f（x）和 y
4、=g（x）在2，2上的图象如图所示给出下列四个命题： 方程 fg（x）=0 有且仅有 6 个根； 方程 gf（x）=0 有且仅有 3 个根； 方程 ff（x）=0 有且仅有 5 个根； 方程 gg（x）=0 有且仅有 4 个根 其中正确的命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13集合 A=a2，2a2+5a，12且3A，则 a= 14若 xlog23=1，则 3x +9 x 的值为 15函数 y=的图象与其反函数图象重合，则 a= 16函数 f（x）=x的函数值表示不超过 x
5、的最大整数，例如，3.5=4，2.1=2当 x（ 2.5，3时，f（x）的值域是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 道小题，共道小题，共 70 分， ）分， ） 17计算： （1） （0.027）0.5+810.25（32） 0.02（）2； （2）lg25+lg8+lg5lg20+lg22 18 已知函数f （x） =log2的定义域为集合A， 关于x的不等式2a2ax的解集为B， 若AB=A， 求实数 a 的取值范围 19首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某单位在国 家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工
6、产品已 知该单位每月的处理量最少为 300 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y（元）与月处理量 x（吨）之间的 函数关系可近似地表示为， 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值 为 200 元 （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元 才能使该单位不亏损？ 20已知函数，且，f（0）=0 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求函数 f（x）的值域； （3）求证：方程 f（x）=lnx 至少有一根在区间（1，3） 21已知函数 f（x）=ax2+2x2a（a0） ， （1
7、）若 a=1，求函数的零点； （2）若函数在区间（0，1上恰有一个零点，求 a 的取值范围 22已知 f（x）是定义在1，1上的奇函数，且 f（1）=1，若 m，n1，1，m+n0 时， 有0 （）证明 f（x）在1，1上是增函数； （）解不等式 f（x21）+f（33x）0 （）若 f（x）t22at+1 对 x1，1，a1，1恒成立，求实数 t 的取值范围 2016-2017 学年湖北省宜学年湖北省宜昌一中高一（上）期中数学试卷昌一中高一（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共
8、分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的.） 1函数 y=的定义域是（ ） A （1，2 B （1，2） C （2，+） D （，2） 【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域 【分析】由函数的解析式知，令真数 x10，根据，得出 x2，又在分母上不等 于 0，即 x2 最后取交集，解出函数的定义域 【解答】解：log2（x1） ，x10，x1 根据，得出 x2，又在分母上不等于 0，即 x2 函数 y= 的定义域是（1，2） 故选 B 2函数 y=的定义域是（，1）2，5） ，则其值域是（ ） A （，0
9、）（，2 B （，2 C （，）2，+） D （0，+） 【考点】函数的值域 【分析】 先利用 x （， 1） 2， 5） ， 求出 x1 的取值范围， 再取倒数即可 求出函数 y= 的值域 【解答】解：x（，1）2，5） ， 则 x1（，0）1，4） （，0）（，2故函数 y=的值域为（，0）（，2 故选 A 3下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是（ ） Ay=x+1 By=x3 Cy= Dy=x|x| 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【分析】根据奇函数图象的特点，减函数的定义，反比例函数在定义域上的单调性，奇函数的定 义，二次函数的单调性便可判断每个选项的正
10、误，从而找到正确选项 【解答】解：A根据 y=x+1 的图象知该函数不是奇函数，该选项错误； Bx 增大时，x3减小，即 y 减小，y=x3为减函数，该选项错误； C.在定义域上没有单调性，该选项错误； Dy=x|x|为奇函数，； y=x2在0，+）上单调递增，y=x2在（，0）上单调递增，且 y=x2与 y=x2在 x=0 处都 为 0； y=x|x|在定义域 R 上是增函数，即该选项正确 故选：D 4已知函数 f（x）=，则 f（f（） ）=（ ） A B C D 【考点】函数的值 【分析】首先求出的函数值，然后判断此函数值所在范围，继续求其函数值 【解答】解：因为0，所以 f（）=2，又
11、20，所以 f（2）=22=； 故选：B 5已知 a=，b=20.3，c=0.30.2，则 a，b，c 三者的大小关系是（ ） Abca Bbac Cabc Dcba 【考点】不等关系与不等式 【分析】利用指数函数的单调性即可判断出 【解答】解：， bca 故选 A 6已知 f（x）=log（x22x）的单调递增区间是（ ） A （1，+） B （2，+） C （，0） D （，1） 【考点】复合函数的单调性 【分析】令 t=x22x0，求得函数的定义域，且 f（x）=g（t）=log t，根据复合函数的单调性， 本题即求函数 t=x22x 在定义域内的减区间，利用二次函数的性质可得函数 t=
12、x22x 在定义域内的减 区间 【解答】解：令 t=x22x0，求得 x0，或 x2，故函数的定义域为（，0）（2，+） ， 且 f（x）=log（x22x）=g（t）=logt 根据复合函数的单调性，本题即求函数 t=x22x 在定义域内的减区间 再利用二次函数的性质可得函数 t=x22x 在定义域内的减区间为（，0） ， 故选：C 7关于 x 的方程 3x=a2+2a 在（，1上有解，则实数 a 的取值范围是（ ） A2，1）（0，1 B3，2）0，1 C3，2）（0，1 D 2， 1） 0，1 【考点】根的存在性及根的个数判断 【分析】若关于 x 的方程 3x=a2+2a 在（，1上有解
13、，则 a2+2a 属于函数 y=3x，x（，1 的值域，进而可得实数 a 的取值范围 【解答】解：当 x（，1时，y=3x（0，3， 若关于 x 的方程 3x=a2+2a 在（，1上有解， 则 a2+2a（0，3， 解得 a3，2）（0，1， 故选：C 8函数 f（x）对任意正整数 m、n 满足条件 f（m+n）=f（m）f（n） ，且 f（1）=2，则 =（ ） A4032 B2016 C1008 D21008 【考点】抽象函数及其应用 【分析】 令 n=1 代入条件得 f （m+1） =f （m） f （1） ， 进而得出， 再分别令 m=1， 3， 5， ， 2015 即可求出原式结果
14、【解答】解析：f（x）对任意正整数 m、n 满足条件 f（m+n）=f（m）f（n） ， 令 n=1，可得 f（m+1）=f（m）f（1） ， 而 f（1）=2，所以， 因此，分别取 m=1，3，5，2015（共 1008 项）得， =2， 所以，原式=2 =2016， 故答案为：B 9f（x）=3x+3x8，且 f（1）0，f（1.5）0，f（1.25）0，f（2）0，则函数 f（x）的零 点落在区间（ ） A （1，1.25） B （1.25，1.5） C （1.5，2） D不能确定 【考点】函数零点的判定定理 【分析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论 【解答】解：f（x）=3x+3x
15、8，单调递增， 由条件对应的函数值的符号可知，在 f（1.5）f（1.25）0， 则在区间（1.25，1.5）内函数存在一个零点， 故选：B 10已知函数 f（x）=，函数 g（x）=f（x）k 有 3 个零点，则实数 k 的取值范围 为（ ） A （0，+） B1，+） C （0，2） D （1，2 【考点】函数零点的判定定理 【分析】函数 g（x）=f（x）k 有 3 个零点可化为函数 f（x）与 y=k 有 3 个不同的交点，从而作 图，结合图象求解即可 【解答】解：函数 g（x）=f（x）k 有 3 个零点， 方程 f（x）=k 有且只有 3 个解， 函数 f（x）与 y=k 有 3
16、个不同的交点， 作函数 f（x）=与 y=k 的图象如下， ， 结合图象可知， 1k2， 故选 D 11若不等式 3x2logax0 对任意恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A B C D 【考点】函数恒成立问题 【分析】构造函数 f（x）=3x2，g（x）=logaxh（x）=f（x）+g（x） （0 x） ，根据不等式 3x2logax0 对任意恒成立，可得 f（）g（） ，从而可得 0a1 且 a，即可 求出实数 a 的取值范围 【解答】解：构造函数 f（x）=3x2，g（x）=logax， （0 x） 不等式 3x2logax0 对任意 恒成立， f（）g（） 3loga0 0a
17、1 且 a， 实数 a 的取值范围为，1） 故选：A 12已知函数 y=f（x）和 y=g（x）在2，2上的图象如图所示给出下列四个命题： 方程 fg（x）=0 有且仅有 6 个根； 方程 gf（x）=0 有且仅有 3 个根； 方程 ff（x）=0 有且仅有 5 个根； 方程 gg（x）=0 有且仅有 4 个根 其中正确的命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】函数的图象；复合函数的单调性；函数的值；根的存在性及根的个数判断 【分析】把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与 之相对应 【解答】解：在 y 为2，1时，g（x）有两个自变量满足，在
18、y=0，y 为1，2时，g（x） 同样都是两个自变量满足 正确 f（x）值域在1，2上都是一一对应，而在值域0，1上都对应 3 个原像， 错误 同理可知正确 故选 C 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13集合 A=a2，2a2+5a，12且3A，则 a= 【考点】元素与集合关系的判断 【分析】利用3A，求出 a 的值，推出结果即可 【解答】解：集合 A=a2，2a2+5a，12且3A， 所以 a2=3，或 2a2+5a=3， 解得 a=1 或 a=， 当 a=1 时 a2=2a2+5a=3， 所以 a= 故答案为：
19、 14若 xlog23=1，则 3x +9 x 的值为 6 【考点】对数的运算性质 【分析】xlog23=1，可得 x=log32再利用对数恒等式与指数幂的运算性质即可得出 【解答】解：xlog23=1， x=log32 3x=2， 9x=（3x）2=4 则 3x+9x=2+4=6 故答案为：6 15函数 y=的图象与其反函数图象重合，则 a= 3 【考点】反函数 【分析】由 y=，解得 x=，可得反函数，利用函数 y= 的图象与其反函数图象 重合，即为同一个函数即可得出 【解答】解：由 y=，解得 x=，把 x 与 y 互换可得：y= ， 函数 y=的图象与其反函数图象重合， a=3 故答案
20、为：3 16函数 f（x）=x的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如，3.5=4，2.1=2当 x（ 2.5，3时，f（x）的值域是 3，2，1，0，1，2，3 【考点】函数的值域 【分析】由题意，函数 f（x）=x的函数值表示不超过 x 的最大整数，这个整数必须是小于等于 x 的最大整数，对 x 进行分段讨论即可 【解答】解：函数 f（x）=x的函数值表示不超过 x 的最大整数， 当 x（2.5，3时，对其分段： 当2.5x2 时，f（x）=3； 当2x1 时，f（x）=2；当1x0 时，f（x）=1；当1x0 时，f（x）=0； 当 1x2 时，f（x）=1；当 2x3 时，f（x）=2
21、；当 x=3 时，f（x）=3； 综上可得：当 x（2.5，3时，f（x）的值域是3，2，1，0，1，2，3 故答案为：3，2，1，0，1，2，3 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 道小题，共道小题，共 70 分， ）分， ） 17计算： （1） （0.027）0.5+810.25（32） 0.02（）2； （2）lg25+lg8+lg5lg20+lg22 【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【分析】 （1）利用指数幂的运算性质即可得出 （2）利用对数的运算性质及其 lg5+lg2=1 即可得出 【解答】解： （1）原式 =+ =+= （2）原式=lg25+lg
22、5（1+lg2）+lg22 =lg（254）+lg5+lg2（lg5+lg2） =2+lg5+lg2 =3 18 已知函数f （x） =log2的定义域为集合A， 关于x的不等式2a2ax的解集为B， 若AB=A， 求实数 a 的取值范围 【考点】对数函数的图象与性质；集合的包含关系判断及应用 【分析】由题设知 A=x|1x2，B=x|x2a由 A B，即 22a由此能求出实数 a 的 取值范围 【解答】解：要使 f（x）=log2有意义，则0，解得 1x2， 即 A=x|1x2 由 2a2ax，解得 x2a， 即 B=x|x2a A B 即 22a， 解得 a1 故实数 a 的取值范围是a|
23、a1 19首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某单位在国 家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已 知该单位每月的处理量最少为 300 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y（元）与月处理量 x（吨）之间的 函数关系可近似地表示为， 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值 为 200 元 （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元 才能使该单位不亏损？ 【考点】函数模型的选择与应用 【分析】 （1）
24、由题意月处理成本 y （元） 与月处理量 x （吨） 之间的函数关系可近似的表示为： y=x2 200 x+45000，两边同时除以 x，然后利用基本不等式从而求出最值； （2）设该单位每月获利为 S，则 S=200 xy，把 y 值代入进行化简，然后运用配方法进行求解 【解答】解： （1）由题意可知，月处理成本 y（元）与月处理量 x（吨）之间的函数关系可近似地 表示为， 二氧化碳每吨的平均处理成本为， 当且仅当x=，即 x=300 时等号成立， 故该单位月处理量为 300 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 100 元 （2）该单位每月能获利 设该单位每月获利为 S 元，则 S
25、=200 xy=x2+400 x45000=（x400）2+35 000， 因为 x300，600，所以 S15 000，35 000 故该单位每月获利，最大利润为 35000 元 20已知函数，且，f（0）=0 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求函数 f（x）的值域； （3）求证：方程 f（x）=lnx 至少有一根在区间（1，3） 【考点】函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断 【分析】 （1）根据 f（1）和 f（0）列方程，求出 a，b； （2）由 y=，分离 2x= 0，求得值域； （3）构造函数 g（x）=f（x）lnx，运用函数零点存在定理，确定函数在（1，3
26、）存在零点 【解答】解： （1）由已知可得， 解得，a=1，b=1，所以，； （2）y=f（x）=，分离 2x得，2x=， 由 2x0，解得 y（1，1） ， 所以，函数 f（x）的值域为（1，1） ； （3）令 g（x）=f（x）lnx=lnx，因为， g（1）=f（1）ln1=0， g（3）=f（3）ln3=ln30， 根据零点存在定理，函数 g（x）至少有一零点在区间（1，3） ， 因此，方程 f（x）lnx=0 至少有一根在区间（1，3）上 21已知函数 f（x）=ax2+2x2a（a0） ， （1）若 a=1，求函数的零点； （2）若函数在区间（0，1上恰有一个零点，求 a 的取值范
27、围 【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质；函数零点的判定定理 【分析】 （1）利用零点的含义、一元二次方程的解法即可得出； （2）对 f（x）进行分解，得到 x1和 x2，进而可得到 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a=1 时，f（x）=x2+2x1， 令 f（x）=x2+2x1=0， 解得 x=1， 当 a=1 时，函数 f（x）的零点是 1 （2）当 a=0 时，2x2=0 得 x=1，符合题意 当 a0 时，f（x）=ax2+2x2a=a（x1） （x+） ， 则 x1=1，x2 = ， 由于函数在区间（0，1上恰有一个零点，则1 或0， 解得1a0 或 a2， 综上可得
28、，a 的取值范围为1a0 或 a2 22已知 f（x）是定义在1，1上的奇函数，且 f（1）=1，若 m，n1，1，m+n0 时， 有0 （）证明 f（x）在1，1上是增函数； （）解不等式 f（x21）+f（33x）0 （）若 f（x）t22at+1 对 x1，1，a1，1恒成立，求实数 t 的取值范围 【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【分析】 （）任取1x1x21，则 ，由已知 ，可比较 f（x1）与 f（x2）的大小，由单调性的定义可作出判 断； （）利用函数的奇偶性可把不等式化为 f（x21）f（3x3） ，在由单调性得 x213x3， 还要考虑
29、定义域； （）要使 f（x）t22at+1 对 x1，1恒成立，只要 f（x）maxt22at+1，由 f（x）在 1，1上是增函数易求 f（x）max，再利用关于 a 的一次函数性质可得不等式组，保证对 a1，1 恒成立； 【解答】解： （）任取1x1x21， 则， 1x1x21，x1+（x2）0， 由已知， f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ， f（x）在1，1上是增函数； （）f（x）是定义在1，1上的奇函数，且在1，1上是增函数， 不等式化为 f（x21）f（3x3） ， ，解得； （）由（）知 f（x）在1，1上是增函数， f（x）在1，1上的最大值为 f（1）=1， 要使 f（x）t22at+1 对 x1，1恒成立，只要 t22at+11t22at0， 设 g（a）=t22at，对 a1，1，g（a）0 恒成立， ， t2 或 t2 或 t=0 2016 年年 12 月月 27 日日
