1、 上海市上海市 20182018- -20192019 学年上海中学高一上期中考试数学试卷学年上海中学高一上期中考试数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 4 4 小题）小题） 1.已知集合，则 中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解： ， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有 9 个，选 A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 2.已知实数x，y，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必
2、要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 找出与所表示的区域，再根据小范围推大范围可得结果 【详解】表示的区域是以为顶点的正方形及内部， 表示的区域是以为圆心，1 为半径的圆及内部， 正方形是圆的内接正方形， ，推不出， “”是“”的充分而不必要条件 故选：B 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了不等式组表示的区域，考查了推理能 力，属于中档题 3.设，且，则（ ） A. B. C. D. 以上都不能恒成立 【答案】A 【解析】 【分析】 利用反证法可证得，进而由可得解. 【详解】利用反证法： 只需证明， 假设， 则： 所以：， 但是， 故：， 所以：与矛盾 所以：假设错误， 故
3、：， 所以：， 故选：A 【点睛】本题考查的知识要点：反证法的应用，关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于中档题型 4.对二次函数（ 为非零常数） ，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一 个结 论是错误的，则错误的结论是（ ） A. 是的零点 B. 1 是的极值点 C. 3 是的极值 D. 点在曲线上 【答案】A 【解析】 若选项 A 错误时，选项 B、C、D 正确，因为 是的极值点， 是的极值， 所 以， 即， 解 得 ：， 因 为 点在 曲 线上 ， 所以 ， 即， 解 得 ：， 所 以， 所 以 ，因为，所以不是的零点，所以选 项 A 错误，选项 B、C、D 正确
4、，故选 A 【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 1212 小题）小题） 5.已知集合，用列举法表示集合_ 【答案】0，1， 【解析】 【分析】 先由x的范围推出y的范围，然后从中取整数即可 【详解】因为，即， 又， 故答案为：0，1， 【点睛】本题考查了集合的表示法属基础题 6.设集合，集合，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据交集定义求出即可 【详解】， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 7.能说明“若ab，则”为假命题的一组a，b的值依次为_. 【答案】（答案不唯一） 【解析】
5、 分析：举出一个反例即可 详解：当时， 不成立， 即可填 点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力 8.集合，若，则a的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先求出集合A，根据，即可求出a的取值范围 【详解】 ， 若， 则， 故答案为： 【点睛】本题主要考查集合子集关系的应用，利用不等式的解法以及数轴是解决此类问题的关键 9.命题“若，则且”的逆否命题是_ 【答案】若或,则 【解析】 试题分析：原命题：若 则 。逆否命题为：若则。注意“且”否之后变“或”。 考点：命题的逆否命题。 10.设 ， 是方程的两个实根，则“且”是“ ， 均大于 1”的_条件 【答案】必要但不
6、充分 【解析】 【分析】 根据韦达定理表示出a，b，设出判断条件和结论，根据题意分别证明 【详解】根据韦达定理得：， 判定条件是p：，结论是q：； 还要注意条件p中，a，b需满足的大前提 由，得， 为了证明，可以举出反例：取， 它满足，但q不成立 上述讨论可知：，是，的必要但不充分条件， 故答案为：必要但不充分 【点睛】本题考查了韦达定理，考查充分必要条件，是一道中档题 11.某班有 50 名学生报名参加A、B两项比赛，参加A项的有 30 人，参加B项的有 33 人，且A、B 都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，没有参加B项的学生有_人 【答案】9 【解析】 【分
7、析】 利用方程思想，设A、B都参加的同学为x人，则可分别得到只参加A，不参加B，只参加B，不参 加A，以及AB都不参加的人数，然后利用人数关系建立方程，求解即可 【详解】设A、B都参加的同学为x人，则只参加A，不参加B的为，只参加B，不参加A的 为， 则AB都不参加的人数为 因为A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人， 所以，解得 所以只参加A项，没有参加B项的学生有 故答案为：9 【点睛】本题主要考查集合元素关系的运算，利用维恩图是解决此类问题的基本方法，比较基础 12.已知不等式的解集为， 则不等式的解集为_ 【答案】x|x 或 x. 【解析】 依题意，令代入方程，解得，
8、故，即 ，解得. 13.已知正数x、y、z满足，则的最小值为_ 【答案】36 【解析】 【分析】 由于正数x、y、z满足，可得 ， 再利用均值不等式即可得出 【详解】正数x、y、z满足， ， 当且仅当，取等号 故答案为 36 【点睛】本题考查了均值不等式的应用，属于基础题 14.如关于x的不等式对任意恒成立，则a的取值范围为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先去绝对值，变成不等式组恒成立，再转化为最值可解决 【详解】解：因为，所以原不等式可化为：， ， 对任意恒成立， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式恒成立求参数的问题属中档题 15.已知函数，若方程恰有 4 个互异
9、的实数根，则实数 的 取值范围为_ 【答案】 【解析】 试题分析： （方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图） ，问题转化 为 与图象恰有四个交点 当与（或与） 相切时， 与图象恰有三个交点把代入，得，即 ，由，得，解得或又当时，与仅两个 交点，或 （方法二） 显然， 令， 则 ， 结合图象可得或 考点：方程的根与函数的零点 16.定义表示， ，中的最小值，表示， ，中的最 大值则对任意的，的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 首先，设，从而得到关于m的限制条件，然后，得到m的最小值 【详解】设， 、， ， 即，可得， ， ， 即有m的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查新定义的理解和运
10、用，注意不等式的性质的应用，属于难题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 小题）小题） 17.已知集合，7，且，求集合B 【答案】1，4， 【解析】 【分析】 由，得到或舍 ，从而得，分别代入集合A和B，利用集合中元素 的互异性能求出集合B 【详解】集合， 7，且， 或舍 ， 解得， 当时，5，不成立； 当时，5，7，1，成立 集合1，4， 【点睛】本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数 形结合思想，是基础题 18.解下列不等式： ； 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 分和两种情况解不等式，再并起来； 根据绝对值不等式取等号的条件是
11、， 得成立的充要条件 是 【详解】， 或， 解得：或， 原不等式的解集为 由， 得，解得， 原不等式的解集为 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法属中档题 19.设函数， 记的解集为M，的解集为N 求集合M和N 当时，求的取值范围 【答案】(1) , (2) 【解析】 【分析】 分和两种情况解不等式，再合并； 求出交集后，化简原式，用二次函数求值域 【详解】由，得或， 解得：或，故； 由得，故 时， 原式， ， 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法属中档题 20.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为 轮船 的最大速度为 15 海里 小时当船速为 10 海
12、里 小时， 它的燃料费是每小时 96 元， 其余航行运作费用 （不 论速度如何)总计是每小时 150 元假定运行过程中轮船以速度v匀速航行 求k的值； 求该轮船航行 100 海里的总费用燃料费航行运作费用 的最小值 【答案】值为，该轮船航行 100 海里的总费用W的最小值为0 元 【解析】 【分析】 根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将时代入即可算出k的值； 算出航行 100 海里的时间为小时，可燃料费为 96v，其余航行运作费用为元，由此可 得航行 100 海里的总费用为，再运用基本不等式求最值即可 【详解】由题意，设燃料费为， 当船速为 10 海里 小时，它的燃料费是每小时 96 元，
13、 当时，可得，解之得 其余航行运作费用 不论速度如何 总计是每小时 150 元 航行 100 海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为元 因此，航行 100 海里的总费用为 ， 当且仅当时，即时， 航行 100 海里的总费用最小，且这个最小值为 2400 元 答：值为，该轮船航行 100 海里的总费用W的最小值为元 【点睛】本题考查函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基 本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题 21.已知二次项系数是 1 的二次函数 当，时，求方程的实根； 设b和c都是整数，若有四个不同的实数根，并且在数轴上四个根等距排列，试求
14、二次函数的解析式，使得其所有项的系数和最小 【答案】(1)，；(2) 【解析】 【分析】 由题意可得，设，则，求得t，进而得到x的值； ，即为，由题意不妨设四个根分别为， ，可得四个根的和为，即；再由韦达定理，消去d，可得b，c 的方程，结合b，c为正整数和取得最小值，化简运算和推理可得b，c的最小值，即可得到所 求解析式 【详解】当，时， 设，则， ，解得或， 当时，解得或； 当时，解得：或， 综上所述：的实根有：，； ，即为， 即有， ， 可得，或， 不妨设四个根分别为， 可得四个根的和为，即； 又设， 消去d，可得， 可得， 由b，c为整数，可得也为正整数的平方， 设，k为正整数， 即有，即为， 由为正整数的平方，且， 由取得最小值， 可得b的最小值为 22， 则，其所有项的系数和最小 【点睛】本题考查二次方程的根的分布情况，考查韦达定理和求根公式的运用，考查化简整理的 运算能力和推理能力，属于难题
